Distribución de Probabilidad Geométrica: Guía Completa con Ejemplos
¿Qué es la Distribución Geométrica?
La distribución de probabilidad geométrica modela el número de ensayos necesarios para lograr el primer éxito en intentos independientes repetidos. Responde a: "¿Cuál es la probabilidad de que el primer éxito ocurra en el ensayo \(x\)-ésimo?" La variable aleatoria \(X\) representa el número del ensayo del primer éxito, convirtiéndolo en un modelo fundamental de probabilidad discreta.
Condiciones para la Distribución Geométrica
- Independencia: Los resultados de los ensayos no se afectan entre sí
- Resultados Binarios: Cada ensayo tiene éxito o fracaso (mutuamente excluyentes)
- Probabilidad de Éxito Constante: La probabilidad \(p\) permanece sin cambios
- Probabilidad de Fracaso Constante: La probabilidad \(1-p\) permanece sin cambios
Fórmula de la Distribución Geométrica
La probabilidad de que el primer éxito ocurra en el ensayo \(x\) es:
\[
P(X = x) = (1-p)^{x-1} p \quad \text{para} \quad x = 1, 2, 3, \dots
\]
Derivación de la Fórmula
Para el primer éxito en el ensayo \(x\):
- Los primeros \(x-1\) ensayos deben fracasar: probabilidad \((1-p)^{x-1}\)
- El ensayo \(x\) debe tener éxito: probabilidad \(p\)
- Se multiplica usando la regla de multiplicación para eventos independientes
Propiedades Clave
- Media (Valor Esperado): \(\displaystyle \mu = \frac{1}{p}\)
- Varianza: \(\displaystyle \sigma^2 = \frac{1-p}{p^2}\)
- Desviación Estándar: \(\displaystyle \sigma = \sqrt{\frac{1-p}{p^2}}\)
Ejemplos Resueltos con Soluciones
Ejemplo 1: Problema de Lanzamiento de Moneda
Se lanza una moneda justa repetidamente hasta que aparece la primera cara.
- Encuentra la probabilidad de que la primera cara aparezca en el 5° lanzamiento
- Calcula la media y la desviación estándar
- Grafica la distribución para los primeros 10 ensayos
Solución
- Éxito = cara, \(p = 0.5\):
\[
P(X = 5) = (0.5)^{4} \times 0.5 = \frac{1}{32} = 0.03125
\]
- Media: \(\mu = \frac{1}{0.5} = 2\)
Desviación estándar: \(\sigma = \sqrt{\frac{0.5}{0.25}} = \sqrt{2} \approx 1.41\)
- Distribución: \(P(X = x) = 0.5^x\) para \(x = 1\) a \(10\)
Suma de las primeras 10 probabilidades: \(\sum_{x=1}^{10} P(X=x) \approx 0.999\)
Ejemplo 2: Muestreo de Población
El 45% de los adultos tienen títulos de educación superior. Las personas son seleccionadas al azar.
- ¿Probabilidad de que la tercera persona sea la primera con título?
- ¿Probabilidad de encontrar el primer titulado en o antes de la 4° selección?
Solución
- Éxito = tiene título, \(p = 0.45\):
\[
P(X = 3) = (0.55)^2 \times 0.45 \approx 0.1361
\]
- Usa probabilidad acumulada:
\[
\begin{aligned}
P(X \le 4) &= P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) \\
&= 0.45 + 0.2475 + 0.1361 + 0.0749 \\
&\approx 0.9085
\end{aligned}
\]
Fórmulas de Probabilidad Acumulada
Usando series geométricas, derivamos fórmulas eficientes:
- Éxito en o antes del ensayo \(n\): \(P(X \le n) = 1 - (1-p)^n\)
- Éxito antes del ensayo \(n\): \(P(X < n) = 1 - (1-p)^{n-1}\)
- Éxito en o después del ensayo \(n\): \(P(X \ge n) = (1-p)^{n-1}\)
- Éxito después del ensayo \(n\): \(P(X > n) = (1-p)^n\)
Ejemplo 3: Derivando Fórmulas Acumuladas
Para una distribución geométrica con probabilidad de éxito \(p\), deriva fórmulas para:
- \(P(X \le n)\)
- \(P(X < n)\)
- \(P(X \ge n)\)
- \(P(X > n)\)
Solución
- \(P(X \le n) = \sum_{x=1}^{n} p(1-p)^{x-1} = \frac{p(1 - (1-p)^n)}{1-(1-p)} = 1 - (1-p)^n\)
- \(P(X < n) = P(X \le n-1) = 1 - (1-p)^{n-1}\)
- \(P(X \ge n) = 1 - P(X < n) = 1 - [1 - (1-p)^{n-1}] = (1-p)^{n-1}\)
- \(P(X > n) = 1 - P(X \le n) = 1 - [1 - (1-p)^n] = (1-p)^n\)
Ejemplo 4: Aplicación en Control de Calidad
Una empresa produce herramientas donde el 99% no son defectuosas. Se prueban herramientas al azar.
- ¿Probabilidad de que la segunda herramienta sea la primera no defectuosa?
- ¿Probabilidad de encontrar la primera no defectuosa en o antes de la segunda prueba?
- ¿Probabilidad de encontrar la primera no defectuosa después de 10 pruebas?
Solución
Éxito = no defectuosa, \(p = 0.99\)
- \(P(X = 2) = (0.01)^1 \times 0.99 = 0.0099\)
- Usando fórmula acumulada: \(P(X \le 2) = 1 - (0.01)^2 = 0.9999\)
- Usando fórmula complementaria: \(P(X > 10) = (0.01)^{10} = 10^{-20} \approx 0\)
Conclusiones Clave
- La distribución geométrica modela el "tiempo de espera" hasta el primer éxito
- Fórmula central: \(P(X = x) = (1-p)^{x-1}p\)
- Número promedio de ensayos necesarios: \(\mu = \frac{1}{p}\)
- Usa fórmulas acumuladas para mayor eficiencia
- Se aplica cuando los ensayos son independientes con \(p\) constante
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