Calculadora de Probabilidad Hipergeométrica

Calculadora online para calcular la distribución de probabilidad hipergeométrica y las probabilidades de "al menos" y "a lo más" asociadas a esta distribución.

Probabilidades Hipergeométricas

Si en una población de tamaño \( N \) hay \( R \) éxitos y si se seleccionan \( n \) elementos aleatoriamente, entonces la probabilidad de que haya \( x \) éxitos entre los \( n \) seleccionados es:
\[ P(X = x) = \dfrac{ \displaystyle {R \choose x} \displaystyle {N - R \choose n - x} }{ \displaystyle {N \choose n} } \]
La calculadora siguiente calcula la distribución de probabilidad hipergeométrica \( P(X = x)\) para diferentes valores de \( x \). Ayuda a investigar estas probabilidades sin desperdiciar tiempo en cálculos manuales.
También calcula la probabilidad de "al menos" \( x \) éxitos (\( P(X \ge x)\)) y "a lo más" \( x \) éxitos (\( P(X \le x)\)).

A continuación se resuelve un ejemplo manualmente, cuyos valores son los predeterminados al abrir esta página (puede usarlos para verificar respuestas).
Ejemplo de Trabajo
Hay 12 bolas en una caja, de las cuales 7 son rojas y las restantes son negras. Se seleccionan cinco bolas al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de las 5 bolas seleccionadas sean rojas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3 de las 5 bolas seleccionadas sean rojas?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más 3 de las 5 bolas seleccionadas sean rojas?

Solución del Ejemplo
a) Tamaño de la población: \( N = 12 \). Consideramos bola roja como éxito, entonces \( R = 7 \). Número de bolas seleccionadas: \( n = 5 \).
\( P(X = 3) = \dfrac{ \displaystyle {7 \choose 3} \displaystyle {12 - 7 \choose 5 - 3} }{ \displaystyle {12 \choose 5} } \)

\( = \dfrac{ \displaystyle {7 \choose 3} \displaystyle {5 \choose 2} }{ \displaystyle {12 \choose 5} } = 175 /396 \approx 0.4419 \)

b)
Al menos 3 rojas significa \( x = 3, 4, \text{o} 5\) (es decir, \( x \ge 3 \)).
\( P(\text{al menos 3}) = P(X \ge 3) = P( X = 3 \; \text{o} \; X = 4 \; \text{o} \; X = 5 ) \)
Usando la regla de adición:
\( P(X \ge 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5 ) \)
Aplicando la fórmula hipergeométrica:
\( = \dfrac{ {7 \choose 3} {12 - 7 \choose 5 - 3} }{ {12 \choose 5} } + \dfrac{ {7 \choose 4} {12 - 7 \choose 5 - 4} }{ {12 \choose 5} } + \dfrac{ {7 \choose 5} {12 - 7 \choose 5 - 5} }{ {12 \choose 5} } \)

\( = \dfrac{ {7 \choose 3} {5 \choose 2} }{ {12 \choose 5} } + \dfrac{ {7 \choose 4} {5 \choose 1} }{ {12 \choose 5} } + \dfrac{ {7 \choose 5} {5 \choose 0} }{ {12 \choose 5} } = 91/132 \approx 0.6894\)

c)
A lo más 3 rojas significa \( x = 0, 1, 2 \text{o} 3\) (es decir, \( x \le 3 \)).
\( P(\text{a lo más 3}) = P(X \le 3) = P( X = 0 \; \text{o} \; X = 1 \; \text{o} \; X = 2 \; \text{o} \; X = 3 ) \)
Usando la regla de adición:
\( P(X \le 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2 ) + P(X = 3 ) \)
Aplicando la fórmula hipergeométrica:
\( = \dfrac{ {7 \choose 0} {12 - 7 \choose 5 - 0} }{ {12 \choose 5} } + \dfrac{ {7 \choose 1} {12 - 7 \choose 5 - 1} }{ {12 \choose 5} } + \dfrac{ {7 \choose 2} {12 - 7 \choose 5 - 2} }{ {12 \choose 5} } + \dfrac{ {7 \choose 3} {12 - 7 \choose 5-3} }{ {12 \choose 5} } \)

\( = \dfrac{ {7 \choose 0} {5 \choose 5} }{ {12 \choose 5} } + \dfrac{ {7 \choose 1} {5 \choose 4} }{ {12 \choose 5} } + \dfrac{ {7 \choose 2} {5 \choose 3} }{ {12 \choose 5} } + \dfrac{ {7 \choose 3} {5 \choose 2} }{ {12 \choose 5} } = 149/198 \approx 0.7525\)

Instrucciones de Uso

1 - Ingrese el tamaño de la población \( N \), y el número total de éxitos \( R \) en la población. Ingrese el tamaño \( n \) de la muestra seleccionada y el número de éxitos \( x \). Luego presione "Calcular".
\( N \), \( R \) y \( n \) son enteros positivos. \( x \) es un entero no negativo.
\( 0 \le x \le n \), \( R \lt N \), \( N-R \ge n - x \)

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