Probabilidad Condicional: Guía Completa con Ejemplos

Aprende la definición, fórmula y aplicaciones de la probabilidad condicional con ejemplos detallados y problemas de práctica

¿Qué es la Probabilidad Condicional?

La probabilidad condicional mide la probabilidad de que ocurra un evento A dado que un evento B ya ha ocurrido. Se denota como \( P(A|B) \) y se calcula usando:

\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad \text{para} \quad P(B) \neq 0 \]

Donde \( P(A \cap B) \) es la probabilidad de que ambos eventos ocurran simultáneamente.

Entendiendo la Probabilidad Condicional

Ejemplo 1: Concepto Básico con Lanzamiento de Dado

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que un dado justo muestre 1, 2 o 3?
  2. Dado que el número obtenido es impar, ¿cuál es la probabilidad de que sea 1, 2 o 3?

Solución

Parte (a):
Espacio muestral: \( S = \{1,2,3,4,5,6\} \), \( n(S) = 6 \)
Evento A (obtener 1, 2 o 3): \( A = \{1,2,3\} \), \( n(A) = 3 \)
Usando probabilidad clásica: \[ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]

Parte (b):
Evento B (número impar): \( B = \{1,3,5\} \)
El diagrama de Venn muestra la relación:

Diagrama de Venn mostrando los eventos A y B

Dado que B ocurrió, nos restringimos al espacio muestral de B. La intersección \( A \cap B = \{1,3\} \) tiene 2 elementos:

\[ P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{2}{3} \]
Espacio muestral restringido al evento B

Dividiendo numerador y denominador por \( n(S) \) se obtiene la fórmula general: \[ P(A|B) = \frac{ \frac{n(A \cap B)}{n(S)} }{ \frac{n(B)}{n(S)} } = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

Definición Formal

La probabilidad condicional de A dado B es: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] válida cuando \( P(B) \neq 0 \).

Ejemplos Detallados con Soluciones

Ejemplo 2: Preferencias de Frutas

En un grupo de niños, la probabilidad de que un niño seleccionado al azar le gusten las naranjas es 0.6. La probabilidad de que le gusten tanto las naranjas como las manzanas es 0.3. Si se selecciona un niño al que le gustan las naranjas, ¿cuál es la probabilidad de que también le gusten las manzanas?

Solución

Sea O = le gustan las naranjas, A = le gustan las manzanas
Dado: \( P(O) = 0.6 \), \( P(A \cap O) = 0.3 \)
Usando la fórmula de probabilidad condicional: \[ P(A|O) = \frac{P(A \cap O)}{P(O)} = \frac{0.3}{0.6} = 0.5 \] Entonces hay un 50% de probabilidad de que a quien le gusten las naranjas también le gusten las manzanas.

Ejemplo 3: Encuesta de Compra de Electrónicos

Encuesta a 100 personas que compraron teléfonos móviles o tabletas:

Teléfono MóvilTabletaTotal
Marca A201030
Marca B304070
Total5050100

Selección aleatoria del grupo. Encuentra:

  1. Probabilidad de comprar marca B
  2. Probabilidad de comprar un teléfono móvil de marca B
  3. Probabilidad de comprar un teléfono móvil dado que compró marca B

Solución

Sea Mp = compró teléfono móvil, T = compró tableta, A = marca A, B = marca B

  1. \( P(B) = \frac{70}{100} = 0.7 \)
  2. \( P(Mp \cap B) = \frac{30}{100} = 0.3 \)
  3. Usando la fórmula: \( P(Mp|B) = \frac{P(Mp \cap B)}{P(B)} = \frac{0.3}{0.7} = \frac{3}{7} \)

Método alternativo (espacio muestral restringido): Entre 70 compradores de marca B, 30 compraron móviles: \[ P(Mp|B) = \frac{30}{70} = \frac{3}{7} \]

Ejemplo 4: Probabilidades con Baraja de Cartas

Distribución de una baraja estándar de 52 cartas

Se extrae una carta de una baraja de 52 cartas. Encuentra:

  1. Probabilidad de un Rey
  2. Probabilidad de una carta roja
  3. Probabilidad de un Rey que sea rojo
  4. Probabilidad de un Rey dado que es roja
  5. Probabilidad de que sea roja dado que es un Rey
  6. Probabilidad de que sea una Reina dado que es un Corazón

Solución

  1. \( P(\text{Rey}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \)
  2. \( P(\text{roja}) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2} \)
  3. \( P(\text{Rey} \cap \text{roja}) = \frac{2}{52} = \frac{1}{26} \)
  4. Fórmula: \( P(\text{Rey}|\text{roja}) = \frac{P(\text{Rey} \cap \text{roja})}{P(\text{roja})} = \frac{1/26}{1/2} = \frac{1}{13} \)
    Espacio restringido: Entre 26 cartas rojas, 2 son Reyes: \( \frac{2}{26} = \frac{1}{13} \)
  5. Fórmula: \( P(\text{roja}|\text{Rey}) = \frac{P(\text{roja} \cap \text{Rey})}{P(\text{Rey})} = \frac{1/26}{1/13} = \frac{1}{2} \)
    Espacio restringido: Entre 4 Reyes, 2 son rojos: \( \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
  6. Fórmula: \( P(\text{Reina}|\text{Corazón}) = \frac{P(\text{Reina} \cap \text{Corazón})}{P(\text{Corazón})} = \frac{1/52}{13/52} = \frac{1}{13} \)
    Espacio restringido: Entre 13 Corazones, 1 es Reina: \( \frac{1}{13} \)

Ejemplo 5: Inventario de Concesionario de Autos

Inventario de autos por tipo y color:

SUVAuto DeportivoCamionetaCupéTotal
Negro3510251585
Blanco101520550
Azul151553065
Total60405050200

Selección aleatoria de un auto. Encuentra:

  1. Probabilidad de que sea negro dado que es una Camioneta
  2. Probabilidad de que sea un SUV dado que es blanco
  3. Probabilidad de que sea azul dado que es un Cupé

Solución

Total de autos: 200

  1. Fórmula: \( P(\text{negro}|\text{Camioneta}) = \frac{P(\text{negro} \cap \text{Camioneta})}{P(\text{Camioneta})} = \frac{25/200}{50/200} = \frac{1}{2} \)
    Restringido: Entre 50 Camionetas, 25 negras: \( \frac{25}{50} = \frac{1}{2} \)
  2. Fórmula: \( P(\text{SUV}|\text{blanco}) = \frac{P(\text{SUV} \cap \text{blanco})}{P(\text{blanco})} = \frac{10/200}{50/200} = \frac{1}{5} \)
    Restringido: Entre 50 autos blancos, 10 SUVs: \( \frac{10}{50} = \frac{1}{5} \)
  3. Fórmula: \( P(\text{azul}|\text{Cupé}) = \frac{P(\text{azul} \cap \text{Cupé})}{P(\text{Cupé})} = \frac{30/200}{50/200} = \frac{3}{5} \)
    Restringido: Entre 50 Cupés, 30 azules: \( \frac{30}{50} = \frac{3}{5} \)

Ejemplo 6: Encuesta de Seguros

Encuesta a 100 personas: 40% tiene seguro de hogar y de auto con la compañía. La probabilidad de seguro de auto es 0.7. ¿Cuál es la probabilidad de seguro de hogar dado seguro de auto?

Solución

Sea H = seguro de hogar, C = seguro de auto
Dado: \( P(C) = 0.7 \), \( P(H \cap C) = 0.4 \)
Usando probabilidad condicional: \[ P(H|C) = \frac{P(H \cap C)}{P(C)} = \frac{0.4}{0.7} = \frac{4}{7} \approx 0.571 \] Entonces, el 57.1% de los asegurados de auto también tienen seguro de hogar.

Ejemplo 7: Encuesta de Participación Deportiva

200 estudiantes encuestados: 120 juegan fútbol, 50 juegan baloncesto, 20 juegan ambos.

  1. ¿Probabilidad de que un estudiante juegue fútbol dado que juega baloncesto?
  2. ¿Probabilidad de que un estudiante juegue baloncesto dado que juega fútbol?
  3. ¿Probabilidad de que un estudiante juegue fútbol dado que juega exactamente un deporte?

Solución

Sea F = juega fútbol, B = juega baloncesto
Probabilidades: \( P(F) = 120/200 = 0.6 \), \( P(B) = 50/200 = 0.25 \), \( P(F \cap B) = 20/200 = 0.1 \)

  1. \( P(F|B) = \frac{P(F \cap B)}{P(B)} = \frac{0.1}{0.25} = 0.4 \)
  2. \( P(B|F) = \frac{P(B \cap F)}{P(F)} = \frac{0.1}{0.6} \approx 0.167 \)
  3. Sea O = juega exactamente un deporte
    Estudiantes que juegan exactamente un deporte: \( (120-20) + (50-20) = 130 \)
    \( P(O) = 130/200 = 0.65 \)
    Estudiantes que juegan fútbol y exactamente un deporte: \( 120-20 = 100 \)
    \( P(F \cap O) = 100/200 = 0.5 \)
    \( P(F|O) = \frac{P(F \cap O)}{P(O)} = \frac{0.5}{0.65} \approx 0.769 \)
Diagrama de Venn para participación deportiva Diagrama de Venn mostrando exactamente un deporte

Problemas de Práctica

Pregunta 1

Se lanza un dado. Encuentra la probabilidad de obtener un número par dado que el número es mayor que 3.

Pregunta 2

Se extrae una carta de una baraja de 52 cartas. Encuentra la probabilidad de obtener un 3 dado que la carta es roja.

Pregunta 3

120 personas encuestadas: 90 tienen auto, 40 tienen bicicleta, 10 no tienen ninguno. Selección aleatoria:

  1. ¿Probabilidad de tener auto y bicicleta?
  2. ¿Probabilidad de tener auto dado que tiene bicicleta?
  3. ¿Probabilidad de tener bicicleta dado que tiene auto o bicicleta pero no ambos?

Pregunta 4

Compañía A: 70 productos (40 software, 30 hardware). Compañía B: 50 productos (x hardware, y software).

  1. ¿Probabilidad de que un producto sea hardware dado que es de la Compañía B? (en términos de y)
  2. ¿Probabilidad de que un producto sea hardware dado que es de la Compañía A?
  3. ¿Para qué valores de y la probabilidad en (a) es mayor que en (b)?

Pregunta 5

Analista financiero: P(mercado bursátil baja | economía se deteriora) = 0.8. P(economía se deteriora) = 0.5. ¿Cuál es P(economía se deteriora y mercado bursátil baja)?

Soluciones Detalladas

Solución a la Pregunta 1

Espacio muestral: \( S = \{1,2,3,4,5,6\} \)
Evento E (par): \( E = \{2,4,6\} \)
Evento G (>3): \( G = \{4,5,6\} \)
Intersección: \( E \cap G = \{4,6\} \)
Usando la fórmula: \[ P(E|G) = \frac{P(E \cap G)}{P(G)} = \frac{2/6}{3/6} = \frac{2}{3} \] Espacio muestral restringido: Entre números >3 (4,5,6), dos son pares (4,6): \( \frac{2}{3} \)

Solución a la Pregunta 2

Evento T (obtener 3): \( P(T) = 4/52 = 1/13 \)
Evento R (carta roja): \( P(R) = 26/52 = 1/2 \)
Intersección: \( P(T \cap R) = 2/52 = 1/26 \)
Usando la fórmula: \[ P(T|R) = \frac{P(T \cap R)}{P(R)} = \frac{1/26}{1/2} = \frac{1}{13} \] Espacio muestral restringido: Entre 26 cartas rojas, 2 son 3: \( \frac{2}{26} = \frac{1}{13} \)

Solución a la Pregunta 3

Sea C = tiene auto, B = tiene bicicleta
Sea x = número que tiene ambos. Del total: \( (90-x) + (40-x) + x + 10 = 120 \)
Resolviendo: \( 140 - x = 120 \) ⇒ \( x = 20 \)

  1. \( P(C \cap B) = 20/120 = 1/6 \)
  2. \( P(C|B) = \frac{P(C \cap B)}{P(B)} = \frac{1/6}{40/120} = \frac{1/6}{1/3} = \frac{1}{2} \)
  3. Sea COB = auto o bicicleta pero no ambos
    Número en COB: \( (90-20) + (40-20) = 70 + 20 = 90 \)
    \( P(COB) = 90/120 = 3/4 \)
    \( P(B \cap COB) = 20/120 = 1/6 \) (solo bicicleta)
    \( P(B|COB) = \frac{P(B \cap COB)}{P(COB)} = \frac{1/6}{3/4} = \frac{2}{9} \)

Solución a la Pregunta 4

Total productos: \( 70 + 50 = 120 \)
Para Compañía B: \( x + y = 50 \)
Sea H = producto hardware, A = de Compañía A, B = de Compañía B

  1. \( P(H|B) = \frac{P(H \cap B)}{P(B)} = \frac{y/120}{50/120} = \frac{y}{50} \)
  2. \( P(H|A) = \frac{P(H \cap A)}{P(A)} = \frac{30/120}{70/120} = \frac{30}{70} = \frac{3}{7} \)
  3. Necesitamos \( \frac{y}{50} > \frac{3}{7} \)
    Multiplicando: \( 7y > 150 \)
    \( y > \frac{150}{7} \approx 21.43 \)
    Como y es entero: \( y \geq 22 \)

Solución a la Pregunta 5

Sea E = economía se deteriora, S = mercado bursátil baja
Dado: \( P(S|E) = 0.8 \), \( P(E) = 0.5 \)
Usando la definición de probabilidad condicional: \[ P(S|E) = \frac{P(S \cap E)}{P(E)} \] Reorganizando: \[ P(S \cap E) = P(S|E) \times P(E) = 0.8 \times 0.5 = 0.4 \] Entonces la probabilidad de que ambos ocurran es 0.4 o 40%.

Recursos Adicionales