Un experimento binomial tiene las siguientes propiedades:
La probabilidad de obtener exactamente \( k \) éxitos en \( n \) ensayos es:
\[ P(k \text{ éxitos}) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]donde el coeficiente binomial es:
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]y \( n! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n \).
Se lanza una moneda justa 3 veces. Calcula la probabilidad de obtener exactamente 2 caras.
Espacio muestral para 3 lanzamientos:
Evento \( E \) = {HHT, HTH, THH} tiene 3 resultados favorables.
Para cada resultado con 2 caras y 1 cruz:
\[ P(\text{HHT}) = p \cdot p \cdot (1-p) = p^2(1-p) \]Dado que \( p = 0.5 \) para una moneda justa:
\[ P(E) = 3 \times (0.5)^2(0.5) = 3 \times 0.125 = 0.375 \]El coeficiente 3 viene de las combinaciones: \(\binom{3}{2} = 3\).
Para una distribución binomial:
Una moneda justa se lanza 5 veces. ¿Cuál es la probabilidad de exactamente 3 caras?
Aquí \( n = 5 \), \( k = 3 \), \( p = 0.5 \):
\[ \begin{aligned} P(3 \text{ caras}) &= \binom{5}{3} (0.5)^3 (0.5)^2 \\ &= 10 \times 0.125 \times 0.25 \\ &= 0.3125 \end{aligned} \]Un dado justo se lanza 7 veces. Halla la probabilidad de exactamente 5 seises.
Aquí \( n = 7 \), \( k = 5 \), \( p = \frac{1}{6} \):
\[ P(5 \text{ seises}) = \binom{7}{5} \left(\frac{1}{6}\right)^5 \left(\frac{5}{6}\right)^2 = 21 \times 0.0001286 \times 0.6944 \approx 0.00187 \]Una fábrica produce herramientas con 98% de confiabilidad. En muestras de 1000 herramientas:
Aquí \( n = 1000 \), \( p = 0.98 \):
Una moneda justa se lanza 7 veces. Halla la probabilidad de al menos 5 caras.
"Al menos 5" significa 5, 6 o 7 caras:
\[ \begin{aligned} P(\geq 5) &= P(5) + P(6) + P(7) \\ &= \binom{7}{5}(0.5)^5(0.5)^2 + \binom{7}{6}(0.5)^6(0.5)^1 + \binom{7}{7}(0.5)^7(0.5)^0 \\ &= 0.16406 + 0.05469 + 0.00781 \\ &= 0.22656 \end{aligned} \]Un examen tiene 20 preguntas con 4 opciones cada una. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar (≥10 correctas) adivinando?
Aquí \( n = 20 \), \( p = 0.25 \):
\[ \begin{aligned} P(\geq 10) &= \sum_{k=10}^{20} \binom{20}{k} (0.25)^k (0.75)^{20-k} \\ &\approx 0.00992 + 0.00301 + 0.00075 + \cdots \\ &\approx 0.01386 \quad (\text{aproximadamente 1.4%}) \end{aligned} \]Conclusión: Adivinar al azar es ineficaz para aprobar.
Una caja tiene 3 bolas rojas, 4 blancas y 3 negras. Se extraen 6 bolas con reemplazo. Halla la probabilidad de al menos 2 bolas rojas.
Probabilidad de roja en una extracción: \( p = \frac{3}{10} = 0.3 \)
Usa la regla del complemento:
\[ \begin{aligned} P(\geq 2) &= 1 - [P(0) + P(1)] \\ &= 1 - \left[\binom{6}{0}(0.3)^0(0.7)^6 + \binom{6}{1}(0.3)^1(0.7)^5\right] \\ &= 1 - [0.11765 + 0.30253] \\ &= 0.57982 \end{aligned} \]El 80% de las personas en una ciudad tienen seguro con "MiSeguro".
Un dado se lanza 5 veces.
Una carta se extrae de una baraja (con reemplazo) 10 veces.
Un examen de opción múltiple tiene 20 preguntas con 5 opciones cada una. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar (≥15 correctas) adivinando?
En el grupo de edad 25-34, el 61.8% en Canadá y el 50.8% en el Reino Unido tienen educación terciaria. Si se seleccionan 200,000 personas al azar de cada país, ¿cuántas se espera que tengan educación terciaria?
Para un dado, probabilidad de número par: \( p = \frac{3}{6} = 0.5 \), \( n = 5 \)
Probabilidad de carta roja: \( p = \frac{26}{52} = 0.5 \), \( n = 10 \)
Usando la regla del complemento:
\[ \begin{aligned} P(\geq 3) &= 1 - [P(0) + P(1) + P(2)] \\ &= 1 - \left[\binom{10}{0}(0.5)^{10} + \binom{10}{1}(0.5)^{10} + \binom{10}{2}(0.5)^{10}\right] \\ &= 1 - [0.00098 + 0.00977 + 0.04395] \\ &= 1 - 0.0547 = 0.9453 \end{aligned} \]Aquí \( n = 20 \), \( p = 0.2 \):
\[ P(\geq 15) = \sum_{k=15}^{20} \binom{20}{k} (0.2)^k (0.8)^{20-k} \approx 0 \]Conclusión: Es imposible aprobar adivinando al azar.