La ley de probabilidad total se explica y se utiliza para resolver ejemplos que incluyen explicaciones detalladas.
Explicación de la Ley de Probabilidad Total
Sea el espacio muestral \( S \) dividido en \( n \) eventos mutuamente excluyentes \( E_1\), \( E_2\), \( E_3\) ... \( E_n \) y colectivamente exhaustivas (cubriendo todo el espacio muestral \( S \) ).
Tenga en cuenta que
\( A = (A \cap E_1) \cup (A \cap E_2) \cup (A \cap E_3) ... \cup (A \cap E_n) \)
y dado que los eventos \( E_i \) son todos mutuamente excluyentes, entonces \( (A \cap E_i) \) también son todos mutuamente excluyentes y, por lo tanto, podemos usar regla de adición de probabilidades para escribir
\[ P(A) = P(A \cap E_1) + P(A \cap E_2) + P(A \cap E_3) ... P(A \cap E_n) \]
Usando la definición de probabilidades condicionales escribimos
\( P(A \cap E_n) = P(A | E_n) P(E_n) \),
y reescribir la ley de probabilidad total como
\[ P(A) = P(A | E_1) P(E_1) + P(A | E_2) P(E_2) + P(A | E_3) P(E_3) ... P(A | E_n) P( E_n)\]
\[ = \sum_{i=1}^{n} P(A | E_i) P(E_i) \]
Tenga en cuenta que debido a que \( E_1 \), \( E_2\), \( E_3\) ... \( E_n \) son colectivamente exhaustivas, tenemos
\( \sum_{i=1}^{n} P(E_i) = 1 \)
Ejemplos de la ley de probabilidad total con soluciones detalladas
Comenzamos con un ejemplo sencillo que se puede resolver de dos maneras diferentes y una de ellas es usando la Ley de Probabilidad Total.
Ejemplo 1
Tenemos tres bolsas similares B1, B2 y B3 que contienen 4 pelotas cada una. B1 contiene 2 bolas rojas y 2 azules, B2 contiene 3 bolas rojas y 1 azul y B3 contiene 1 bola roja y 3 azules. Se selecciona una bolsa al azar y se selecciona al azar una bola de esa bolsa.
¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea roja?
Solución al Ejemplo 1
Comenzamos con un diagrama que explica lo que se da.
Te presentamos T
dos métodos para resolver la pregunta anterior:
Método 1: Usar el método clásico para calcular probabilidades
En las tres bolsas hay un total de 12 bolas, 6 de las cuales son bolas rojas. Sea el evento \( A \) el de seleccionar una bola roja. Por lo tanto, la probabilidad de que la bola seleccionada sea roja está dada por
\( P(A) = 6/12 = 1/2 \)
Método 2: Usar la ley de probabilidad total
Sean \( E_1 \), \( E_2 \) y \( E_3 \) el evento de selección de la bolsa \( B_1 \ ), \( B_2 \) y \( B_3 \) respectivamente y \( A \) el evento de seleccionar una bola roja.
\( P(A) = P(A | E_1) P(E_1) + P(A | E_2) P(E_2) + P(A | E_3) P(E_3)\)
Las bolsas son similares y, por lo tanto, tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas. Las probabilidades de seleccionar bolsas \( B_1 \), \( B_2 \) o \( B_3 \) al azar están dadas por
\( P(E_1) = 1/3 \) (una bolsa B1 de 3 bolsas)
\( P(E_2) = 1/3 \) (una bolsa B2 de 3 bolsas)
\( P(E_3) = 1/3 \) (una bolsa B3 de 3 bolsas)
Las probabilidades condicionales de sacar una bola roja dado que está en la bolsa \( B_1\), \( B_2 \) y \( B_3 \) están dadas por
\( P(A | E_1) = 2/4 = 1/2 \) (2 bolas rojas de un total de 4 bolas en B1)
\( P(A | E_2) = 3/4 \) (3 bolas rojas de un total de 4 bolas en B2)
\( P(A | E_3) = 1/4 \) (1 bola roja de un total de 4 bolas en B3)
Ahora usamos la ley de probabilidad total
\( P(A) = (1/2)(1/3) + (3/4)(1/3) + (1/4)(1/3) = 1/2 \)
Tenga en cuenta que la ley de probabilidad total se utilizará en situaciones en las que no se pueden utilizar los métodos clásicos de cálculo de probabilidades, como veremos en los ejemplos a continuación.
Ejemplo 2
Studentenst en una clase de matemáticas donde el 40% son hombres y el 60% son mujeres tomaron una prueba. El 50% de los machos y el 70% de las hembras pasaron la prueba. ¿Qué porcentaje de estudiantes aprobó la prueba?
Solución al Ejemplo 2
Comenzamos dibujando un diagrama con toda la clase incluyendo los grupos de hombres y mujeres.
Sean los eventos \( E_1 \) "ser hombre" y \( E_2 \) "ser mujer", y el evento \( A \) "pasó la prueba".
La ley de la probabilidad total da
\( P(A) = P(A | E_1) P(E_1) + P(A | E_2) P(E_2) \)
\( = 50\% \times 40\% + 70\% \times 60\% = 62\% \)
Ejemplo 3
Tres fábricas producen la misma herramienta y la suministran al mercado. La fábrica A produce el 30% de las herramientas para el mercado y el 70% restante de las herramientas se producen en las fábricas B y C. El 98% de las herramientas se producen en la fábrica A, el 95% de las herramientas se producen en la fábrica B y el 97% de las las herramientas producidas en la fábrica C no son defectuosas.
¿Qué porcentaje de herramientas deben producir las fábricas B y C para que una herramienta escogida al azar en el mercado tenga una probabilidad de no ser defectuosa igual al 96%?
Solución al Ejemplo 3
Comenzamos dibujando un diagrama de las tres fábricas.
Sean \( A \), \(B\) y \( C \) los eventos de herramientas producidas por las fábricas A, B y C y \( ND \) el evento "no defectuoso".
\( x \) y \( y \) son los porcentajes de herramientas que producirán las empresas B y C respectivamente.
Usando el diagrama anterior, podemos escribir
\( P(A) = 30\% \) , \( P(B) = x \) , \( P(C) = y \)
Las tres fábricas abastecen a todo el mercado; por eso
\( 30\% + x + y = 100\% \) que da \( y = 70\% - x \)
Usa la ley de probabilidad total para escribir la ecuación
\( P(ND) = P(ND|A) P(A) + P(ND|B) P(B) + P(ND|C) P(C) \)
\( = 98\% \times 30\% + 95\% \times x + 97\% \times (70\% - x) = 96\% \)
Solución para x \)
La empresa B produce: \( x = 0,65 = 65\% \)
La empresa C produce: \( y =70\% - 65\% = 5\%\)
Ejemplo 4
El 5% de una población tiene gripe y el 95% restante no tiene esta gripe.
Se usa una prueba para detectar la gripe y esta prueba es positiva en el 95% de las personas con gripe y también es (falsamente) positiva en el 1% de las personas sin gripe.
Si una persona de esta población es seleccionada al azar y analizada, ¿cuál es la probabilidad de que la prueba sea positiva?
Solución al Ejemplo 4
Use el teorema de probabilidad total para encontrar el porcentaje de la siguiente manera:
\( 5\% \times 95\% + 95\% \times 1\% = 5,7\% \)
