Ley de la Probabilidad Total: Fórmula, Ejemplos y Aplicaciones
La ley de la probabilidad total es una regla fundamental que descompone cálculos de probabilidad complejos en probabilidades condicionales más simples. Esta guía proporciona explicaciones claras, diagramas visuales y ejemplos detallados paso a paso.
Comprendiendo la Ley de la Probabilidad Total
Sea el espacio muestral \( S \) particionado en \( n \) eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos \( E_1, E_2, \dots, E_n \).
Nótese que:
\[
A = (A \cap E_1) \cup (A \cap E_2) \cup \cdots \cup (A \cap E_n)
\]
Dado que los eventos \( E_i \) son mutuamente excluyentes, los eventos \( (A \cap E_i) \) también lo son. Usando la regla de la suma:
\[
P(A) = P(A \cap E_1) + P(A \cap E_2) + \cdots + P(A \cap E_n)
\]
Aplicando la definición de probabilidad condicional, \( P(A \cap E_i) = P(A \mid E_i)P(E_i) \), derivamos la ley:
\[
P(A) = P(A \mid E_1)P(E_1) + P(A \mid E_2)P(E_2) + \cdots + P(A \mid E_n)P(E_n)
\]
\[
P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A \mid E_i)P(E_i)
\]
Dado que \( E_1, E_2, \dots, E_n \) son colectivamente exhaustivos:
\[
\sum_{i=1}^{n} P(E_i) = 1
\]
Ejemplos Resueltos: Aplicando la Ley de la Probabilidad Total
Ejemplo 1: Selección Aleatoria de Múltiples Bolsas
Problema: Tres bolsas contienen 4 bolas cada una. La bolsa B1 tiene 2 rojas y 2 azules, B2 tiene 3 rojas y 1 azul, y B3 tiene 1 roja y 3 azules. Se elige una bolsa al azar, luego se extrae una bola al azar de ella. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea roja?
Solución
Método 1: Probabilidad Clásica
Total de bolas = 12, total de bolas rojas = 6. Por lo tanto:
\[
P(\text{Roja}) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}
\]
Método 2: Ley de la Probabilidad Total
Definir eventos:
- \( E_i \): Se selecciona la bolsa \( B_i \) (\( i = 1, 2, 3 \))
- \( A \): Se extrae una bola roja
Dado que las bolsas son igualmente probables:
\[
P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}
\]
Probabilidades condicionales:
\[
P(A \mid E_1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad P(A \mid E_2) = \frac{3}{4}, \quad P(A \mid E_3) = \frac{1}{4}
\]
Aplicando la ley:
\[
\begin{aligned}
P(A) &= P(A \mid E_1)P(E_1) + P(A \mid E_2)P(E_2) + P(A \mid E_3)P(E_3) \\
&= \left(\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{3}{4} \times \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{4} \times \frac{1}{3}\right) \\
&= \frac{1}{6} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{2 + 3 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}
\end{aligned}
\]
Ejemplo 2: Tasas de Aprobación por Género
Problema: Una clase de matemáticas tiene 40% hombres y 60% mujeres. Las tasas de aprobación del examen son 50% para hombres y 70% para mujeres. ¿Qué porcentaje de estudiantes aprobó?
Solución
Definir eventos:
- \( E_1 \): El estudiante es hombre
- \( E_2 \): El estudiante es mujer
- \( A \): El estudiante aprobó el examen
Dado:
\[
P(E_1) = 0.4, \quad P(E_2) = 0.6, \quad P(A \mid E_1) = 0.5, \quad P(A \mid E_2) = 0.7
\]
Aplicando la ley:
\[
\begin{aligned}
P(A) &= P(A \mid E_1)P(E_1) + P(A \mid E_2)P(E_2) \\
&= (0.5 \times 0.4) + (0.7 \times 0.6) \\
&= 0.20 + 0.42 = 0.62
\end{aligned}
\]
Por lo tanto, aprobó el 62% de los estudiantes.
Ejemplo 3: Producción en Fábrica con Control de Calidad
Problema: Tres fábricas suministran herramientas. La fábrica A produce el 30% de las herramientas, mientras que B y C producen el resto. Tasas de no defectuosos: A (98%), B (95%), C (97%). ¿Qué porcentajes de producción deben tener B y C para que la probabilidad global de no defectuosos sea del 96%?
Solución
Sea:
- \( x = P(B) \), porcentaje de la fábrica B
- \( y = P(C) \), porcentaje de la fábrica C
Dado que las fábricas cubren todo el mercado:
\[
P(A) = 0.3, \quad x + y = 0.7 \quad \Rightarrow \quad y = 0.7 - x
\]
Sea \( ND \) el evento "no defectuoso". Dado:
\[
P(ND \mid A) = 0.98, \quad P(ND \mid B) = 0.95, \quad P(ND \mid C) = 0.97
\]
Queremos \( P(ND) = 0.96 \). Aplicamos la ley:
\[
\begin{aligned}
P(ND) &= P(ND \mid A)P(A) + P(ND \mid B)P(B) + P(ND \mid C)P(C) \\
0.96 &= 0.98 \times 0.3 + 0.95x + 0.97(0.7 - x) \\
0.96 &= 0.294 + 0.95x + 0.679 - 0.97x \\
0.96 &= 0.973 - 0.02x \\
0.02x &= 0.013 \\
x &= 0.65, \quad y = 0.05
\end{aligned}
\]
Por lo tanto, la Fábrica B debe producir el 65% y la Fábrica C el 5%.
Ejemplo 4: Precisión de Pruebas Médicas
Problema: En una población, el 5% tiene gripe. Una prueba da positivo en el 95% de las personas infectadas y en el 1% (falso positivo) de las personas sanas. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar dé positivo?
Solución
Definir eventos:
- \( E_1 \): Tiene gripe, \( P(E_1) = 0.05 \)
- \( E_2 \): No tiene gripe, \( P(E_2) = 0.95 \)
- \( A \): Da positivo en la prueba
Dado:
\[
P(A \mid E_1) = 0.95, \quad P(A \mid E_2) = 0.01
\]
Aplicando la ley:
\[
\begin{aligned}
P(A) &= P(A \mid E_1)P(E_1) + P(A \mid E_2)P(E_2) \\
&= 0.95 \times 0.05 + 0.01 \times 0.95 \\
&= 0.0475 + 0.0095 = 0.057
\end{aligned}
\]
La probabilidad de un resultado positivo es del 5.7%.
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