Encuentra el MCM y el MCD de Enteros - Ejemplos y Preguntas con Respuestas (5.° Grado)

Aprende a encontrar el Mínimo Común Múltiplo (MCM) y el Máximo Común Divisor (MCD) de números enteros con ejemplos paso a paso y preguntas de práctica con respuestas. Utiliza nuestras calculadoras interactivas a continuación para verificar tus respuestas:

Contenido de la Página

A - Encuentra el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de dos Números

Método 1:
Ejemplo 1: Encuentra el MCM de 6 y 4 listando los múltiplos.
Encuentra los primeros múltiplos de 6 y 4:
6: 6 , 12 , 18 , 24 , 30 ,...
4: 4 , 8 , 12 , 16 , 20 ,...
El menor múltiplo común de 6 y 4 es 12. Por lo tanto, el MCM de 6 y 4 es 12.
Nota: Este método funciona mejor para números pequeños.


Método 2:
Encuentra el MCM usando factorización prima. La factorización prima utiliza números primos (2, 3, 5, 7, 11, ...) para factorizar un número entero.
Ejemplos de Factorización Prima:
\(4 = 2 \times 2\)
\(14 = 2 \times 7\)
\(16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2\)
\(20 = 2 \times 2 \times 5\)

Ejemplo 2: Encuentra el MCM de 6 y 4 usando factorización prima.
Encuentra la factorización prima de cada número:
\(6 = 2 \times 3\)
\(4 = 2 \times 2\)
Multiplicando las formas factorizadas:
\(6 \times 4 = (\underline{2} \times 3) \times (\underline{2} \times 2)\)
Dado que el factor \(\underline{2}\) se cuenta dos veces, elimínalo de un término para obtener el mínimo común múltiplo:
\(\text{MCM} = 3 \times (2 \times 2) = 12\).


Ejemplo 3: Encuentra el MCM de 20 y 24 usando factorización prima.
\(20 = 2 \times 2 \times 5\)
\(24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3\)
El producto en forma factorizada es \((\underline{2} \times \underline{2} \times 5) \times (\underline{2} \times \underline{2} \times 2 \times 3)\).
Eliminando los factores duplicados \(\underline{2} \times \underline{2}\) de un término se obtiene:
\(\text{MCM} = (5) \times (2 \times 2 \times 2 \times 3) = 120\).


Ejemplo 4: Encuentra el MCM de 1240 y 5300 usando factorización prima.
\(1240 = \underline{2} \times \underline{2} \times 2 \times \underline{5} \times 31\)
\(5300 = \underline{2} \times \underline{2} \times \underline{5} \times 5 \times 53\)
Eliminando los factores duplicados \(\underline{2} \times \underline{2} \times \underline{5}\) de un término se produce:
\(\text{MCM} = (2 \times 31) \times (\underline{2} \times \underline{2} \times \underline{5} \times 5 \times 53) = 328,600\).


B - Encuentra el Máximo Común Divisor (MCD) de dos Números

Ejemplo 5: Encuentra el MCD de 6 y 4 usando factorización prima.
\(6 = 2 \times 3\)
\(4 = 2 \times 2\)
El número 2 es el factor común más alto compartido por 6 y 4. Por lo tanto, \(\text{MCD} = 2\).

Ejemplo 6: Encuentra el MCD de 20 y 24 usando factorización prima.
\(20 = \underline{2} \times \underline{2} \times 5\)
\(24 = \underline{2} \times \underline{2} \times 2 \times 3\)
El MCD es el producto de todos los factores comunes: \(\underline{2} \times \underline{2} = 4\).


Ejemplo 7: Encuentra el MCD de 1240 y 5300 usando factorización prima.
\(1240 = \underline{2} \times \underline{2} \times 2 \times \underline{5} \times 31\)
\(5300 = \underline{2} \times \underline{2} \times \underline{5} \times 5 \times 53\)
El MCD está dado por \(\underline{2} \times \underline{2} \times \underline{5} = 20\).


C - Relación Entre el MCM y el MCD de Dos Números

La tabla siguiente ilustra que el producto de dos números enteros cualesquiera es igual al producto de su MCM y MCD.

\((m , n)\) \(\text{MCM}(m,n)\) \(\text{MCD}(m,n)\) \(\text{MCM}(m,n) \times \text{MCD}(m,n)\) \(m \times n\)
\((4 , 6)\) 12 2 \(12 \times 2 = 24\) \(4 \times 6 = 24\)
\((20 , 24)\) 120 4 \(120 \times 4 = 480\) \(20 \times 24 = 480\)

Propiedad Clave: Para dos números enteros cualesquiera \(m\) y \(n\):

\(m \times n = \text{MCM}(m,n) \times \text{MCD}(m,n)\)


Preguntas y Soluciones Paso a Paso

Encuentra el MCM y el MCD de cada par de números y verifica que su producto sea igual al producto de su MCM y MCD.

  1. Pregunta A: 21 y 14

    Ver la solución paso a paso

    Explicación:

    • Factorización Prima: \(21 = 3 \times 7\) y \(14 = 2 \times 7\).
    • MCD: El factor común es 7. Por lo tanto, \(\text{MCD} = 7\).
    • MCM: \(2 \times 3 \times 7 = 42\). Por lo tanto, \(\text{MCM} = 42\).
    • Verificación: \(\text{MCD} \times \text{MCM} = 7 \times 42 = 294\) y \(21 \times 14 = 294\).

    Respuesta: \(\text{MCD} = 7\), \(\text{MCM} = 42\)

  2. Pregunta B: 45 y 55

    Ver la solución paso a paso

    Explicación:

    • Factorización Prima: \(45 = 3^2 \times 5\) y \(55 = 5 \times 11\).
    • MCD: El factor común es 5. Por lo tanto, \(\text{MCD} = 5\).
    • MCM: \(3^2 \times 5 \times 11 = 9 \times 5 \times 11 = 495\). Por lo tanto, \(\text{MCM} = 495\).
    • Verificación: \(\text{MCD} \times \text{MCM} = 5 \times 495 = 2475\) y \(45 \times 55 = 2475\).

    Respuesta: \(\text{MCD} = 5\), \(\text{MCM} = 495\)

  3. Pregunta C: 120 y 248

    Ver la solución paso a paso

    Explicación:

    • Factorización Prima: \(120 = 2^3 \times 3 \times 5\) y \(248 = 2^3 \times 31\).
    • MCD: El factor común es \(2^3 = 8\). Por lo tanto, \(\text{MCD} = 8\).
    • MCM: \(2^3 \times 3 \times 5 \times 31 = 3720\). Por lo tanto, \(\text{MCM} = 3720\).
    • Verificación: \(\text{MCD} \times \text{MCM} = 8 \times 3720 = 29760\) y \(120 \times 248 = 29760\).

    Respuesta: \(\text{MCD} = 8\), \(\text{MCM} = 3720\)


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