Problemas y Soluciones Paso a Paso
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Pregunta 1: Las áreas, en kilómetros cuadrados, de algunos países se muestran a continuación.
EE. UU.: 9,629,091, Rusia: 17,098,242, China: 9,598,094, Canadá: 9,984,670, el Reino Unido: 242,400 e India: 3,287,263.
Responde a las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál de estos países tiene el área más pequeña?
b) ¿Cuál de estos países tiene el área más grande?
c) ¿Cuál es la diferencia entre las áreas de Rusia y China?
d) Encuentra el área total de todos los países mencionados anteriormente.
e) Ordena estos países desde las áreas más grandes hasta las más pequeñas.► Solución a la Pregunta 1
a) El área más pequeña es 242,400 kilómetros cuadrados y corresponde al Reino Unido.
b) El área más grande es 17,098,242 kilómetros cuadrados y corresponde a Rusia.
c) La diferencia entre las áreas de Rusia y China está dada por
\[ 17,098,242 - 9,598,094 = 7,500,148 \; \text{kilómetros cuadrados} \]d) El área total de los países mencionados anteriormente está dada por
\( 9,629,091 + 17,098,242 + 9,598,094 + 9,984,670 \)
\[ + 242,400 + 3,287,263 = 49,839,760 \; \text{kilómetros cuadrados} \]e) Primero ordenamos las áreas de mayor a menor.
\[ 17,098,242 \; | \; 9,984,670 \; | \; 9,629,091 \; | \; 9,598,094 \; | \; 3,287,263 \; | \; 242,400 \]
Que corresponden a los siguientes países: Rusia, Canadá, EE. UU., China, India, Reino Unido -
Pregunta 2: Jim condujo 768 millas de un viaje de 1200 millas. ¿Cuántas millas más necesita conducir para terminar su viaje?
► Solución a la Pregunta 2
El número de millas que le falta conducir para terminar su viaje está dado por
\[ 1200 - 768 = 432 \; \text{millas} \] -
Pregunta 3: Sofia y Max prepararon una bebida de frutas especial cada uno. Sofia usó \(\dfrac{2}{6}\) de una botella de jugo de naranja. Max usó \(\dfrac{1}{3}\) de una botella de jugo de naranja.
a) ¿Quién usó más jugo de naranja?
b) ¿Cuánto más jugo de naranja usó esa persona?► Solución a la Pregunta 3
Estamos comparando a Sofia: \(\dfrac{2}{6}\) de una botella y a Max: \(\dfrac{1}{3}\) de una botella.
Hacemos que los denominadores sean iguales para comparar.
La fracción de Max es \(\dfrac{1}{3}\), pero podemos escribir \(\dfrac{1}{3}\) como una fracción equivalente con denominador 6 multiplicando el numerador y el denominador por 2:
\[ \dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{2}{6} \]a) Ahora ambas fracciones son \(\dfrac{2}{6}\), por lo que usaron la misma cantidad de jugo de naranja.
b) Como usaron la misma cantidad:
\[ \dfrac{2}{6} - \dfrac{2}{6} = 0 \]
Nadie usó más. La diferencia es 0. -
Pregunta 4: Hay 123 cajas de caramelos en una tienda. Hay 25 caramelos en cada caja. ¿Cuántos caramelos hay en la tienda?
► Solución a la Pregunta 4
Para saber cuántos caramelos hay, multiplicamos 123 por 25
\[ 123 \times 25 = 3075 \; \text{caramelos} \] -
Pregunta 5: Hay 365 días en un año y 100 años en un siglo. ¿Cuántos días hay en un siglo?
► Solución a la Pregunta 5
En 100 años, que es un siglo, hay:
\[ 365 \times 100 = 36,500 \; \text{días} \] -
Pregunta 6: Billy leyó 2 libros. Leyó el primero en una semana con 25 páginas diarias. Leyó el segundo libro en 12 días con 23 páginas diarias. ¿Cuál es el número total de páginas que leyó Billy?
► Solución a la Pregunta 6
Páginas leídas en el primer libro en una semana, que son 7 días con 25 páginas diarias:
\[ 25 \times 7 = 175 \; \text{páginas} \]
Páginas leídas en el segundo libro en 12 días con 23 páginas diarias:
\[ 23 \times 12 = 276 \; \text{páginas} \]
Número total de páginas leídas:
\[ 175 + 276 = 451 \; \text{páginas} \] -
Pregunta 7: 123 niñas de una escuela van a ser transportadas en furgonetas pequeñas. Cada furgoneta solo puede llevar a 8 niñas. ¿Cuál es el número mínimo posible de furgonetas necesarias para transportar a las 123 niñas?
► Solución a la Pregunta 7
Para encontrar el número de furgonetas, dividimos 123 entre 8.
\[ 123 \div 8 = 15 \; \text{con residuo} \; = 3 \]
Así que se necesitan 15 furgonetas para transportar a \(15 \times 8 = 120\) niñas, y se necesita 1 furgoneta más para transportar a las 3 niñas restantes. Se necesita un total de 16 furgonetas. -
Pregunta 8: John tenía \( \$100 \) para comprar bebidas y sándwiches para su fiesta de cumpleaños. Compró 5 cajas pequeñas de bebidas a \( \$4 \) cada caja y 8 cajas de sándwiches a \( \$6 \) cada caja. ¿Cuánto dinero le sobró después de las compras?
► Solución a la Pregunta 8
Dinero gastado en bebidas:
\[ 5 \times 4 = \$20 \]
Dinero gastado en sándwiches:
\[ 8 \times 6 = \$48 \]
Dinero total gastado:
\[ 20 + 48 = \$68 \]
Dinero sobrante después de las compras:
\[ 100 - 68 = \$32 \] -
Pregunta 9: Tom, Julia, Mike y Fran tienen 175 cartas para usar en cierto juego. Decidieron repartirlas en partes iguales. ¿Cuántas cartas debe tomar cada uno y cuántas cartas sobran?
► Solución a la Pregunta 9
Para saber cuántas cartas debe tomar cada uno, dividimos 175 entre 4 (Tom, Julia, Mike y Fran).
\[ 175 \div 4 = 43 \; \text{con residuo} = 3 \]
Cada uno debe tomar 43 cartas y sobran 3. -
Question 10: Examina este patrón: 2, 6, 12, 20, 30, ...
¿Cuál es el séptimo número en el patrón?► Solución a la Pregunta 10
Encuentra las diferencias entre números sucesivos:
\[ 6 - 2 = 4 \implies 6 = 2 + 4 \]
\[ 12 - 6 = 6 \implies 12 = 6 + 6 \]
\[ 20 - 12 = 8 \implies 20 = 12 + 8 \]
\[ 30 - 20 = 10 \implies 30 = 20 + 10 \]
El patrón es: Sumar 4, luego 6, luego 8, luego 10, ...
Siguientes diferencias: 12 y 14
\[ 30 + 12 = 42 \]
\[ 42 + 14 = 56 \]
El séptimo número es 56. -
Pregunta 11: Liam pidió una pizza grande cortada en 8 rebanadas iguales. Se comió 3 rebanadas en el almuerzo. Más tarde, su hermana Ava se comió 2 rebanadas.
a) ¿Qué fracción de la pizza se comió Liam?
b) ¿Qué fracción se comió Ava?
c) ¿Qué fracción de la pizza queda?
d) Si quieren repartir la pizza restante en partes iguales entre los dos, ¿cuántas rebanadas le tocarán a cada uno?► Solución a la Pregunta 11
a) La pizza entera tiene 8 rebanadas iguales. Liam se comió 3 rebanadas de 8. Por lo tanto, la fracción que se comió es:
\[ \dfrac{3}{8} \]b) Ava se comió 2 rebanadas de 8. Por lo tanto, la fracción que se comió es:
\[ \dfrac{2}{8} \]c) Total comido = Lo de Liam \(\dfrac{3}{8}\) + Lo de Ava \(\dfrac{2}{8}\)
\[ \dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8} = \dfrac{5}{8} \]
Por lo tanto, la fracción que queda es:
\[ 1 - \dfrac{5}{8} = \dfrac{3}{8} \]d) Quedan 3 rebanadas. Si Liam y Ava las comparten en partes iguales, a cada uno le toca:
\[ \dfrac{3}{2} = 1 \dfrac{1}{2} \text{ rebanadas} \] -
Pregunta 12: El rectángulo de la izquierda y el cuadrado de la derecha tienen el mismo perímetro. ¿Cuál es la longitud de un lado del cuadrado?
► Solución a la Pregunta 12
El perímetro P del rectángulo es igual a:
\[ P_1 = 15 + 25 + 15 + 25 = 80 \]
El perímetro del cuadrado es igual al perímetro del rectángulo y, por lo tanto, es igual a 80. El cuadrado tiene 4 lados de igual longitud y su perímetro \(P_2\) está dado por:
\[ P_2 = 4 \times \text{longitud de un lado} \]
\[ 80 = 4 \times 20 \]
Luego, la longitud de un lado es igual a 20 unidades. -
Pregunta 13: Hay 123 cajas de caramelos en una tienda. Cada caja contiene 25 caramelos.
El dueño de la tienda quiere hacer paquetes de regalo especiales usando algunos de los caramelos de las cajas. Decide usar 1 de cada 5 caramelos para los paquetes de regalo. El resto de los caramelos se quedan en las cajas.
a) ¿Cuántos caramelos se usan para hacer los paquetes de regalo?
b) ¿Cuántos caramelos quedan en las cajas?
c) ¿Aproximadamente cuántas cajas de caramelos se necesitan para hacer los paquetes de regalo?► Solución a la Pregunta 13
a) El número total de caramelos es:
\[ 123 \times 25 = 3075 \; \text{caramelos} \]
El número de caramelos usados para los paquetes de regalo (1 de cada 5) es:
\[ \dfrac{1}{5} \times 3075 = 3075 \div 5 = 615 \; \text{caramelos} \]b) Número de caramelos restantes en las cajas:
\[ 3075 - 615 = 2460 \; \text{caramelos} \]c) Número de cajas usadas para los paquetes de regalo:
Cada caja tiene 25 caramelos, por lo que:
\[ 615 \div 25 = 24.6 \; \text{cajas} \]
Como no podemos usar una parte de una caja sin abrirla, redondeamos 24.6 hacia arriba a 25 y decimos:
Se usan aproximadamente 25 cajas de caramelos para hacer los paquetes de regalo. -
Pregunta 14: Hay 365 días en un año y 100 años en un siglo. Ignorando los años bisiestos, ¿ cuántas semanas hay en un siglo?
► Solución a la Pregunta 14
El número total de días en un siglo (ignorando los años bisiestos) es:
\[ 100 \times 365 = 36,500 \text{ días} \]
Hay 7 días en una semana, por lo que el número de semanas en un siglo es:
\[ 36,500 \div 7 = 5,214 \text{ semanas y } 2 \text{ días} \]
Hay 5,214 semanas completas y 2 días adicionales en un siglo (si ignoramos los años bisiestos). -
Pregunta 15: Billy leyó 2 libros. Leyó el primero en una semana con 25 páginas diarias. Leyó el segundo libro en 12 días con 23 páginas diarias. ¿Cuál es el número total de páginas que leyó Billy?
► Solución a la Pregunta 15
Una semana tiene 7 días. Billy leyó el primer libro en una semana con 25 páginas diarias. El total de páginas del primer libro:
\[ 25 \times 7 = 175 \text{ páginas} \]
Billy leyó el segundo libro en 12 días con 23 páginas diarias. El total de páginas del segundo libro:
\[ 23 \times 12 = 276 \text{ páginas} \]
Número total de páginas leídas:
\[ 175 + 276 = 451 \text{ páginas} \] -
Pregunta 16: Emma está usando azúcar de una bolsa. Por la mañana, usó \(\dfrac{1}{8}\) de la bolsa. Por la tarde, usó la mitad de lo que quedaba.
a) ¿Qué fracción de la bolsa de azúcar usó Emma por la tarde?
b) ¿Cuánta azúcar usó en total?
c) ¿Qué fracción de la bolsa sigue quedando?► Solución a la Pregunta 16
a) Emma usó \( \dfrac{1}{8} \) por la mañana, por lo que la cantidad que queda después de la mañana es:
\[ 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{8}{8} - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8} \]
Emma usó la mitad de lo que quedaba, y lo que quedaba era \(\dfrac{7}{8}\):
\[ \dfrac{1}{2} \times \dfrac{7}{8} = \dfrac{1 \times 7}{2 \times 8} = \dfrac{7}{16} \]
Así que por la tarde usó \(\dfrac{7}{16}\) de la bolsa.b) Emma usó \(\dfrac{1}{8}\) por la mañana y \(\dfrac{7}{16}\) por la tarde:
Total \(T\) usado:
\[ T = \dfrac{1}{8} + \dfrac{7}{16} \]
Convertimos \(\dfrac{1}{8}\) a una fracción con denominador 16:
\[ \dfrac{1}{8} = \dfrac{1 \times 2}{8 \times 2} = \dfrac{2}{16} \]
Sustituimos y sumamos:
\[ T = \dfrac{2}{16} + \dfrac{7}{16} = \dfrac{9}{16} \]
Se usó un total de \(\dfrac{9}{16}\) de la bolsa.c) La fracción de la bolsa que queda es:
\[ 1 - \dfrac{9}{16} = \dfrac{16}{16} - \dfrac{9}{16} = \dfrac{16 - 9}{16} = \dfrac{7}{16} \]
Queda \(\dfrac{7}{16}\) de la bolsa de azúcar. -
Pregunta 17: John tenía \( \$100 \) para comprar bebidas y sándwiches para su fiesta de cumpleaños. Compró 5 cajas pequeñas de bebidas a \( \$4 \) por caja y 8 cajas de sándwiches a \( \$6 \) por caja. ¿Cuánto dinero le sobró después de las compras?
► Solución a la Pregunta 17
Dinero gastado en bebidas:
\[ 5 \times 4 = \$20 \]
Dinero gastado en sándwiches:
\[ 8 \times 6 = \$48 \]
Dinero total gastado:
\[ 20 + 48 = \$68 \]
Dinero restante después de las compras:
\[ 100 - 68 = \$32 \]
A John le sobraron $32 después de las compras. -
Pregunta 18: 55 trabajadores en una fábrica producen 5500 juguetes por semana. Si los trabajadores de esta fábrica trabajan 4 días a la semana y producen el mismo número de juguetes cada día, ¿cuántos juguetes produce cada día cada trabajador?
► Solución a la Pregunta 18
Para encontrar el número de juguetes producidos cada día, divide el número total de juguetes producidos en una semana entre el número de días laborables, que es 4:
\[ \dfrac{5500}{4} = 1375 \text{ juguetes} \]
Se producen 1375 juguetes cada día entre 55 trabajadores, por lo tanto, cada trabajador produce:
\[ 1375 \div 55 = 25 \]
Cada trabajador produce 25 juguetes por día. -
Pregunta 19: Tom, Julia, Mike y Fran tienen 175 cartas para usar en un juego determinado. Decidieron repartirlas por igual. ¿Cuántas cartas debe tomar cada uno y cuántas cartas sobran?
► Solución a la Pregunta 19
Para averiguar cuántas cartas debe tomar cada persona, divide 175 entre 4 (ya que son 4 personas):
\[ 175 \div 4 = 43 \text{ Residuo } 3 \]
Cada persona debe tomar 43 cartas y sobrarán 3 cartas. -
Pregunta 20: La figura sombreada está formada por 5 cuadrados congruentes. El lado de un cuadrado mide 4 cm. Encuentra el área total de la figura sombreada.
► Solución a la Pregunta 20
El área de un cuadrado es igual a:
\[ 4 \times 4 = 16 \; \text{centímetros cuadrados} \]
La figura completa tiene 5 cuadrados. El área total es:
\[ 16 + 16 + 16 + 16 + 16 = 80 \; \text{centímetros cuadrados} \]
o bien \[ 16 \times 5 = 80 \; \text{centímetros cuadrados} \] -
Pregunta 21: Sam, Carla y Sarah pasaron una tarde recolectando conchas marinas. Sam recolectó 11. Si sumamos el número de conchas marinas recolectadas por Sam y Carla, el total sería 24. Si sumamos el número de conchas marinas recolectadas por Carla y Sarah, el total sería 25 conchas. ¿Cuántas conchas recolectó cada una?
► Solución a la Pregunta 21
Sam = 11 conchas
Sam + Carla = 24 conchas
Entonces, para encontrar cuántas recolectó Carla:
\[ \text{Carla} = 24 - \text{Sam} = 24 - 11 = 13 \]
Carla + Sarah = 25 conchas
Acabamos de encontrar que Carla recolectó 13, por lo tanto:
\[ \text{Sarah} = 25 - \text{Carla} = 25 - 13 = 12 \]
Sam recolectó 11 conchas, Carla recolectó 13 conchas y Sarah recolectó 12 conchas. -
Pregunta 22: El Sr. Joshua corre 6 kilómetros todos los días de lunes a viernes. También corre 12 kilómetros al día los sábados y domingos. ¿Cuántos kilómetros corre Joshua en una semana?
► Solución a la Pregunta 22
De lunes a viernes hay 5 días. Corre 6 kilómetros cada día:
\[ 6 \times 5 = 30 \text{ kilómetros} \]
Los sábados y domingos hay 2 días. Corre 12 kilómetros cada día:
\[ 12 \times 2 = 24 \text{ kilómetros} \]
Total de kilómetros recorridos en una semana:
\[ 30 + 24 = 54 \text{ kilómetros} \]
El Sr. Joshua corre 54 kilómetros en una semana. -
Pregunta 23: Tom y Bob son hermanos y cada uno tenía la misma cantidad de dinero, la cual juntaron para comprar un juguete. El costo del juguete fue de \( \$22 \). Si el cajero les dio un cambio de \( \$6 \), ¿cuánto dinero tenía cada uno?
► Solución a la Pregunta 23
Primero, encuentra la cantidad total de dinero que tenían juntos. Compraron un juguete por \( \$22 \) y recibieron $6 de vuelta:
\[ 22 + 6 = 28 \]
Por lo tanto, juntos tenían $28.
Como tenían la misma cantidad, divide 28 entre 2:
\[ 28 \div 2 = 14 \]
Cada uno de ellos tenía $14. -
Pregunta 24: John tiene 5 cajas de caramelos. Un grupo de cajas tiene 5 caramelos en cada caja. El segundo grupo de cajas tiene 4 caramelos en cada caja. John tiene un total de 22 caramelos. ¿Cuántas cajas de cada tipo tiene John?
► Solución a la Pregunta 24
Se presentan dos métodos para resolver este problema. Si no has visto nada de álgebra, el método de la tabla es bueno para ti. Si conoces el álgebra y la resolución de ecuaciones, entonces ambos métodos son buenos para ti.
Método de la tabla
Podemos crear una tabla para probar diferentes números de cajas con 5 caramelos y ver cuántas cajas con 4 caramelos se necesitan para alcanzar un total de 22 caramelos.
Nota: El número total de cajas es 5; por lo tanto, una vez que se selecciona el "Número de cajas con 5 caramelos" en la primera columna de la izquierda, el "Número de cajas con 4 caramelos" es igual a 5 - "Número de cajas con 5 caramelos".Número de cajas con 5 caramelos Número de cajas con 4 caramelos Caramelos totales 0 5 - 0 = 5 \( 0 \times 5 + 5 \times 4 = 20 \) 1 5 - 1 = 4 \(1 \times 5 + 4 \times 4 = 21 \) 2 5 - 2 = 3 \( \color{red}{2 \times 5 + 3 \times 4 = 22} \) 3 5 - 3 = 2 \(3 \times 5 + 2 \times 4 = 23 \) 4 5 - 4 = 1 \(4 \times 5 + 1 \times 4 = 24 \) 5 5 - 5 = 0 \(5 \times 5 + 0 \times 4 = 25\) A partir de la tabla, podemos ver que cuando John tiene 2 cajas con 5 caramelos y 3 cajas con 4 caramelos, el número total de caramelos es exactamente 22.
Método algebraico
Digamos que John tiene \( x \) cajas con 5 caramelos cada una. Entonces debe tener \( 5 - x \) cajas con 4 caramelos cada una.
Ecuación de caramelos totales:
\[ 5x + 4(5 - x) = 22 \]
\[ 5x + 20 - 4x = 22 \]
\[ x + 20 = 22 \]
\[ x = 2 \]
Por lo tanto, John tiene 2 cajas con 5 caramelos cada una y \( 5 - x = 3 \) cajas con 4 caramelos cada una. -
Pregunta 25: Hay un total de 16 pollos y conejos en una granja. El número total de patas (pollos y conejos) es igual a 50. ¿Cuántos pollos y cuántos conejos hay? (Pista: usa una tabla)
► Solución a la Pregunta 25
Sea el número de pollos denotado por \( C \) y el número de conejos por \( R \).
El número total de animales es 16: \( C + R = 16 \).
Los pollos tienen 2 patas cada uno y los conejos tienen 4 patas cada uno. Patas totales = 50: \( 2C + 4R = 50 \).Pollos (C) Conejos (R) Patas Totales = 2 C + 4 R 0 16 \(2 \times 0 + 4 \times 16 = 64\) 1 15 \(2 \times 1 + 4 \times 15 = 62\) 2 14 \( 2 \times 2 + 4 \times 14 = 60 \) 3 13 \( 2 \times 3 + 4 \times 13 = 58 \) 4 12 \( 2 \times 4 + 4 \times 12 = 56 \) 5 11 \(2 \times 5 + 4 \times 11 = 54\) 6 10 \(2 \times 6 + 4 \times 10 = 52\) 7 9 \(\color{red}{ 2 \times 7 + 4 \times 9 = 50 \quad \text{(Respuesta Correcta)}}\) Por lo tanto, hay 7 pollos y 9 conejos en la granja.
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Pregunta 26: Hay 4 pollos más que conejos en una granja. El número total de patas (pollos y conejos) es igual a 44. ¿Cuántos pollos y cuántos conejos hay?
► Solución a la Pregunta 26
Método algebraico
Sea el número de conejos denotado por \( R \) y el de pollos por \( C \).
\( C = R + 4 \)
Patas totales: \( 2C + 4R = 44 \)
Sustituyendo \( C \):
\[ 2(R + 4) + 4R = 44 \]
\[ 2R + 8 + 4R = 44 \]
\[ 6R + 8 = 44 \implies 6R = 36 \implies R = 6 \]
\( C = 6 + 4 = 10 \). Así que hay 10 pollos y 6 conejos.Método de la tabla
Conejos (R) Pollos (C = R + 4) Patas Totales = 2C + 4 R 0 4 \(2 \times 4 + 4 \times 0 = 8\) 1 5 \(2 \times 5 + 4 \times 1 = 14\) 2 6 \(2 \times 6 + 4 \times 2 = 20\) 3 7 \(2 \times 7 + 4 \times 3 = 26\) 4 8 \(2 \times 8 + 4 \times 4 = 32\) 5 9 \(2 \times 9 + 4 \times 5 = 38\) 6 10 \(\color{red}{2 \times 10 + 4 \times 6 = 44 \quad \text{(Respuesta Correcta)}}\) Por lo tanto, hay 10 pollos y 6 conejos.