Regla de la Suma para Probabilidades
La regla de la suma de probabilidades se utiliza para resolver preguntas y problemas de probabilidad. Se presentan varios ejemplos junto con sus soluciones detalladas.
El conocimiento mínimo necesario es el concepto de espacio muestral y evento. Repasar preguntas básicas de probabilidad podría ser útil.
En lo que sigue, \( n(S) \) es el número de elementos en el espacio muestral \( S \) y \( n(E) \) es el número de elementos en el evento \( E \).
Explicación de la Regla de la Suma
La mejor manera de explicar la regla de la suma es resolver el siguiente ejemplo utilizando dos métodos diferentes.
Ejemplo 1
Se lanza un dado justo una vez. Encuentra la probabilidad de obtener un número impar o un número menor o igual a \( 3 \).
Solución
Se sugieren dos métodos.
Método 1: Usar el espacio muestral
El espacio muestral \( S \) es:
\[ S = \{1,2,3,4,5,6\} \]
El número de elementos \( n(S) = 6 \).
Sea \( E \) el evento "obtener un número impar o un número menor o igual a \( 3 \)". Los resultados en \( E \) son:
\[ E = \{1,2,3,5\} \]
Entonces, \( n(E) = 4 \).
La probabilidad es:
\[ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]
Método 2: Usar la fórmula de la suma
Sea \( A \): obtener un número impar, \( B \): obtener un número ≤ 3.
\[ A = \{1,3,5\}, \quad B = \{1,2,3\} \]
Entonces \( E = A \cup B = \{1,2,3,5\} \).
Tenemos:
\[ n(A)=3, \; n(B)=3, \; n(A \cap B)=2 \]
\[ n(E) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 3+3-2=4 \]
La probabilidad:
\[ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{n(A)}{n(S)} + \frac{n(B)}{n(S)} - \frac{n(A \cap B)}{n(S)} = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]
De ahí la regla general de la suma:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]
o
\[ P(A \text{ o } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ y } B) \]
Aquí:
\[ P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \quad P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \quad P(A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
\[ P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \]
NOTA: Si los eventos \( A \) y \( B \) son mutuamente excluyentes (no pueden ocurrir juntos), entonces \( P(A \cap B) = 0 \) y la regla se simplifica a:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]
o
\[ P(A \text{ o } B) = P(A) + P(B) \]
Ejemplos del Uso de la Regla de la Suma
Más ejemplos y preguntas sobre el uso de la regla de la suma.
Ejemplo 2
Se lanza un dado justo una vez. Encuentra la probabilidad de obtener un "\( 1 \)" o un "\( 5 \)".
Solución:
Sea \( A \): obtener un "1", \( B \): obtener un "5". Estos son mutuamente excluyentes.
\[ P(A) = \frac{1}{6}, \quad P(B) = \frac{1}{6}, \quad P(A \cap B) = 0 \]
\[ P(A \cup B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3} \]
Ejemplo 3
Una caja tiene 3 bolas rojas, 2 verdes y 5 azules. Se extrae una bola al azar. Encuentra la probabilidad de que sea verde o azul.
Solución:
Sea \( A \): la bola es verde, \( B \): la bola es azul. Mutuamente excluyentes.
\[ P(A) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}, \quad P(B) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \]
\[ P(A \cup B) = \frac{1}{5} + \frac{1}{2} = \frac{7}{10} \]
Ejemplo 4
En una escuela de 100 estudiantes, 50 juegan fútbol, 20 juegan baloncesto y 10 juegan ambos. Se selecciona un estudiante al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que juegue al menos un deporte?
Solución:
Sea \( A \): juega fútbol, \( B \): juega baloncesto.
\[ P(A) = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}, \quad P(B) = \frac{20}{100} = \frac{1}{5}, \quad P(A \cap B) = \frac{10}{100} = \frac{1}{10} \]
\[ P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{5} - \frac{1}{10} = \frac{3}{5} \]
Ejemplo 5
Se extrae una sola carta de una baraja. Encuentra la probabilidad de:
- un "2" o un "5"
- Un "8" o un "corazón"
- Una "Reina" o una "carta roja"
Solución:
- Sea \( A \): "2", \( B \): "5". Mutuamente excluyentes.
\[ P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}, \quad P(B) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \]
\[ P(A \cup B) = \frac{1}{13} + \frac{1}{13} = \frac{2}{13} \]
- Sea \( C \): "8", \( D \): "corazón". No mutuamente excluyentes.
\[ P(C) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}, \quad P(D) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}, \quad P(C \cap D) = \frac{1}{52} \]
\[ P(C \cup D) = \frac{1}{13} + \frac{1}{4} - \frac{1}{52} = \frac{4}{13} \]
- Sea \( E \): "Reina", \( F \): "carta roja". No mutuamente excluyentes.
\[ P(E) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}, \quad P(F) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}, \quad P(E \cap F) = \frac{2}{52} = \frac{1}{26} \]
\[ P(E \cup F) = \frac{1}{13} + \frac{1}{2} - \frac{1}{26} = \frac{7}{13} \]
Ejemplo 6
Un concesionario de coches tiene coches como en la tabla. Se selecciona un coche al azar. Encuentra la probabilidad de que sea:
- ¿un coche negro o blanco?
- ¿un coche azul o un cupé?
- ¿un coche negro o un SUV?
| SUV | Coche Deportivo | Furgoneta | Cupé | Total |
|---|
| Negro | 35 | 10 | 25 | 15 | 85 |
| Blanco | 10 | 15 | 20 | 5 | 50 |
| Azul | 15 | 15 | 5 | 30 | 65 |
| Total | 60 | 40 | 50 | 50 | 200 |
Solución:
- Sea \( A \): negro, \( B \): blanco. Mutuamente excluyentes.
\[ P(A) = \frac{85}{200} = \frac{17}{40}, \quad P(B) = \frac{50}{200} = \frac{1}{4} \]
\[ P(A \cup B) = \frac{17}{40} + \frac{1}{4} = \frac{27}{40} \]
- Sea \( C \): azul, \( D \): cupé. No mutuamente excluyentes.
\[ P(C) = \frac{65}{200} = \frac{13}{40}, \quad P(D) = \frac{50}{200} = \frac{1}{4}, \quad P(C \cap D) = \frac{30}{200} = \frac{3}{20} \]
\[ P(C \cup D) = \frac{13}{40} + \frac{1}{4} - \frac{3}{20} = \frac{17}{40} \]
- Sea \( E \): negro, \( F \): SUV. No mutuamente excluyentes.
\[ P(E) = \frac{85}{200} = \frac{17}{40}, \quad P(F) = \frac{60}{200} = \frac{3}{10}, \quad P(E \cap F) = \frac{35}{200} = \frac{7}{40} \]
\[ P(E \cup F) = \frac{17}{40} + \frac{3}{10} - \frac{7}{40} = \frac{11}{20} \]
Ejemplo 7
La tabla muestra las horas semanales que los estudiantes dedican a la tarea. Se selecciona un estudiante al azar. Encuentra la probabilidad de que el estudiante pase como máximo 4 horas o al menos 11 horas.
| Tiempo (horas) | Número de estudiantes |
|---|
| 0-2 | 5 |
| 3-4 | 20 |
| 5-7 | 35 |
| 8-10 | 50 |
| 11-12 | 60 |
| 13+ | 30 |
Solución:
Sea \( A \): como máximo 4 horas, \( B \): al menos 11 horas. Mutuamente excluyentes.
\[ P(A) = \frac{5+20}{200} = \frac{25}{200} = \frac{1}{8}, \quad P(B) = \frac{60+30}{200} = \frac{90}{200} = \frac{9}{20} \]
\[ P(A \cup B) = \frac{1}{8} + \frac{9}{20} = \frac{5}{40} + \frac{18}{40} = \frac{23}{40} \]
Ejemplo 8
Los clientes de una compañía de seguros tienen seguro de hogar (80%), seguro de auto (60%), o ambos. Se selecciona una persona al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga ambos seguros?
Solución:
Sea \( A \): seguro de hogar, \( B \): seguro de auto.
\[ P(A \cup B) = 1 \quad (\text{todos los clientes tienen al menos uno}) \]
\[ P(A) = 0.8, \quad P(B) = 0.6 \]
\[ 1 = 0.8 + 0.6 - P(A \cap B) \]
\[ P(A \cap B) = 1.4 - 1 = 0.4 \]
Más Referencias y Enlaces