Soluciones a Preguntas sobre Simplificación de Exponentes

Se presentan soluciones con explicaciones detalladas a las Preguntas sobre Simplificación de Exponentes.
Las reglas de los exponentes se aplican para resolver las siguientes preguntas.


  1. \[ 27 \left(\dfrac{1}{9}\right)^2 \left(\dfrac{9^2}{3^5} \right) = \]

    Solución


    Use la regla del cociente de exponentes \( \left( \dfrac{a}{b} \right)^m = \dfrac{a^m}{b^m} \) para reescribir \( \left(\dfrac{1}{9}\right)^2 \) en la expresión dada como
    \[ 27 \left(\dfrac{1}{9}\right)^2 \left(\dfrac{9^2}{3^5} \right) = 27 \; \dfrac{1^2}{9^2} \; \dfrac{9^2}{3^5} \]
    Reescriba \( 27 \) como \( 3^3 \)
    \[ 3^3 \; \dfrac{1^2}{9^2} \; \dfrac{9^2}{3^5} \]
    Simplifique \( 1^2 = 1 \), elimine paréntesis, multiplique y reescriba como una sola fracción,
    \[ = \dfrac{3^3 9^2}{9^2 3^5} \]
    Divida el numerador y el denominador por el MCD \(= 3^3 9^2\) de ambos y simplifique (o cancele factores comunes)
    \[ = \dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{9} \]


  2. \[ 80 \left(\dfrac{1}{5^{-1}}\right)^2 \left(\dfrac{25^{-1}}{4}\right)^2 = \]

    Solución


    Use las reglas de exponentes \( a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m \)
    para reescribir \( \left(\dfrac{1}{5^{-1}}\right)^2 \left(\dfrac{25^{-1}}{4}\right)^2 \) como \( \left(\dfrac{1}{5^{-1}} \dfrac{25^{-1}} {4} \right)^2 \) en la expresión dada
    \[ 80 \left(\dfrac{1}{5^{-1}}\right)^2 \left(\dfrac{25^{-1}}{4}\right)^2 = 80 \left(\dfrac{1}{5^{-1}} \dfrac{25^{-1}} {4} \right)^2 \]
    Cambie los exponentes negativos a positivos usando la regla \( a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \) para reescribir \( 5^{-1} = \dfrac {1}{5} \) y \( 25^{-1} = \dfrac{1}{25} \)
    \[ = 80 \left(\dfrac{1}{\dfrac{1}{5}} \dfrac{\dfrac{1}{25}} {4} \right)^2 \]
    Use división de fracciones para reescribir \( \dfrac{1}{\dfrac{1}{5}} = 5 \) y \( \dfrac{\dfrac{1}{25}} {4} = \dfrac{1}{25 \times 4} = \dfrac{1}{100} \) y reescribir la expresión como
    \[ = 80 \left( 5 \times \dfrac{1}{100} \right)^2\]
    Multiplique dentro de los corchetes
    \[ = 80 \left( \dfrac{5}{100} \right)^2\]
    Divida numerador y denominador entre \( 5 \) y simplifique
    \[ = 80 \left( \dfrac{1}{20} \right)^2\]
    Use la regla de exponentes \( \left( \dfrac{a}{b} \right)^m = \dfrac{a^m}{b^m} \) para reescribir \( \left( \dfrac{1}{20} \right)^2\) en la expresión dada
    \[ = 80 \times \dfrac{1^2}{20^2} \]
    Simplifique
    \[ = \dfrac{80}{400} \]
    Divida numerador y denominador por el factor común \( 80 \) para simplificar la expresión dada a
    \[ = \dfrac {1}{5} \]


  3. Para \( x \) e \( y \) diferentes de cero, la expresión
    \[ \left(\dfrac{x^4}{y^5}\right)^3 \left(\dfrac{y^2}{x^2}\right)^2 \]
    se simplifica a

    Solución


    Use la regla de exponentes \( \left( \dfrac{a}{b} \right)^m = \dfrac{a^m}{b^m} \) y elimine paréntesis para reescribir la expresión dada como
    \[ \left(\dfrac{x^4}{y^5}\right)^3 \left(\dfrac{y^2}{x^2}\right)^2 = \dfrac{(x^4)^3}{(y^5)^3} \dfrac{(y^2)^2}{(x^2)^2} \]
    Use la regla de exponentes \( (a^n)^m = a^{n \cdot m} \) para reescribir la expresión como
    \[ = \dfrac{x^{12}}{y^{15}} \dfrac{y^4}{x^4} \]
    Aplique la regla del cociente \( \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m - n} \) para simplificar
    \[ = \dfrac{x^{12-4}}{ y^{15-4} } = \dfrac{x^8}{ y^{11}}\]


  4. Para \( x \ne - y \), \[ \dfrac{3(2x + 2y)^5}{4 (x + y)^3} = \]

    Solución


    Factorice \( 2 \) en la expresión \( 2x + 2y \) y escriba la expresión dada como
    \[ \dfrac{3(2x + 2y)^5}{4 (x + y)^3} = \dfrac{3(2(x + y))^5}{4 (x + y)^3} \]
    Aplique la regla de exponentes \( (a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m \) para escribir la expresión como
    \[ = \dfrac{3 \times 2^5(x + y)^5}{4 (x + y)^3} \]
    Reordene como
    \[ = \dfrac{3 \times 2^5}{2^4} \dfrac{(x + y)^5}{(x + y)^3} \]
    Use la regla del cociente de exponentes \( \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m - n} \) para reescribir lo anterior como
    \[ = 3 \times 2^{5-4} \times (x + y)^{5-3} \]
    Simplifique
    \[ = 24 (x + y)^2 \]


  5. Para \( x \) e \( y \) diferentes de cero, la expresión
    \[ \left(\dfrac{x^0}{2y}\right)^2 \left(\dfrac{y^4}{x^3}\right)^2 \]
    se simplifica a

    Solución


    Use las reglas de exponentes \( x^0 = 1 \) y \( a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m \) para reescribir la expresión dada como
    \[ \left(\dfrac{x^0}{2y}\right)^2 \left(\dfrac{y^4}{x^3}\right)^2 = \left(\dfrac{1 \times y^4}{2y \times x^3}\right)^2 \]
    Simplifique dentro de los corchetes
    \[ = \left(\dfrac{y^{4-1}}{2 x^3}\right)^2 = \left(\dfrac{y^3}{2 x^3}\right)^2\]
    Aplique \( \left( \dfrac{a}{b} \right)^m = \dfrac{a^m}{b^m} \) para reescribir lo anterior como
    \[ = \dfrac{y^6}{4 x^6} \]


  6. \[ (- 3 x^2 y^3) (- 4 x^3 y^5) = \]

    Solución


    Multiplique y agrupe los términos con la misma variable dentro de paréntesis
    \[ (- 3 x^2 y^3) (- 4 x^3 y^5) = (-3 \times (-4)) (x^2 \times x^3)(y^3 \times y^5) \]
    Aplique la regla de exponentes \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
    \[ = 12 (x^{2+3})(y^{3+5}) \]
    Simplifique
    \[ = 12 x^5 y^8 \]


  7. Para \( x \) e \( y \) diferentes de cero, la expresión
    \[ \dfrac{12 x^3 y^{-2}}{4 x^{-2}y^3} \]
    se simplifica a

    Solución


    Reordene y escriba como el producto de expresiones racionales con la misma variable
    \[ \dfrac{12 x^3 y^{-2}}{4 x^{-2}y^3} = \dfrac{12}{4} \times \dfrac{x^3}{x^{-2}} \times \dfrac{y^{-2}}{y^3} \]
    Aplique la regla de exponentes \( \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m - n} \)
    \[ = 3 x^{3-(-2)} y^{-2-3} \]
    Simplifique
    \[ = 3 x^5 y^{-5} \]
    Escriba con exponentes positivos \[ = 3 \dfrac{x^5}{ y^5} \]


  8. Para \( x \) e \( y \) diferentes de cero,
    \[ \left(\dfrac{3 x^{-2}}{y^2}\right)^{-2} = \]

    Solución


    Aplique la regla de exponentes \( \left( \dfrac{a}{b} \right)^{-m} = \dfrac{b^m}{a^m} \) para reescribir la expresión dada como
    \[ \left(\dfrac{3 x^{-2}}{y^2}\right)^{-2} = \dfrac{({y^2})^2}{(3 x^{-2})^2} \]
    Aplique la regla de exponentes \( (a^n)^m = a^{n \cdot m} \) en el numerador y la regla de exponentes \( (a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m \) en el denominador
    \[ = \dfrac{y^4}{3^2 (x^{-2})^2} \]
    Simplifique
    \[ = \dfrac{y^4}{ 9 x^{-4}} \]
    Escriba con exponentes positivos
    \[ = \dfrac{x^4 y^4}{ 9} \]


  9. Para \( x \) e \( y \) diferentes de cero, la expresión
    \[ \left( \dfrac{2x^2 y^{-1}}{5} \right)^2 \left(\dfrac{5 x^{-1}y^3}{4}\right)^3 \]
    se simplifica a

    Solución


    Aplique la regla de exponentes \( \left( \dfrac{a}{b} \right)^m = \dfrac{a^m}{b^m} \) para reescribir la expresión dada como
    \[ \left( \dfrac{2x^2 y^{-1}}{5} \right)^2 \left(\dfrac{5 x^{-1}y^3}{4}\right)^3 = \dfrac{(2x^2 y^{-1})^2}{5^2} \dfrac{(5 x^{-1}y^3)^3}{4^3} \]
    Aplique la regla de exponentes \( (a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m \) en los numeradores
    \[ = \dfrac{2^2 (x^2)^2 (y^{-1})^2 }{5^2} \dfrac{5^3 (x^{-1})^3 (y^3)^3}{4^3} \]
    Aplique la regla de exponentes \( (a^n)^m = a^{n \cdot m} \) en el numerador para reescribir lo anterior como
    \[ = \dfrac{2^2 x^4 y^{-2} }{5^2} \dfrac{5^3 x^{-3} y^9}{4^3} \]
    Escriba con exponentes positivos usando la regla de exponentes negativos \( a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \)
    \[ = \dfrac{2^2 x^4 }{5^2} \dfrac{1}{y^2} \dfrac{5^3 y^9}{4^3} \dfrac{1}{x^3} \]
    Multiplique
    \[ = \dfrac{2^2 x^4 }{5^2 y^2} \dfrac{5^3 y^9}{4^3 x^3} \]
    Reescriba como una multiplicación de expresiones racionales (fraccionarias) de la misma variable
    \[ = \dfrac{2^2 x^4 }{5^2 y^2} \dfrac{5^3 y^9}{4^3 x^3} = \dfrac{4 \times 5^3}{4^3 \times 5^2} \dfrac{x^4}{x^3} \dfrac{y^9}{y^2} \]
    Aplique la regla de exponentes \( \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m - n} \)
    \[ \dfrac{5^{3-2}}{4^{3-1}} x^{4-3} y^{9-2} \]
    Simplifique
    \[ \dfrac{5}{16} x y^7 \]


  10. Para \( x \) e \( y \) diferentes de cero,
    \[ \left(\dfrac{x^{-1}}{y^0} \right)^2 \left(\dfrac{x^2}{y^3}\right)^3 = \]

    Solución


    Aplique la regla de exponentes \( y^0 = 1 \) y la regla \( \left( \dfrac{a}{b} \right)^m = \dfrac{a^m}{b^m} \) y simplifique
    \[ \left(\dfrac{x^{-1}}{y^0} \right)^2 \left(\dfrac{x^2}{y^3}\right)^3 = (x^{-1})^2 \dfrac{(x^2)^3}{(y^3)^3} \]
    Aplique la regla de exponentes \( (a^n)^m = a^{n \cdot m} \) para reescribir lo anterior como
    \[ = x^{-2} \dfrac{x^6}{y^9} \]
    Multiplique y simplifique
    \[ = \dfrac{x^{6-2}}{y^9} \]
    \[ = \dfrac{x^4}{y^9} \]


  11. Para \( y \ne 0 \), la expresión
    \[ \left(\dfrac{x^2}{y^3}\right) \left(\dfrac{8x}{y}\right) \left(\dfrac{x^2}{4}\right)^2 \]
    se simplifica a

    Solución


    Aplique la regla \( \left( \dfrac{a}{b} \right)^m = \dfrac{a^m}{b^m} \) al término de la derecha
    \[ \left(\dfrac{x^2}{y^3}\right) \left(\dfrac{8x}{y}\right) \left(\dfrac{x^2}{4}\right)^2 = \left(\dfrac{x^2}{y^3}\right) \left(\dfrac{8x}{y}\right) \left(\dfrac{x^4}{4^2}\right) \]
    Multiplique
    \[ = \dfrac{x^2 \times 8x \times x^4}{y^3 \times y \times 16} \]
    Aplique la regla \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
    \[ = \dfrac{8 x^{2+1+4}}{16 y^{3+1}} \]
    Simplifique
    \[ = \dfrac{1}{2} \dfrac{x^7}{y^4} \]

Respuestas a las Preguntas Anteriores
  1. E
  2. A
  3. B
  4. C
  5. D
  6. B
  7. A
  8. E
  9. C
  10. D
  11. B



Más Referencias y Enlaces

Preguntas sobre Exponentes y reglas.
Soluciones y explicaciones detalladas a las preguntas anteriores.