División Larga de Polinomios

¿Qué es la División de Polinomios?

La división del polinomio \( P(x) \) por el polinomio \( S(x) \) puede escribirse como sigue [1]
\[ \dfrac{P(x)}{S(x)} = Q(x) + \dfrac{R(x)}{S(x)} \qquad (I) \]
donde \( Q(x) \) es el cociente y \( R(x) \) es el resto de la división.
Si multiplicamos todos los términos en (I) por \( S(x) \), podemos escribir la división como
\( P(x) = Q(x) S(x) + R(x) \)

Para dividir un polinomio, hacemos uso del proceso de división larga. Antes de comenzar el proceso de división larga, escribe el dividendo y el divisor en potencias descendentes de x. Para ayudar a alinear términos semejantes, usa 0 como coeficiente de cualquier potencia faltante.
Un video sobre división larga de polinomios está incluido.
Una calculadora de división de polinomios en línea, que puede usarse para verificar los resultados de la división hecha a mano, está incluida.

Ejemplo Trabajado de División Larga de Polinomios

Ejemplo 1:

Dividir \[ \dfrac{2x^3 + 3x^2 - x + 16}{x^2 + 2x - 3} \]

Solución: Pasos para Dividir Polinomios a Mano

El dividendo \( 2x^3 + 3x^2 - x + 16 \) es un polinomio de grado 3. El divisor \( \; x^2 + 2x - 3 \; \) es un polinomio de grado \( 2 \). Por las leyes de los exponentes, esperamos que el cociente sea un polinomio de grado \( 1 \) o \( 0 \).

PASO 1: Primero dividimos el término de mayor potencia en el dividendo \( \; 2x^3 \; \) por el término de mayor potencia en el divisor \( \; x^2 \; \) para obtener un cociente igual a \( \; 2x \; \) y organizamos los tres términos de la siguiente manera.

división larga de polinomios paso 1

PASO 2: Luego multiplicamos el divisor \( \; x^2 + 2x - 3 \; \) por el cociente \( \; 2x \; \) y organizamos el resultado de la siguiente manera

división larga de polinomios paso 2

PASO 3: Luego restamos el resultado de la multiplicación del dividendo de la siguiente manera

división larga de polinomios paso 3

PASO 4: Ahora dividimos el término de mayor potencia en el resultado de la resta \( \; -x^2 \; \) por el término de mayor potencia en el divisor \( \; x^2 \; \) para obtener \( \; -1 \; \) y organizamos todos los términos de la siguiente manera

división larga de polinomios paso 4

PASO 5: Luego multiplicamos el divisor \( \; x^2 + 2x - 3 \; \) por \( \; -1 \; \) y organizamos todos los términos de la siguiente manera

división larga de polinomios paso 5

PASO 6: Restamos el resultado de la última multiplicación del término anterior y organizamos los resultados de la siguiente manera.

división larga de polinomios paso 6

Ahora detenemos el proceso ya que el último término \( \; 7x + 13 \; \) tiene un grado menor que el del divisor \( \; x^2 + 2x - 3 \; \).

El resultado de la división larga puede escribirse como sigue \[ \dfrac{2x^3 + 3x^2 - x + 16}{x^2 + 2x - 3} = 2x - 1 + \dfrac{7x + 13}{x^2 + 2x - 3} \] o también como sigue \[ 2x^3 + 3x^2 - x + 16 = (2x - 1)(x^2 + 2x - 3) + 7x + 13 \]

Vocabulario asociado con el proceso de división larga

\( 2x^3 + 3x^2 - x + 16 \) es el dividendo

\( x^2 + 2x - 3 \) es el divisor

\( 2x - 1 \) es el cociente

\( 7x + 13 \) es el resto

Más Referencias y Enlaces a Polinomios

Algebra and Trigonometry - Swokowsky Cole - 1997 - ISBN: 0-534-95308-5
Algebra and Trigonometry with Analytic Geometry - R.E.Larson , R.P. Hostetler , B.H. Edwards, D.E. Heyd - 1997 - ISBN: 0-669-41723-8
Funciones Polinomiales.