Soluciones a Preguntas de Álgebra Desafiantes
Las soluciones a las preguntas desafiantes de álgebra se presentan junto con explicaciones detalladas.
Soluciones
Solución a la Pregunta 1
Expandir el cuadrado
\[ \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2 = x^2 + \dfrac{1}{x^2} + 2 x \dfrac{1}{x} \]
Simplificar el término \( 2 x \dfrac{1}{x} \) a \( 2 \)
\[ = x^2 + \dfrac{1}{x^2} + 2 \]
Usar \( x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 10 \) para simplificar lo anterior y obtener
\[ \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2 = 10 + 2 = 12 \]
Tomar la raíz cuadrada de ambos lados
\[ \left(x+\dfrac{1}{x}\right) = \sqrt {12} = 2 \sqrt 3 \]
Una forma de obtener términos con \( x^3 \) y \(\dfrac{1}{x^3} \), expandir lo siguiente
\[ \left(x+\dfrac{1}{x}\right) \left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right) = x^3 + \dfrac{1}{x} + x + \dfrac{1}{x^3} \]
Deducir \( x^3 + \dfrac{1}{x^3} \) de lo anterior en términos de cantidades conocidas
\[ x^3 + \dfrac{1}{x^3} = \left(x+\dfrac{1}{x}\right) \left(x^2 + \dfrac{1}{x^2} \right) - \left(x+\dfrac{1}{x} \right) \]
Sustituir las cantidades conocidas por sus valores numéricos
\[ x^3 + \dfrac{1}{x^3} = 2 \sqrt {3} \times 10 - 2 \sqrt {3} = 18 \sqrt 3 \]
Una forma de obtener términos con \( x^5 \) y \(\dfrac{1}{x^5} \), expandir lo siguiente
\[ \left( x^3 + \dfrac{1}{x^3} \right) \left( x^2 + \dfrac{1}{x^2} \right) = x^5 + x + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^5} \]
Deducir \( x^5 + \dfrac{1}{x^5} \) de lo anterior en términos de cantidades conocidas
\[ x^5 + \dfrac{1}{x^5} = \left( x^3 + \dfrac{1}{x^3} \right) \left( x^2 + \dfrac{1}{x^2} \right) - \left(x + \dfrac{1}{x} \right) \]
Sustituir las cantidades conocidas por sus valores numéricos
\[ x^5 + \dfrac{1}{x^5} = 18 \sqrt 3 \times 10 - 2 \sqrt 3 = 178 \sqrt 3 \]
Solución a la Pregunta 2
Escribir los números complejos \( 1-i \) en forma exponencial
\[ 1 - i = \sqrt 2 \left( \frac{\sqrt 2}{2} + i \frac{- \sqrt 2}{2} \right) = \sqrt 2 e^{- i \frac{\pi}{4}} \]
Sustituir \( 1-i \) por lo anterior en la expresión dada \( (1-i)^{1+i} \)
\[ (1-i)^{1+i} = \left(\sqrt 2 e^{- i \frac{\pi}{4}} \right)^{1+i} \]
Usar la regla de exponentes para extraer \( \sqrt 2 \) de dentro de los corchetes
\[ (1-i)^{1+i} = (\sqrt 2) ^{1+i} \left(e^{ - i \frac{\pi}{4} } \right)^{(1+i)} \]
Usar la regla de exponentes para reescribir como
\[ (1-i)^{1+i} = \sqrt 2 \; e^{\frac{\pi}{4}} \; \sqrt 2^{\; i} e^{- i \frac{\pi}{4}} \]
\( \sqrt 2 \) puede escribirse como \( e^{\ln \sqrt 2} \) ; por lo tanto, la expresión dada puede escribirse como
\[ (1-i)^{1+i} = \sqrt 2 e^{\frac{\pi}{4}} (e^{\ln \sqrt 2})^i e^{- i \frac{\pi}{4}} \]
Simplificar
\[ (1-i)^{1+i} = \sqrt 2 \; e^{\frac{\pi}{4}} \; e^{ (\ln \sqrt 2 - \frac{\pi}{4})i} \]
Escribir en forma estándar
\[ (1-i)^{1+i} = \sqrt 2 \; e^{\frac{\pi}{4}} \cos (\ln \sqrt 2 - \frac{\pi}{4}) + i \; \sqrt 2 \; e^{\frac{\pi}{4}} \sin (\ln \sqrt 2 - \frac{\pi}{4}) \]
Solución a la Pregunta 3
Reescribamos el lado izquierdo de la expresión dada en la forma \( R \cos (x + \pi/4 - \phi) \).
Primero reescribimos el lado derecho como
\[ 6 \cos(x + \pi/4) + 8 \sin(x + \pi/4) \]
\[ = \sqrt{6^2+8^2} \left ( \dfrac{6}{\sqrt{6^2+8^2}} \cos(x + \pi/4) + \dfrac{8}{\sqrt{6^2+8^2}} \sin(x + \pi/4) \right) \]
Dado que \( \sqrt{6^2+8^2} = 10 \) lo anterior se simplifica a
\[ = 10 \left ( 0,6 \cos(x + \pi/4) + 0,8 \sin(x + \pi/4) \right) \]
Sea \( \cos \phi = \dfrac{6}{\sqrt{6^2+8^2}} = 0,6 \) y \( \sin \phi = \dfrac{8}{\sqrt{6^2+8^2}} = 0,8 \)
Verificar que \( (\cos \phi)^2 + (\sin \phi)^2 = 0,6^2 + 0,8^2 = 1 \)
lo que da \( \phi = \arctan \left(\dfrac{8}{6} \right) \)
Ahora escribimos el lado derecho de la ecuación dada usando el ángulo \( \phi \) de la siguiente manera
\[ 6 \cos(x + \pi/4) + 8 \sin(x + \pi/4) \]
\[ = 10 \left( \cos \phi \cos(x + \pi/4) + \sin \phi \sin(x + \pi/4) \right) \]
Usamos la fórmula trigonométrica \( \cos(A-B) = \cos A \cos B+\sin A \sin B \) para reescribir lo anterior como
\[ 6 \cos(x + \pi/4) + 8 \sin(x + \pi/4) = 10 \cos (x + \pi/4 - \phi) \]
La ecuación trigonométrica dada puede escribirse como
\[ 10 \cos (x + \pi/4 - \phi) = 5 \]
\[ \cos (x + \pi/4 - \phi) = \dfrac{1}{2} \]
lo que da dos conjuntos de soluciones
\[ x + \pi/4 - \phi = \pi/3 + 2 k \pi \]
Primer conjunto de soluciones: \( x = \phi + \pi/12 + 2 k \pi = \arctan(8/6) + \pi/12 + 2 k \pi \) para \( k = 0, \pm 1, \pm 2, ... \)
\[ x + \pi/4 - \phi = 5\pi/3 + 2 k \pi \]
Segundo conjunto de soluciones: \( x = \phi + 17 \pi/12 + 2 (k + 1) \pi = \arctan(8/6) + 17 \pi/12 + 2 (k + 1) \pi \) para \( k = 0, \pm 1, \pm 2, ... \)
Solución a la Pregunta 4
Usar el exponente racional en lugar de la raíz cuadrada en el lado izquierdo de la ecuación
\[ (x^{\frac{1}{2}})^{|x|} = x^{ x^2+\frac{1}{18}} \]
Usar la regla de exponentes para reescribir lo anterior como
\[ x^{\frac{1}{2}|x|} = x^{ x^2+\frac{1}{18}} \]
Tomar el \( \ln \) de ambos lados
\[ \ln ( x^{\frac{1}{2}|x|}) = \ln (x^{ x^2+\frac{1}{18}}) \]
Usar la regla del \( \ln \): \( \ln x^y = y \ln x\) para reescribir lo anterior como
\[ \frac{1}{2}|x| \ln (x) = (x^2+\frac{1}{18}) \ln (x) \]
Poner todos los términos en un lado y factorizar
\[ \frac{1}{2}|x| \ln (x) - (x^2+\frac{1}{18}) \ln (x) = 0 \]
\[ \ln(x) \left(\frac{1}{2}|x| - x^2 - \frac{1}{18}\right) = 0 \]
Las soluciones se encuentran igualando cada uno de los dos factores anteriores a 0.
1) Resolver \( \ln(x) = 0 \) lo que da la solución \( x = 1 \)
2) Resolver \( \frac{1}{2}|x| - x^2 - \frac{1}{18} = 0 \)
Sea \( y = |x| \) y \( y^2 = |x|^2 = x^2 \)
Sustituir \( |x| \) y \( x^2 \) en la ecuación 2) y reescribirla como una ecuación cuadrática
\[ \frac{1}{2} y - y ^2 - \frac{1}{18} = 0 \]
Resolver la ecuación cuadrática anterior para obtener las soluciones
\( y = 1/6 \) y \( y = 1/3 \)
|x| = y = 1/6 da x = 1/6, \( x \) debe ser positivo porque buscamos solo soluciones reales
|x| = y = 1/3 da x = 1/3, \( x \) debe ser positivo porque buscamos solo soluciones reales
El conjunto solución de la ecuación dada es: \( \{1/6 , 1/3 , 1\} \)
Solución a la Pregunta 5
\( x + y \) es un factor de \( x^3 + y^3 \), por lo tanto, la división da
\[ \dfrac{x^3 + y^3}{x+y} = x^2 - xy + y^2 \] Ec-1
También tenemos
\[ \dfrac{x^3 + y^3}{x+y} = 24/4 = 6\] Ec-2
Combinar Ec-1 y Ec-2 para escribir
\[ x^2 - xy + y^2 = 6 \] Ec-3
Dado \( x + y = 4 \), elevar al cuadrado ambos lados
\[ (x + y)^2 = 4^2 \]
Expandir
\[ x^2 + y^2 + 2xy = 16 \] Ec-4
Restar Ec-3 y Ec-4 para escribir
\[ 3xy = 10 \]
\[ x y = 10/3 \]
Usar Ec-3 para escribir
\[ x^2 + y^2 = 6 + x y \]
Sustituir \( x y\) por su valor
\[ x^2 + y^2 = 6 + 10/3 = 28/3 \]
Elevar al cuadrado ambos lados
\[ (x^2 + y^2)^2 = 784/9 \]
Expandir
\[ x^4 + y^4 + 2 x^2 y^2 = 784/9 \]
Lo anterior da
\[ x^4 + y^4 = 784/9 - 2 x^2 y^2 \]
Reescribir como
\[ = 784/9 - 2 (xy)^2 \]
Sustituir \( x y \) por su valor numérico
\[ = 784/9 - 2 \left(\dfrac{10}{3} \right)^2 \]
Simplificar
\[ x^4 + y^4 = \dfrac{584}{9} \]
Solución a la Pregunta 6
Escribir los números complejos \( \dfrac{2+\sqrt{-4}}{2} \) y \( \dfrac{2 - \sqrt{-4}}{2} \) en formas estándar
\[ \dfrac{2+\sqrt{-4}}{2} = \dfrac{2 + 2\sqrt{- 1}}{2} = 1 + i \]
\[ \dfrac{2 - \sqrt{-4}}{2} = \dfrac{2 - 2\sqrt{- 1}}{2} = 1 - i \]
Por lo tanto
\[ \left(\dfrac{2+\sqrt{-4}}{2}\right)^{10} + \left(\dfrac{2-\sqrt{-4}}{2}\right)^{10} = (1+i)^{10} + (1-i)^{10} \]
Escribir los números complejos \( 1 + i \) y \( 1 - i \) en formas complejas
\[ 1 + i = \sqrt 2 e^{i \pi/4} \]
\[ 1 - i = \sqrt 2 e^{ - i \pi/4} \]
Sustituir \( 1 + i \) y \( 1 - i \) para obtener
\[ \left(\dfrac{2+\sqrt{-4}}{2}\right)^{10} + \left(\dfrac{2-\sqrt{-4}}{2}\right)^{10} \]
\[ \quad \quad = (\sqrt 2 e^{i \pi/4})^{10} + (\sqrt 2 e^{ - i \pi/4})^{10} \]
Usar la regla de exponentes \( (e^x)^y = e^{xy} \)
\[ = (\sqrt 2)^{10} ( e^{i 10 \pi/4} + e^{- i 10 \pi/4} ) \]
Usar el hecho de que \( 10 \pi/4 = 2 \pi + \pi/2 \) para reescribir lo anterior como
\[ = (\sqrt 2)^{10} ( e^{ 2\pi i + i \pi/2} + e^{ - 2\pi i - i \pi/2}) \]
Usar la regla de exponentes \( e^{x+y} = e^x e^y \) para reescribir lo anterior como
\[ = (\sqrt 2)^{10} ( e^{ 2\pi i} e^{i \pi/2} + e^{ - 2\pi i} e^{ - i \pi/2}) \]
Simplificar usando \( e^{ 2\pi i} = 1 \) y \( e^{ - 2\pi i} = 1 \)
\[ = (\sqrt 2)^{10} ( e^{i \pi/2} + e^{ - i \pi/2}) \]
Notar que
\[ e^{i \pi/2} + e^{ - i \pi/2} = i - i = 0 \]
Por lo tanto
\[ \left(\dfrac{2+\sqrt{-4}}{2}\right)^{10} + \left(\dfrac{2-\sqrt{-4}}{2}\right)^{10} = 0 \]
Solución a la Pregunta 7
Reescribir la ecuación dada de la siguiente manera
\[ (x - 2) + (x^2 - 4) + (x^3 - 8) = 0 \]
Notar que cada término entre paréntesis tiene el factor \( x - 2 \)
\( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \)
y usando división, tenemos
\[ \dfrac{x^3 - 8}{x-2} = x^2 + 2x + 4 \]
que también puede escribirse como
\[ (x^3 - 8) = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) \]
Por lo tanto, la ecuación dada puede escribirse como
\[ (x - 2) + (x - 2)(x+2) + (x-2)(x^2 + 2x + 4) = 0 \]
Factorizar \( x - 2 \)
\[ (x - 2) (1 + (x+2) + (x^2 + 2x + 4)) = 0 \]
Agrupar términos semejantes
\[ (x - 2) ( x^2 + 3x + 7) = 0 \]
\( x - 2 = 0 \) da la solución \( x = 2 \)
\( x^2 + 3x + 7 = 0 \) da las soluciones complejas: \( -\dfrac{3}{2} + i\dfrac{\sqrt{19}}{2} \) y \( -\dfrac{3}{2} - i\dfrac{\sqrt{19}}{2} \)
El conjunto solución es: \( \{ 2 , -\dfrac{3}{2} + i\dfrac{\sqrt{19}}{2} , -\dfrac{3}{2} - i\dfrac{\sqrt{19}}{2} \} \)
Solución a la Pregunta 8
Reescribamos la ecuación dada como una ecuación cuadrática en \( a \)
\[ 2 a^2 + a (4x^2-x) + 2x^4 - x^3 - x^2 = 0 \]
Resolver la ecuación cuadrática anterior para \( a \)
Discriminante
\[ \Delta = (4x^2-x)^2 - 4(2)(2x^4 - x^3 - x^2) = 9x^2 \]
\[ a = \dfrac{-(4x^2-x) \pm \sqrt {9x^2 }}{4} \]
Simplificar las soluciones anteriores
\( a = - x^2 + x \) y \( a = - x^2 - x/2 \)
\[ 2 a^2 + a (4x^2-x) + 2x^4 - x^3 - x^2 = K (a + x^2 + x) (a + x^2 + x/2) \]
\[ K (a + x^2 - x) (a + x^2 + x/2) = 0 \]
\( a + x^2 - x = 0 \)
\[ x = \dfrac{1 \pm \sqrt{1-4a}}{2} \]
\( a + x^2 + x/2 = 0 \)
\[ 2 a + 2x^2 + x = 0 \]
\[ x = \dfrac{ - 1 \pm \sqrt{1-16a}}{4} \]
Solución a la Pregunta 9
Si \( a \gt 0 \) , entonces \( |a| = a \) y Si \( b \lt 0 \) , entonces \( |b| = - b \)
\( \sqrt {x^2} |x| \)
Por lo tanto
\( \sqrt{b^2} = |b| = - b \) , \( \sqrt {a^2} = a \) y
\( \sqrt{(ab)^2} = |ab| = |a| |b| = - a b \)
Sustituir todo lo anterior en la expresión dada y simplificar
\[ \quad \dfrac{a\sqrt{b^2} - b \sqrt {a^2}}{\sqrt{(ab)^2}} \]
\[ \quad \quad = \dfrac{- ab - ba }{-ab} = 2 \]