En un experimento binomial, tiene un número \( n \) de ensayos independientes y cada ensayo tiene dos resultados posibles o varios resultados que pueden reducirse a dos resultados.
Las propiedades de un experimento binomial son:
1) El número de intentos \( n \) es constante.
2) Cada ensayo tiene 2 resultados (o que se pueden reducir a 2 resultados) solamente: "éxito" o "fracaso", "verdadero" o "falso", "cara" o "cruz", ...
3) La probabilidad \( p \) de éxito en cada intento debe ser constante.
4) Los resultados de los ensayos deben ser independientes entre sí.

Ejemplos de experimentos binomiales
1) Lance una moneda \( n = 10 \) veces y obtenga \( k = 6 \) cara (éxito) y \( n - k \) cruz (fracaso).
2) Tirar un dado \( n = 5\) veces y obtener \( 3 \) "6" (éxito) y \( n - k \) "no 6" (fracaso).
3) De \( n = 10 \) herramientas, donde cada herramienta tiene una probabilidad \( p \) de estar "en buen estado de funcionamiento" (éxito), seleccione 6 al azar y obtenga 4 "en buen estado de funcionamiento" y 2 "no funciona" (falla).
4) Un fármaco recién desarrollado tiene probabilidad \( p \) de ser efectivo.
Seleccione \( n \) personas que tomaron el medicamento y obtengan \( k \) "tratamiento exitoso" (éxito) y \( n - k \) "tratamiento no exitoso" (fracaso).

Explicaciones de fórmulas binomiales

La mejor forma de explicar la fórmula de la distribución binomial es resolver el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1
Una moneda justa se lanza 3 veces. Encuentra la probabilidad de obtener 2 caras \( ( H ) \) y 1 cruz \( ( T ) \).

Solución al Ejemplo 1
Cuando lanzamos una moneda, podemos obtener cara \( ( H ) \) o cruz \( ( T ) \).
Usamos el diagrama de árbol que incluye los tres lanzamientos para determinar el espacio muestral \( S \) del experimento que está dado por:


\( S = \{ (H H H) , \color{red}{(H H T)} , \color{red}{(H T H)} , (H T T) , \color{red}{(T H H)} , (T H T) , (T T H) , (T T T) \} \)
El evento \( E \) de obtener 2 caras en 3 lanzamientos viene dado por el conjunto
\( E = \{ \color{red}{(H H T)} , \color{red}{(H T H)} , \color{red}{(T H H)} \} \)
En un intento (o un lanzamiento), la probabilidad de obtener cara es
\( P(H) = p = 1/2 \)
y la probabilidad de obtener cruz es
\( P(T) = 1 - p = 1/2 \)
Los resultados de cada lanzamiento son independientes, por lo que la probabilidad \( P (H H T) \) viene dada por el producto:
\( P(H H T) = P(H) \cdot P(H) \cdot P(T) \\ = p \cdot p \cdot (1-p) \\ = p^2 (1-p)\)
De manera similar obtenemos
\( P(H T H) = p \cdot (1-p) \cdot p = p^2 (1-p) \)
\( P (T H H) = (1-p) \cdot p \cdot p = p^2 (1-p) \)
\( P( E ) = P ( \; (H H T) \; o \; (H T H) \; o \; (T H H) \;) \)
Usar la regla de la suma sabiendo que \( (H H T) , (H T H) \) y \( (T H H) \) son mutuamente excluyentes
\( P( E ) = P( (H H T) + P(H T H) + P(T H H) ) \)
Sustituto
\(P( E ) = p^2 (1-p) + p^2 (1-p) + p^2 (1-p) = 3 p^2 (1-p) \)
Todos los elementos en el conjunto \( E \) son igualmente probables con probabilidad \( p^2 (1-p) \) y el factor \( 3 \) proviene del número de formas 2 caras \( (H) \) están dentro de 3 intentos y eso está dado por la fórmula para combinaciones escrita de la siguiente manera:
\( \displaystyle {3\choose 2} = 3\)
\( P(E) \) puede escribirse como
\( \displaystyle {P(E) = {3 \choose 2} p^2 (1-p)^1 = {3 \choose 2} p^2 (1-p)^1 = {3 \choose 2} p^2 (1-p)^{3-2}} \)
Por lo tanto, la fórmula general para las probabilidades binomiales está dada por
\[ P(k \; \text{éxitos en n intentos}) = {n\choose k} p^k (1-p)^{n-k} \] donde \( n \) es el número de intentos, \( k \) el número de éxitos y, \( p \) la probabilidad de un éxito.
\( \displaystyle {n\choose k} \) son las combinaciones de \( n \) elementos tomados \( k \) en ese momento y están dadas por factoriales de la siguiente manera:
\[ {n\choose k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} \]
\( n! = 1 \times 2 \times 3 \times ..... \times (n - 1) \times n \) , se lee como \(n \) factorial.

Media y Desviación Estándar de una Distribución Binomial

Ejemplos sobre el uso de la fórmula binomial

Ejemplo 2
Una moneda justa se lanza 5 veces.
¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 caras?

Solución al Ejemplo 2
La moneda se lanza 5 veces, por lo que el número de intentos es \(n = 5\).
Siendo la moneda justa, el resultado de cara en un lanzamiento tiene una probabilidad \( p = 0.5 \) y el resultado de cruz en un lanzamiento tiene una probabilidad \( 1 - p = 0.5 \)
La probabilidad de obtener 3 caras en 5 intentos viene dada por la fórmula anterior para las probabilidades binomiales con \( n = 5 \), \( k = 3 \) y \( p = 0.5\)

\( \displaystyle P(3 \; \text{cara en 5 intentos}) = {5\choose 3} (0,5)^3 (1-0,5)^{5-3} \\ = \displaystyle {5\choose 3} (0,5)^3 (0,5)^{2} \)

Use la fórmula para combinaciones para calcular

\( \displaystyle {5\choose 3} = \dfrac{5!}{3!(5-3)!} = \dfrac{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5}{(1 \times 2 \times 3)(1 \times 2)} = 10 \)
Sustituto
\( P(3 \; \text{cara en 5 intentos}) = 10 (0,5)^3 (0,5)^{2} = 0,3125 \)

Ejemplo 3
Se lanza un dado justo 7 veces, encuentre la probabilidad de obtener "\( 6 \) puntos" exactamente 5 veces.

Solución al Ejemplo 3
Este es un ejemplo donde aunque los resultados son más de 2, nos interesan solo 2: "6" o "no 6".
El dado se lanza 7 veces, por lo que el número de intentos es \( n = 7\).
En un solo intento, el resultado de un "6" tiene una probabilidad \( p = 1/6 \) y un resultado de "ningún 6" tiene una probabilidad \( 1 - p = 1 - 1/6 = 5/6 \)
La probabilidad de tener 5 "6" en 7 ensayos viene dada por la fórmula anterior para las probabilidades binomiales con \( n = 7 \), \( k = 5 \) y \( p = 1/6 \)

\( \displaystyle P(5 \; \text{cara en 7 intentos}) = \displaystyle {7\choose 5} (1/6)^5 (1-5/6)^{7-5} \\ = \displaystyle {7\choose 5} (1/6)^5 (5/6)^{2} \)

Use la fórmula para combinaciones para calcular

\( \displaystyle {7\choose 5} = \dfrac{7!}{5!(7-5)!} = 21 \)
Sustituto
\( P(5 \; \text{"6" en 7 intentos}) = 21 (1/6)^5 (5/6)^{2} = 0,00187 \)

Ejemplo 4
Una fábrica produce herramientas de las cuales el 98% están en buen estado de funcionamiento. Se seleccionan muestras de 1000 herramientas al azar y se prueban.
a) Encuentra la media y dale una interpretación práctica.
b) Encuentre la desviación estándar del número de herramientas en buen estado de funcionamiento en estas muestras.

Solución al Ejemplo 4
Cuando se selecciona una herramienta, está en buen estado de funcionamiento con una probabilidad de 0,98 o no funciona con una probabilidad de 1 - 0,98 = 0,02.
Al seleccionar una muestra de 1000 herramientas al azar, 1000 puede considerarse como el número de intentos en un experimento binomial y, por lo tanto, estamos ante un problema de probabilidad binomial.
a) media: \( \mu = n p = 1000 \times 0,98 = 980 \)
En una muestra de 1000 herramientas, esperaríamos que 980 herramientas estén en buenas condiciones de funcionamiento.
b) desviación estándar: \( \sigma = \sqrt{ n \times p \times (1-p)} = \sqrt{ 1000 \times 0,98 \times (1-0,98)} = 4,43\)

Ejemplo 5
Encuentre la probabilidad de que al menos salgan 5 caras cuando se lanza una moneda justa 7 veces.

Solución al Ejemplo 5
El número de intentos es \( n = 7\).
Siendo la moneda justa, el resultado de una cara en un lanzamiento tiene una probabilidad \( p = 0.5 \).
Obtener al menos 5 cabezas; es equivalente a sacar : 5, 6 o 7 caras y por lo tanto la probabilidad de sacar al menos 5 caras viene dada por
\( P( \text{al menos 5}) = P(\text{5 o 6 o 7}) \)
Uso de la regla de suma con resultados mutuamente exclusivo, tenemos
\( P( \text{al menos 5 cabezas}) = P(5) + P(6) + P(7) \)
donde \( P(5) \) , \( P(6) \) y \( P(7) \) están dadas por la fórmula para probabilidades binomiales con el mismo número de intentos \( n \), misma probabilidad \( p \) pero diferentes valores de \( k \).
\( \displaystyle P( \text{al menos 5 caras} ) = {7\choose 5} (0,5)^5 (1-0,5)^{7-5} + {7\choose 6} (0,5)^6 (1-0,5)^{7-6} + {7\choose 7} (0,5)^7 (1-0,5)^{7-7} \\ = 0,16406 + 0,05469 + 0,00781 = 0,22656 \)

Ejemplo 6
Una prueba de opción múltiple tiene 20 preguntas. Cada pregunta tiene cuatro respuestas posibles con una respuesta correcta por pregunta. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante responda correctamente (para aprobar) 10 o más preguntas adivinando al azar?
NOTA: esta pregunta es muy similar a la pregunta 5 anterior, pero aquí usamos probabilidades binomiales en una situación de la vida real con la que la mayoría de los estudiantes están familiarizados.

Solución al Ejemplo 6
Cada pregunta tiene 4 posibles respuestas con solo una correcta. Si una pregunta se responde adivinando al azar, la probabilidad de responderla correctamente es \( p = 1/4 = 0,25 \).
Cuando se selecciona una respuesta al azar, se responde correctamente con una probabilidad de 0,25 o incorrectamente con una probabilidad de \( 1 - p = 0,75 \).
Esto se puede clasificar como un experimento de probabilidad binomial. La probabilidad de que un estudiante responda correctamente 10 preguntas o más (de 20) adivinando al azar está dada por
\( P(\text{responder correctamente al menos 10 preguntas}) = P(\text{10 o 11 o 12 o 13 o 14 o 15 o 16 o 17 o 18 o 19 o 20}) \)
Usando la regla de la suma, escribimos
\( P(\text{responder correctamente al menos 10 preguntas}) = P(10) + P(11) + .... + P(20) \)

\( = \displaystyle {20\choose 10} \cdot 0,25^10 \cdot 0,75^{20-10} + {20\choose 11} \cdot 0,25^11 \cdot 0,75^{20-11} +... + {20\choose 20} \cdot 0.25^20 \cdot 0.75^{20-20} \)

\( = 0,00992 + 0,00301 + 0,00075 + 0,00015 + 0,00003 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0,01386 \)
Nota
1) Las últimas cinco probabilidades no son exactamente iguales a 0 pero despreciables en comparación con los primeros 5 valores.
2) 2) De acuerdo con el concepto de probabilidades, pasar una prueba adivinando las respuestas al azar no funciona..

Ejemplo 7
Una caja contiene 3 bolas rojas, 4 bolas blancas y 3 bolas negras. 6 veces, se selecciona una bola al azar, se anota el color y luego se vuelve a colocar en la caja.
¿Cuál es la probabilidad de que el color rojo se muestre al menos dos veces?

Solución al Ejemplo 7
El evento "el color rojo se muestra al menos dos veces" es el complemento del evento "el color rojo se muestra una vez o no se muestra"; por lo tanto, usando la fórmula de probabilidad del complemento, escribimos
P("el color rojo se muestra al menos dos veces") = 1 - P("el color rojo se muestra como máximo 1") = 1 - P("el color rojo se muestra una vez" o "el color rojo no se muestra")
Usando la regla de la suma
P("el color rojo se muestra al menos dos veces") = 1 - P("el color rojo se muestra una vez") + P("el color rojo no se muestra")
Aunque hay más de dos resultados (3 colores diferentes) solo nos interesa el color rojo.
El número total de bolas es 10 y hay 3 rojas, por lo tanto, cada vez que se selecciona una bola, la probabilidad de obtener una bola roja es \( p = 3/10 = 0,3\) y, por lo tanto, podemos usar la fórmula para probabilidades binomiales encontrar
P("el color rojo se muestra una vez") = \( \displaystyle{6\choose 1} \cdot 0.3^1 \cdot (1-0.3)^{6-1} = 0.30253 \)
P("no se muestra el color rojo") = \( \displaystyle{6\choose 0} \cdot 0.3^0 \cdot (1-0.3)^{6-0} = 0.11765 \)
P("el color rojo se muestra al menos dos veces") = 1 - 0,11765 - 0,30253 = 0,57982

Ejemplo 8
El 80% de las personas en una ciudad tiene un seguro de hogar con la compañía "MyInsurance".
a) Si se seleccionan al azar 10 personas de esta ciudad, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 8 de ellas tengan un seguro de hogar con “MyInsurance"?
b) Si se seleccionan al azar 500 personas, ¿cuántas se espera que tengan un seguro de hogar con "MyInsurance"?

Solución al Ejemplo 8
a)
Si suponemos que seleccionamos a estas personas, al azar, en ese momento, la probabilidad de que una persona seleccionada tenga un seguro de hogar con "MyInsurance" es de 0,8.
Este es un experimento binomial con \( n = 10 \) y p = 0.8.
"al menos 8 de ellos tienen un seguro de hogar con "MyInsurance" significa que 8 o 9 o 10 tienen un seguro de hogar con "MyInsurance"
La probabilidad de que al menos 8 de cada 10 tengan seguro de hogar con el "MiSeguro" está dada por
\( P( \text{al menos 8}) = P( \text{8 o 9 o 10}) \)
Usar la regla de la suma
\( = P(8)+ P(9) + P(10) \)
Utilice la fórmula de probabilidad binomial llamando "tener un seguro de hogar con "MyInsurance" como un "éxito".
\( = P(8 \; \text{éxitos en 10 intentos}) + P(9 \; \text{éxitos en 10 intentos}) + P(10 \; \text{éxitos en 10 intentos}) \)

\( = \displaystyle{10\choose 8} \cdot 0,8^8 \cdot (1-0,8)^{10-8} + \displaystyle{10\choose 9} \cdot 0,8^9 \cdot (1-0,8) ^{10-9} + \displaystyle{10\choose 10} \cdot 0.8^10 \cdot (1-0.8)^{10-10} \)

\( = 0,30199 + 0,26843 + 0,10737 = 0,67779 \)
b)
Es un problema de distribución binomial con el número de intentos \( n = 500 \).
El número de personas de las 500 que se espera que tengan un seguro de hogar con "MiSeguro" viene dado por la media de la distribución binomial con \( n = 500 \) y \( p = 0,8 \).
\( \mu = n p = 500 \cdot 0.8 = 400 \)
Se espera que 400 personas de las 500 seleccionadas al azar de esa ciudad tengan un seguro de hogar con "MyInsurance".

Preguntas y sus soluciones

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Soluciones a las preguntas anteriores

Solución a la pregunta 1

a)
Hay 3 números pares de 6 en un dado. Por lo tanto, si usted tirar un dado una vez, la probabilidad de obtener un número par es \( p = 3/6 = 1/2 \)
Es un experimento binomial con \( n = 5 \) , \( k = 3 \) y \( p = 0.5 \)
\( P( \text{3 números pares en 5 intentos} ) = \displaystyle{5\choose 3} 0,5^3 (1-0,5)^{5-3} = 0,3125 \)
b)
\( P (\text{al menos 3}) = P (3) + P(4) + P(5) = \displaystyle{5\choose 3} 0,5^3 (1-0,5)^{5-3} + {5\choose 4} 0,5^4 (1-0,5)^{5-4} + {5\choose 5} 0,5^5 (1-0,5)^{5-5} \)
\( = 0,3125 + 0,15625 + 0,03125 = 0,5 \)
C)
\( P (\text{como máximo 3}) = P (0) + P(1) + P(2) = \displaystyle {5\choose 0} 0,5^0 (1-0,5)^{5-0} + {5\choose 1} 0,5^1 (1-0,5)^{5-1} + {5\choose 2} 0,5^2 (1-0,5)^{5-2} \)
\( = 0,03125 + 0,15625 + 0,3125 = 0,5 \)
mi)
Los eventos "se obtienen al menos 3 números pares" y "se obtienen como máximo 2 números pares" son complementarios y la suma de sus probabilidades debe ser igual a 1.

Solución a la pregunta 2

Debido a que la tarjeta se vuelve a colocar, es un experimento binomial con el número de intentos \( n = 10 \)
Hay 26 cartas rojas en una baraja de 52. Por lo tanto la probabilidad de obtener una tarjeta roja en un intento es \( p = 26/52 = 1/2 \)
El evento A = "sacar al menos 3 tarjetas rojas" es complementario al evento B = "sacar como máximo 2 tarjetas rojas"; por eso
\( P(A) = 1 - P(B) \)
\( P(A) = P(3)+P(4) + P(5)+P(6) + P(7)+P(8) + P(9) + P(10) \)
\( P(B) = P(0) + P(1) + P(2) \)
El cálculo de \( P(A)\) necesita muchas más operaciones en comparación con los cálculos de \( P(B) \), por lo que es más eficiente calcular \( P(B) \) y usar la fórmula para el complemento eventos: \( P(A) = 1 - P(B) \).
\( P(B) = \displaystyle {10\choose 0} 0,5^0 (1-0,5)^{10-0} + {10\choose 1} 0,5^1 (1-0,5)^{10-1} + {10\choose 2} 0,5^2 (1-0,5)^{10-2} \\ = 0,00098 + 0,00977 + 0,04395 = 0,0547 \)

\( P(\text{recibir al menos 3 tarjetas rojas}) = P(A) = 1 - P(B) = 0,9453 \)

Solución a la pregunta 3

Cada pregunta tiene 5 posibles respuestas con una correcta. Por lo tanto, la probabilidad de obtener una respuesta correcta en un intento es \( p = 1/5 = 0,2 \)
Es un experimento binomial con \( n = 20 \) y \( p = 0.2 \).
\( P(\text{el estudiante responde 15 o más}) = P( \text{el estudiante responde 15 o 16 o 17 o 18 o 19 o 20}) \\ = P(15) + P(16) + P( 17) + P(18) + P(19) + P(20) \)
Usando la fórmula de probabilidad binomial
\( P(\text{el estudiante responde 15 o más}) = \displaystyle{20\choose 15} 0,2^{15} (1-0,2)^{20-15} + {20\choose 16} 0,2^{16 } (1-0,2)^{20-16} \\ \quad\quad\quad\quad\quad + \displaystyle {20\choose 17} 0,2^{17} (1-0,2)^{20-17} + {20\choose 18} 0,2^{18} (1-0,2)^{20-18} \\ \quad\quad\quad\quad\quad + \displaystyle {20\choose 19} 0,2^{19} (1 -0,2)^{20-19} + {20\choose 20} 0,2^{20} (1-0,2)^{20-20} \)
\( \quad\quad\quad\quad\quad \approx 0 \)
Conclusión: Responder preguntas al azar adivinando no da ninguna posibilidad de pasar una prueba.

Solución a la pregunta 4

En ambos casos se trata de un experimento binomial con
Canadá: \( p = 0,618 \) y \( n = 200 000 \)
media: \( \mu = n p = 200 000 \cdot 0,618 = 123 600 \)
Se espera que 123 600 de 200 000 tengan educación terciaria en Canadá.

Reino Unido: \( p = 0,508 \) y \( n = 200 000 \)
media: \( \mu = n p = 200 000 \cdot 0,508 = 101 600 \)
Se espera que 101 600 de 200 000 tengan educación terciaria en el Reino Unido.

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