Regla de adición para probabilidades

La regla de la suma de probabilidades se utiliza para resolver problemas y preguntas de probabilidad. Se presentan varios ejemplos junto con sus soluciones detalladas.
La base mínima necesaria para comprender los ejemplos es el concepto de espacio muestral de un experimento y el evento de interés. También podría ser útil revisar las preguntas de probabilidad básicas.
En lo que sigue, n(S) es el número de elementos en el espacio muestral S y n(E) es el número de elementos en el evento E.

Explicaciones de la regla de adición

La mejor manera de explicar la regla de la suma es resolver el siguiente ejemplo usando dos métodos diferentes.

Ejemplo 1
Se lanza un dado justo una vez, encuentre la probabilidad de obtener un número impar o un número menor o igual a \( 3 \).

Solución al Ejemplo 1
Se sugieren dos métodos.

Método 1: Usa el espacio muestral
El espacio muestral S, que es el conjunto de todos los resultados posibles, del experimento de lanzar un dado está dado por
\( \quad \quad \quad S = \{1,2,3,4,5,6\} \)
El número de elementos \( n(S) \) en el conjunto \( S \) viene dado por \( n(S) = 6 \)
Sea E el evento "obtener un número impar o un número menor o igual que \( 3 \)". Comprueba cada elemento del espacio muestral\( S \) para ver si es impar o menor o igual que \( 3 \) para terminar con todos los resultados pertenecientes al conjunto E dado por
\( \quad \quad \quad E = \{1,2,3,5\} \)
El número de elementos \( n(E) \) en el conjunto \( E \) viene dado por
\( \quad \quad \quad n(E) = 4 \)
Sea \( P(E) \) la probabilidad de que ocurra el evento E, definido anteriormente. Ahora usamos la fórmula de la probabilidad clásica para encontrar \( P(E) \) como:
\( \quad \quad \quad P(E) = \dfrac{n(E)}{n(S)} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \)


Método 2: Usar fórmula de suma
E es el evento "obtener un número impar o un número menor o igual que \( 3 \)" es en realidad la unión de dos eventos: el evento \( A \) correspondiente a "obtener un número impar" y el evento \( B \) correspondiente a "obtener un número menor o igual que \( 3 \)".
\( \quad \quad \quad A = \{1,3,5\} \)
\( \quad \quad \quad B = \{1,2,3\} \)
tal que
\( \quad \quad \quad E = A \cup B = \{1,3,5\} \cup \{1,2,3\} = \{1,2,3,5\} \)
Los siguientes diagramas de Venn muestran el conjunto \( A \) y el conjunto \( B \) y su unión \( A \cup B \). Tenga en cuenta también que la intersección de \( A \) y \( B \) tiene dos elementos: \( A \cap B = \{1,3\} \)



Sean \( n(E), n(A) \), \( n(B) \) y \( n(A \cap B) \) los números de elementos en los conjuntos \( E \), \ ( A \), \( B \) y \( (A \cap B) \) respectivamente.
Sabemos desde arriba que \( \quad \quad \quad n(E) = 4 \) , \( n(A) = 3 \) , \( n(B) = 3 \) y \( n(A \cap B) = 2 \)
Podemos escribir: \( n(E) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 3 + 3 - 2 = 4 \)
La razón por la que restamos \( n(A \cap B) \) en la expresión de \(n(E) \) anterior es porque \( n(A \cap B) \) se cuenta dos veces: una vez en \( n(A)\) y una vez en \(n(B)\)
La probabilidad \( P(E) \) del evento \( E = A \cup B \) viene dada por
\( \quad \quad \quad P(E) = \dfrac{n(E)}{n(S)} = \dfrac{n(A)+ n(B) - n(A \cap B) }{ n(S)} = \dfrac{n(A)}{ n(S)} + \dfrac{n(B)}{n(S)} - \dfrac{n(A \cap B)}{n( S)} = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
Por lo tanto, la regla general de la suma de probabilidades está dada por
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] o \[ P(A \; \text{o} \; B) = P(A) + P(B) - P(A \; \text{y} \; B) \]
donde \( p(A) \) es la probabilidad de que ocurra \( A \) , \( P(B) \) es la probabilidad de que ocurra \( B \) y \( P(A \cap B) \) es la probabilidad de que \( A \) y \( B \) sucedan al mismo tiempo.
\( \quad \quad \quad p(A) = \dfrac{n(A)}{n(S)} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\)
\( \quad \quad \quad P(B) = \dfrac{n(B)}{n(S)} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\)
\( \quad \quad \quad P(A \cap B) = \dfrac{n(A \cap B)}{n(S)} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3 } \)
Usa la regla de suma anterior
\( \quad \quad \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 1/2 + 1/2 - 1/3 = 2/3\)
NOTA: Si los eventos \( A \) y \( B \) son mutuamente excluyentes, lo que significa que no pueden ocurrir al mismo tiempo, la intersección \( A \cap B = \phi \), conjunto vacío, y por lo tanto \( P(A \cap B) = 0 \) que simplifica la regla de la suma a
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B)\] o \[ P(A \; \text{o} \; B) = P(A) + P(B) \]

Ejemplos sobre el uso de la regla de la suma

Ejemplo 2
Se lanza un dado justo una vez, encuentre la probabilidad de obtener un "\( 1 \)" o un "\( 5 \) ".

Solución al Ejemplo 2
Sea evento \( A \): obtener un "\( 1 \)" y evento \( B \): obtener un "\( 5 \) ". Luego se nos pide encontrar \( P(A \cup B) \) que dada por
\( \quad \quad \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
Estos dos eventos son mutuamente excluyentes porque no puedes obtener "\( 1 \)" y "\( 5 \) " al mismo tiempo. Por eso
\( \quad \quad \quad P(A \cap B) = 0 \)
y
\( \quad \quad \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) \)
La probabilidad de obtener un \( 1 \) (evento A) al lanzar un dado es
\( \quad \quad \quad P(A) = \dfrac {1}{6} \)
La probabilidad de obtener un \( 5 \) (evento B) al lanzar un dado es
\( \quad \quad \quad P(B) = \dfrac {1}{6} \)
\( \quad \quad \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3} \)

Ejemplo 3
Una caja contiene 3 bolas rojas, 2 bolas verdes y 5 bolas azules. Se extrae una bola al azar de la caja. Encuentre la probabilidad de que la pelota sea verde o azul.

Solución al Ejemplo 3
Sea evento \( A \): la pelota es verde y evento \( B \): la pelota es azul. Luego se nos pide encontrar \( P(A \cup B) \) que viene dada por ".
\( \quad \quad \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
La probabilidad de obtener un green (evento A) se calcula de la siguiente manera
Hay un total de 10 bolas y 2 son verdes; por eso
\( \quad \quad \quad P(A) = \dfrac {2}{10} = 1/5 \)
La probabilidad de obtener un azul (evento B) se calcula de la siguiente manera
Hay un total de 10 bolas y 5 son azules; por eso
\( \quad \quad \quad P(B) = \dfrac {5}{10} = 1/2 \)
Estos dos eventos son mutuamente excluyentes: no podemos obtener una bola verde y una azul al mismo tiempo. Por eso
\( \quad \quad \quad P(A \cap B) = 0 \)
y
\( \quad \quad \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 1/5 + 1/2 = 7/10 \)

Ejemplo 4
En una escuela de 100 alumnos, 50 juegan al fútbol, 20 al baloncesto y 10 juegan al fútbol y al baloncesto. Si se selecciona un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que practique al menos uno de los dos deportes?

Solución al Ejemplo 4
Sea evento \( A \): el estudiante juega fútbol , Sea evento \( B \): el estudiante juega baloncesto
Estamos buscando la probabilidad de que el estudiante seleccionado juegue fútbol, baloncesto o ambos escritos como
\( \quad \quad \quad P( A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
Si 50 de cada 100 estudiantes juegan al fútbol, entonces
\( \quad \quad \quad P(A) = \dfrac{50}{100} = 1/2 \)
Si \( 20 \) de \( 100 \) juegan baloncesto, entonces
\( \quad \quad \quad P(B) = \dfrac{20}{100} = 1/5 \)
Si 10 juega ambos, entonces
\( \quad \quad \quad P(A \cap B) = \dfrac{10}{100} = 1/10 \)
y la probabilidad que estamos calculando viene dada por
\( \quad \quad \quad P( A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 1/2 + 1/5 - 1/10 = 3/5 \)

Ejemplo 5
Se extrae una sola carta de una baraja. Encuentre la probabilidad de seleccionar lo siguiente.
a) un "2" o un "5"
b) Un "8" o un "corazón"
c) Una "Reina" o una "tarjeta roja"

Solución al Ejemplo 5

a)
Sea evento \( A \): seleccionar un "2" y evento \( B \): seleccionar un "5".
En una baraja de 52 cartas, hay 4 "2" y 4 "5".
Los eventos \( A \) y \( B \) son mutuamente excluyentes, no puedes obtener un "2" y un "5" al mismo tiempo si robas una carta. Por eso
\( \quad \quad \quad P(A \cap B) = 0 \)
\( \quad \quad \quad P(A) = 4/52 = 1/3 \)
\( \quad \quad \quad P(B) = 4/52 = 1/3 \)
\( \quad \quad \quad P( A \cup B) = P(A) + P(B) = 1/13 + 1/13 = 2/13 \)
b)
Sea evento \( C \): seleccionar un "8" y evento \( D \): seleccionar un "corazón".
En una baraja de 52 cartas, hay 4 "8"; por eso
\( \quad \quad \quad P(C) = 4/52 = 1/13 \)
y 13 "corazones"; por eso
\( \quad \quad \quad P(D) = 13/52 = 1/4 \)
Los eventos \( C \) y \( D \) NO son mutuamente excluyentes; puedes obtener un "8" y un "corazón" al mismo tiempo si dibujas un "8" de "corazones". Por eso
\( \quad \quad \quad P(C \cap D) = 1/52 \)
\( \quad \quad \quad P( C \cup D) = P(C) + P(D) - P( C \cup D) = 1/13 + 1/4 - 1/52 = 4/13 \)
C)
Sea evento \( E \): seleccionar una "Reina" y evento \( F \): seleccionar una "tarjeta roja".
En una baraja de 52 cartas, hay 4 "Reinas"; por eso
\( \quad \quad \quad P(E) = 4/52 = 1/13 \)
y 26 "tarjetas rojas"; por eso
\( \quad \quad \quad P(F) = 26/52 = 1/2 \)
Los eventos \( C \) y \( D \) NO son mutuamente excluyentes; puede obtener una "Reina" de "Corazones" que es una "tarjeta roja" y también puede obtener una "Reina" de "Diamantes" que es una "tarjeta roja". Por eso
\( \quad \quad \quad P(E \cap F) = 2/52 = 1/26 \)
\( \quad \quad \quad P( E \cup F) = P(E) + P(F) - P( E \cup F) = 1/13 + 1/2 - 2/52 = 7/13 \)

Ejemplo 6
Un concesionario de automóviles tiene los automóviles enumerados en la siguiente tabla clasificados por tipo y color. Si se selecciona un automóvil al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea
a) un coche negro o blanco?
b) un coche azul o cupé?
c) un coche negro o un SUV?

Ejemplo 7
La siguiente tabla muestra la número de horas que los estudiantes dedican a sus tareas cada semana.

Ejemplo 8
Los clientes de una compañía de seguros tienen al menos uno de dos seguros: hogar, automóvil o ambos. El 80% de los clientes tiene seguro de hogar y el 60% tiene seguro de auto. Si seleccionamos una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que esta persona tenga ambos seguros con la empresa?


Solución al Ejemplo 8
Sea evento \( A \): tener seguro de hogar y evento \( B \) : tener seguro de auto.
\( \quad \quad \quad P( A \cup B ) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
Necesitamos encontrar \( P(A \cap B) \)
El 100% de los clientes tienen uno o ambos seguros; por eso
\( \quad \quad \quad P( A \cup B ) = 100\% \)
El 80% de los clientes tienen seguro de hogar, por lo que
\( \quad \quad \quad P(A) = 80\% \)
El 60% de los clientes tienen seguro de auto, por lo tanto
\( \quad \quad \quad P(B) = 60\% \)
\( \quad \quad \quad 100\% = 80\% + 60\% - P(A \cap B) \)
\( \quad \quad \quad P(A \cap B) = 140\% - 100\% = 40\% = 0.4 \)

Más referencias y enlaces