Gráficas de Polinomios de Tercer Grado

A continuación se muestran las gráficas de varios polinomios de tercer grado, junto con preguntas y respuestas al final de la página.

Polinomio de tercer grado: corta el eje x en un punto.
Pregunta 1: ¿Por qué la gráfica corta el eje x en un solo punto?

Figura 1: Gráfica del polinomio de tercer grado.
Polinomio de tercer grado: 3 intersecciones con el eje x.
Pregunta 2: Si la gráfica corta el eje x en \(x = -2\), ¿cuáles son las coordenadas de las otras dos intersecciones con el eje x?

Figura 2: Gráfica de un polinomio de tercer grado con 3 intersecciones en el eje x.
Polinomio de tercer grado: 3 intersecciones con el eje x con un parámetro \(a\) para determinar.
Pregunta 3: La gráfica de abajo corta el eje x en \(x = 1\) y tiene una intersección con el eje y en \(y = 1\). ¿Cuáles son las coordenadas de las otras dos intersecciones con el eje x?

Figura 3: Gráfica de un polinomio de tercer grado con un parámetro para determinar.
Polinomio de tercer grado: una intersección con el eje x.
Pregunta 4: La gráfica de abajo corta el eje x en \(x = -1\). ¿Por qué la gráfica de este polinomio tiene solo una intersección con el eje x?

Figura 4: Gráfica de un polinomio de tercer grado con una intersección en el eje x.

Respuestas a las Preguntas Anteriores

Dado que \(x = 0\) es un cero repetido de multiplicidad 3, la gráfica corta el eje x en un solo punto.
Una intersección con el eje x en \(x = -2\) implica que \(x + 2\) es un factor del polinomio. Por lo tanto, el polinomio se puede escribir como: \[ f(x) = (x + 2)(x^2 + 3x + 1) \] Los otros ceros se encuentran resolviendo \[ x^2 + 3x + 1 = 0 \] lo que da \[ x = -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}, \quad x = -\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}. \]
Usa la intersección con el eje y para encontrar \(a = 1\). Luego, de manera similar a la Pregunta 2, escribe \[ f(x) = a(x-1)(x^2 - 3x + 1) \] Resolver \(x^2 - 3x + 1 = 0\) da las otras dos intersecciones con el eje x: \[ x = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}, \quad x = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}. \]
Factoriza el polinomio como \[ f(x) = (x + 1)(x^2 + x + 1). \] Resolver \[ x^2 + x + 1 = 0 \] produce ceros complejos, que no aparecen como intersecciones con el eje x. Por lo tanto, solo hay una intersección real con el eje x en \(x = -1\).