Ejemplos y preguntas de probabilidades condicionales
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La definición de probabilidades condicionales se presenta junto con ejemplos y sus soluciones y explicaciones detalladas. Se incluyen más preguntas en la parte inferior de la página seguidas de sus soluciones.
Definición de probabilidad condicional
Usamos un ejemplo simple para explicar las probabilidades condicionales.
Ejemplo 1
a) Se lanza un dado justo, ¿cuál es la probabilidad de que una cara con "1", "2" o ¿Se lanza "3" puntos?
b) Se lanza un dado justo, ¿cuál es la probabilidad de que salga una cara con puntos "1", "2" o "3" dado (o sabiendo) que el número de puntos lanzados es impar?
Solución al Ejemplo 1
a)
Sea S el espacio muestral (todos los resultados posibles) cuando se lanza un dado, por lo tanto \( S \) como un conjunto viene dado por
\( S = \{1,2,3,4,5,6\} \)
\( n(S) = 6 \) , número de elementos en el conjunto \( S \)
Sea A el conjunto que representa el evento "un "1", "2" o "3" es enrollado", por lo tanto
\( A = \{1,2,3\} \)
\( n(A) = 3 \) , número de elementos en \( A \)
Usando la fórmula de la probabilidad clásica, tenemos
\( P(A) = \dfrac{n(A)}{n(S} = 3/6 = 1/2 \)
b)
Evento \( A \) ya definido en el inciso a).
Sea \( B \) representando el evento "el número de puntos lanzados es impar", por lo tanto
\( B = \{1,3,5\} \)
Usamos el diagrama de Venn para representar los conjuntos A y B de la siguiente manera
Debido a que sabemos que el número obtenido está en el conjunto B (número impar), parte de \( A \) que no está en la intersección podría omitirse y nos quedamos con un espacio muestral restringido B (ver diagrama a continuación).
El diagrama de Venn con el espacio de muestra restringido (ver el diagrama a continuación) hace que el cálculo de la probabilidad de A dado B se defina de la siguiente manera
\( P(A|B) = \dfrac{\text{número de elementos de A que quedan en B }}{n(B)} = \dfrac{n(A \cap B)}{n(B)} = \dfrac{2}{3} \)
Dividiendo el numerador y el denominador por \( n(S) \) el espacio muestral de un dado lanzado obtenemos
Por definición, la probabilidad de que ocurra el evento \( A \) dado que ha ocurrido \( B \) se denomina probabilidad condicional se escribe \( P(A|B) \) y se da por
\[ P(A|B) = \dfrac{P(A \; y \; B)}{P(B)} \]
o usando la notación de conjunto
\[ P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \]
Las fórmulas anteriores son válidas para \( P(B) \ne 0 \)
NOTA Siempre que sea posible en los ejemplos a continuación, usamos la definición como una fórmula y también el espacio de muestra restringido para resolver preguntas de probabilidad condicional. Esto ayuda a una comprensión más profunda del concepto de probabilidades condicionales.
Más ejemplos con soluciones detalladas
Ejemplo 2
En un grupo de niños, si uno es seleccionado al azar, la probabilidad de que le gusten las naranjas es 0,6, la probabilidad de que le gusten las naranjas Y las manzanas es 0,3. Si se selecciona al azar un niño al que le gustan las naranjas, ¿cuál es la probabilidad de que también le gusten las manzanas?
Solución al Ejemplo 2
Sea el evento O: al niño le gustan las naranjas, evento A: al niño le gustan las manzanas
Dado \( P(O) = 0,6 \)
Dado \( P(A \; y \; O) = 0,3 \)
Se nos pide encontrar la probabilidad condicional \( P(A|O) \) de que al niño le gusten las manzanas dado que le gustan las naranjas.
Ejemplo 3
Los resultados de una encuesta de un grupo de 100 personas que compraron un teléfono móvil o una tableta de cualquiera de las dos marcas A y B se muestran en la siguiente tabla.
Teléfono móvil
Tableta
Total
A
20
10
30
B
30
40
70
Total
50
50
100
Si se selecciona al azar una persona del grupo, ¿cuál es la probabilidad de que
a) compró la marca B?
b) compró un teléfono móvil de la marca B?
c) compró un teléfono móvil dado que compró la marca B?
Solución al Ejemplo 3
Dejar
evento Mp: compró un teléfono móvil
evento T: compré una tableta
evento A: compró la marca A
evento B: compró la marca B
a)
Un total de 70 personas del total de 100 compraron la marca B; por eso
\( P(B) = 70/100 = 0,7 \)
b)
Un total de 30 personas de cada 100 compraron un móvil de la marca B
\( P(Mp \; y \; B) = 30/100 = 0,3 \)
C)
\( P(Mp|B) = \dfrac{P(Mp \; y \; B)}{P(B)} = 0,3/0,7 = 3/7\)
La probabilidad condicional \( P(Mp|B) \) también se puede encontrar restringiendo el espacio muestral a la marca B.
Son 30 móviles de un total de 70 marca B; por eso
\(P(Mp|B) = \dfrac{30}{70} = 3/7 \)
Ejemplo 4
Se extrae una sola carta de una baraja. Se elige una carta al azar, encuentre la probabilidad de sacar una
a) rey
b) tarjeta roja
c) Rey de tarjeta roja
d) Rey dado que es tarjeta roja
e) tarjeta roja dado que es un Rey
f) Reina dado que es un Corazón
Solución al Ejemplo 4
Los resultados tienen la misma probabilidad de ocurrir.
a)
Del espacio muestral de 52 cartas, hay 4 Reyes; por eso
\( P(Rey) = \dfrac {4}{52} = 1/13 \)
b)
Del espacio muestral de 52 cartas, hay 26 rojas; por eso
\( P(rojo) = \dfrac {26}{52} = 1/2 \)
C)
2 cartas son King of red de las 52 cartas; por eso
\( P( \text{Rey y rojo}) = \dfrac{2}{52} = 1/26 \)
d)
Dos métodos para responder a la pregunta.
1) Usando la definición de probabilidad condicional dada arriba
\( P( \text{Rey dado que es tarjeta roja}) = P(Rey|roja) = \dfrac{ P( \text{Rey y roja})}{P(roja)} = \dfrac{1 /26}{1/2} = 1/13\)
2) Usando el espacio muestral restringido
De las 26 tarjetas rojas (espacio de muestra restringido solo a las rojas ya que esta es la condición) hay 2 rojas; por eso
\( P(Rey|rojo) = 2/26 = 1/13\) igual que se encontró arriba usando la definición
e)
Dos métodos para responder a la pregunta.
1) Usando la definición de probabilidad condicional dada arriba
\( P( \text{carta roja dado que es un Rey}) = P(roja|Rey) = \dfrac{ P( \text{roja y Rey})}{P(Rey)} = \dfrac{1 /26}{1/13} = 1/2\)
2) Usando el espacio muestral restringido
De las 4 cartas de Reyes (espacio de muestra restringido a los Reyes) hay 2 rojas; por eso
\( P(rojo|Rey) = 2/4 = 1/2\) igual que se encontró arriba usando la definición
f)
Dos métodos para responder a la pregunta.
1) Usando la definición de probabilidad condicional dada arriba
\( P( \text{Reina dado que es Corazón}) = P(Reina|corazón) = \dfrac{ P( \text{Reina y Corazón})}{P(Corazón)} = \dfrac{1/52} {13/52} = 1/13 \)
2) Usando el espacio muestral restringido
De los 13 corazones (espacio de muestra restringido a los corazones) hay 1 Rey; por eso
\( P(Reina|corazón) = 1/13 \) igual que se encontró arriba usando la definición
Ejemplo 5
Un concesionario de automóviles tiene los automóviles enumerados en la siguiente tabla clasificados por tipo y color. Si se selecciona un automóvil al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea
a) Es negro sabiendo que es una Van
b) Es un SUV sabiendo que es blanco
c) Es azul sabiendo que es un Coupé
SUV
Sport cars
Vans
Coupé
Total
Negro
35
10
25
15
85
Blanco
10
15
20
5
50
Azul
15
15
5
30
65
Total
60
40
50
50
200
Solución al Ejemplo 5
Hay 60 SUV's, 40 Sport cars, 50 Vans y 50 Coupe, un total de 200 tarjetas.
Respondemos las preguntas sobre cómo encontrar probabilidades condicionales utilizando dos métodos: 1) la definición y 2) la restricción del espacio muestral.
a)
Uso de la definición de probabilidad condicional
Restrinja el espacio de muestra al Coupe, hay 50 Coupe de los cuales 30 son azules. Por eso
\( P(azul|Cupé) = \dfrac{30}{50} = 3/5 \)
Ejemplo 6
Los resultados de una encuesta a un grupo de 100 personas que tienen seguros con una determinada compañía son los siguientes: el 40% tiene seguros tanto de hogar como de auto con la compañía.
La probabilidad de que una persona seleccionada al azar de este grupo tenga seguro de auto es 0,7. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga un seguro de hogar sabiendo que tiene un seguro de automóvil?
Solución al Ejemplo 6
Sea evento H: personas con seguro de hogar, evento C: personas con seguro de lata
Nos dan P(C) = 0,8 y P(H y C) = 0,5.
Se nos pide encontrar la probabilidad condicional \( P(H|C)\) de que una persona seleccionada al azar tenga un seguro de hogar (H) sabiendo que esta persona tiene un seguro de auto (C). Por eso
\( P(H|C) = \dfrac{P(H \; y \; C)}{P(C)} = 0,5 / 0,8 = 0,625\)
Ejemplo 7
Se preguntó a un grupo de 200 estudiantes si jugaban al fútbol o al baloncesto. Entre el grupo, 120 dijeron que jugaban fútbol, 50 dijeron que jugaban baloncesto y 20 dijeron que jugaban tanto fútbol como baloncesto.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar del grupo juegue al fútbol dado que juega al baloncesto?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar del grupo juegue al baloncesto dado que juega al fútbol?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar del grupo juegue al fútbol dado que solo juega un partido?
Solución al Ejemplo 7
Sea evento F: estudiantes que juegan fútbol, evento B: estudiantes que juegan baloncesto
a)
Encontremos las siguientes probabilidades
\( P(F) = 120 / 200 = 0,6 \)
\( P(B) = 50/200 = 0,25 \)
\( P(F \; y \; B) = 20 / 100 = 0,1 \)
b)
\( P(B|F) = \dfrac{P(B \; y \; F)}{P(F)} = 0,1 / 0,6 = 0,17 \)
C)
Sea el evento O: estudiantes que juegan un solo juego
El número de estudiantes que juegan un solo juego es
\( (120 - 20) + (50 - 20) = 130 \)
\( P(O) = 130/200 = 0,65 \)
\( P(F \; y \; O) = 100 / 200 = 0,5 \)
Se lanza un dado, encuentre la probabilidad de obtener un número par sabiendo que el número es mayor que 3.
Pregunta 2
Se extrae una carta al azar de una baraja de 52 cartas. Calcula la probabilidad de sacar un 3 sabiendo que la carta es roja.
Pregunta 3
A un grupo de 120 personas se les preguntó si tenían coche o bicicleta. 90 dijeron que tenían carro, 40 que tenían bicicleta y 10 que no tenían ni carro ni bicicleta.
Si se selecciona una persona al azar de este grupo de personas, ¿cuál es la probabilidad de que esta persona
a) tiene un carro y una bicicleta?
b) posee un automóvil dado que la persona seleccionada posee una bicicleta?
c) posee una bicicleta dado que la persona posee un automóvil o una bicicleta, pero no ambos?
Pregunta 4
Dos empresas A y B ofrecen 70 y 50 productos respectivamente. La empresa A ofrece 40 productos de software y 30 productos de hardware. La empresa B ofrece \( x \) productos de hardware y \( y \) productos de software por determinar.
Si se selecciona un producto al azar, ¿cuál es la probabilidad de que
a) este producto es un producto de hardware dado que es de la empresa B? (en términos de \( y \))
b) este producto es un producto de hardware dado que es de la empresa A?
c) ¿Para qué valores de \( y \) la probabilidad en el inciso a) será mayor que la probabilidad en el inciso b)?
Pregunta 5
Un asesor financiero cree que la probabilidad de que la bolsa baje es de 0.8 dado que la economía se deteriora. El asesor también cree que la probabilidad de que la economía se deteriore es de 0,5.
Teniendo en cuenta la información anterior, ¿cuál es la probabilidad de que la economía se deteriore y el mercado de valores baje?
Soluciones a las preguntas anteriores
Solución a la pregunta 1
El espacio muestral al lanzar un dado: \( S = \{1,2,3,4,5,6\} \)
evento E: número par, \( E = \{2,4,6\} \)
evento número G mayor que 3: \( G = \{4,5,6\} \)
\( mi \cap G = \{4,6\} \)
La cuestión es encontrar la probabilidad de que se obtenga un número par sabiendo que el número es mayor que 3 escrito como una probabilidad condicional \( P(E|G) \).
Esta pregunta podría responderse de la siguiente manera
Hay 2 elementos en \( E \cap G \) y 3 elementos en \( G \)
Restringimos el espacio muestral al evento \( G \); por eso
\( P(E|G) = \dfrac{n(E \cap G)}{n(G)} = 2/3 \)
Solución a la pregunta 2
Sea el evento T: al obtener un 3, hay 4 3 en una baraja de cartas, por lo tanto \( P(T) = 4/52 = 1/13\).
Sea el evento R: obtener una tarjeta roja, hay 26 tarjetas rojas en una baraja de cartas, por lo tanto \( P(R) = 26/52 = 1/2 \)
Hay 2 cartas de 3 que son rojas, por lo tanto \( P(T \cap R) = 2/52 = 1/26 \)
Se nos pide encontrar la probabilidad condicional de obtener un 3 sabiendo que la carta es roja escrita como \( P(T|R) \)
Esta pregunta podría responderse de la siguiente manera
Hay 2 cartas de 3 que son rojas.
Restringimos el espacio muestral a tarjetas rojas que son 26, por lo tanto
\( P(T|R) = 2/26 = 1/13 \)
Solución a la pregunta 3
a)
Sea C el evento: posee un auto , Sea B el evento: posee una bicicleta
Se nos pide encontrar \( P(C \cap B) \)
Sea \( x \) el número de personas que poseen un automóvil y una bicicleta. Usando el diagrama de Venn, a continuación tenemos \( 90 - x\) solo posee un automóvil, \( 40 - x\) solo posee una bicicleta y \( 10 \) no posee ninguno y el total es \( 120\); por eso
\( (90 - x) + (40 - x) + x + 10 = 120 \)
Resolver para \( x \) para obtener
\( x = 20 \)
\( P(C \cap B) = 20/120 = 1/6\)
b) posee un automóvil dado que la persona seleccionada posee una bicicleta?
Se nos pide encontrar la probabilidad condicional \( P(C|B) \).
c) posee una bicicleta dado que la persona posee un automóvil o una bicicleta, pero no ambos?
Let event COB: poseer un automóvil o una bicicleta, pero no ambos
Las personas que son propietarias de un automóvil o de una bicicleta, pero no de ambos, están incluidas en el sindicato sin la intersección y su número es
\( N = 70 + 20 = 90 \)
Se nos pide encontrar la probabilidad \( P(B|COB) \).
Organicemos toda la información dada en una tabla de la siguiente manera
Software
Hardware
Total
Compañía A
40
30
70
Compañía B
x
y
x + y
Total
40+x
30+y
70+x+y
a)
El número total de productos es: \( 70 + 50 = 120 \)
También tenemos
\( 70+x+y = 120\)
lo que da
\( x + y = 50 \)
Sea el evento S: el producto seleccionado es un producto de software, sea el evento H: el producto seleccionado es un producto de hardware
Sea el evento A: el producto seleccionado es de la empresa A, sea el evento B: el producto seleccionado es de la empresa B
Se nos pide encontrar la probabilidad condicional \( P(H|B) \).
\( P(H|B) = \dfrac{P(H \cap B)}{P(B)} = \dfrac{\dfrac{y}{120}}{\dfrac{x+y}{120} } = \dfrac{y}{x+y} = y / 50\)
b)
Se nos pide encontrar la probabilidad condicional \( P(H|A) \).
\( P(H|A) = \dfrac{P(H \cap A)}{P(A)} = \dfrac{\dfrac{30}{120}}{\dfrac{70}{120}} = \dfrac{3}{7}\)
C)
Tenemos que resolver la desigualdad.
\( y / 50 \gt 3 / 7 \)
Multiplica todos los términos por 50 y simplifica
\( y \gt 150 / 7 \)
Simplificar
\( y \gt 21,42 \)
\( y \) es un entero positivo, por lo tanto
\( y \ge 22 \)
Solución a la Pregunta 5
Sea el evento E: la economía se deteriorará, sea el evento S: el mercado de valores bajará.
Nos dan la probabilidad condicional \( P(S|E) = 0.8 \)
y la probabilidad \( P(E) = 0.5\)
Se nos pide encontrar \( P(S \cap E) \).
La definición de probabilidad condicional da
\( P(S|E) = \dfrac{P(S \cap E)}{P(E)} = 0.8 \)
por eso
\( P(S \cap E) = 0,8 \times P(E) = 0,8 \times 0,5 = 0,4 \)
