Se presentan ejemplos sobre el uso de la regla de multiplicación para encontrar la probabilidad de que ocurran dos o más eventos independientes, junto con soluciones detalladas.
En probabilidad, dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.
Los siguientes eventos A y B son independientes.
Los eventos C y D NO son independientes.
La probabilidad de que dos eventos independientes A y B ocurran ambos está dada por el producto de la probabilidad de cada evento.
\[ P(A \; \text{y} \; B) = P(A)\cdot P(B) \]o usando la notación de conjuntos:
\[ P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B) \]Se lanza una moneda dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cruz en el primer lanzamiento y cruz en el segundo?
Se presentan dos métodos para responder la pregunta del ejemplo 2 para mostrar la ventaja de usar la regla del producto dada arriba.
Método 1: Usando el espacio muestral
El espacio muestral S del experimento de lanzar una moneda dos veces está dado por el diagrama de árbol que se muestra a continuación. El primer lanzamiento da dos resultados posibles: C (Cruz) o H (Cara) (en azul). El segundo lanzamiento da dos resultados posibles: C o H (en rojo). Del diagrama de árbol, podemos deducir el conjunto del espacio muestral \( S \) de la siguiente manera:
\[ S = \{(H, H), (H, C), (C, H), (C, C) \} \]con \( n(S) = 4 \) donde \( n(S) \) es el número de elementos en el conjunto \( S \).
El evento \( E \): "lanzar una moneda dos veces y obtener dos cruces" como conjunto está dado por:
\[ E = \{(C, C) \} \]con \( n(E) = 1 \) donde \( n(E) \) es el número de elementos en el conjunto \( E \).
Usa la fórmula de probabilidad clásica para encontrar \( P(E) \):
\[ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{4} \]Método 2: Usa la regla del producto para dos eventos independientes.
El evento \( E \) "lanzar una moneda dos veces y obtener cruz en cada lanzamiento" puede considerarse como dos eventos: Evento \( A \) "lanzar una moneda una vez y obtener cruz" y evento \( B \) "lanzar la moneda una segunda vez y obtener cruz". Con las probabilidades de cada evento \( A \) y \(B\) dadas por:
\[ P(A) = \frac{1}{2} \quad \text{y} \quad P(B) = \frac{1}{2} \]Que ocurra el evento E ahora puede considerarse como que ocurren los eventos A y B. Los eventos A y B son independientes y, por lo tanto, se puede usar la regla del producto de la siguiente manera:
\[ P(E) = P(A \; \text{y} \; B) = P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]NOTA Si lanzas una moneda un gran número de veces, el espacio muestral tendrá un gran número de elementos y, por lo tanto, el método 2 es mucho más práctico de usar que el método 1, donde tienes un gran número de resultados.
Ahora presentamos más ejemplos y preguntas sobre cómo se usa la regla del producto de eventos independientes para resolver preguntas de probabilidad.
Se lanza una moneda y se tira un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara y un \( 4 \)?
Tenemos dos eventos independientes a considerar: Evento A "lanzar una moneda y obtener cara" y evento B "tirar un dado y obtener un \( 4 \)". Cuando se lanza una moneda, la probabilidad de obtener cara es:
\[ P(A) = \frac{1}{2} \]Cuando se tira un dado, la probabilidad de obtener un \( 4 \) es:
\[ P(B) = \frac{1}{6} \] \[ P(\text{obtener cara y un } 4) = P(A \; \text{y} \; B) = P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \]Un frasco tiene 3 bolas azules, 2 blancas y 5 rojas. Se selecciona una bola al azar y se anota su color, luego se devuelve al frasco. Se selecciona una segunda bola, se anota su color y se devuelve al frasco. Se selecciona una tercera bola y se anota su color.
¿Cuál es la probabilidad de:
a)
Sea el evento A "seleccionar una bola roja la primera vez", evento B "seleccionar una bola roja la segunda vez" y evento C "seleccionar una bola roja la tercera vez".
Los tres eventos A, B y C son independientes porque la bola seleccionada se devuelve al frasco. El número total de bolas es 10 y hay 5 bolas rojas. Calculemos ahora la probabilidad de seleccionar una bola roja. Hay 5 bolas rojas de un total de 10, por lo tanto:
\[ P(A) = P(B) = P(C) = P(\text{roja}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \]Usamos una fórmula extendida a tres eventos independientes:
\[ P(A \; \text{y} \; B \; \text{y} \; C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \]b)
Sea el evento A "seleccionar una bola azul la primera vez", evento B "seleccionar una bola blanca la segunda vez" y evento C "seleccionar una bola azul la tercera vez".
\[ P(A) = P(\text{azul}) = \frac{3}{10}, \quad P(B) = P(\text{blanca}) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}, \quad P(C) = P(\text{azul}) = \frac{3}{10} \] \[ P(A \; \text{y} \; B \; \text{y} \; C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) = \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{10} = \frac{9}{500} \]c)
Sea el evento A "seleccionar una bola roja la primera vez", evento B "seleccionar una bola blanca la segunda vez" y evento C "seleccionar una bola azul la tercera vez".
\[ P(A) = P(\text{roja}) = \frac{1}{2}, \quad P(B) = P(\text{blanca}) = \frac{1}{5}, \quad P(C) = P(\text{azul}) = \frac{3}{10} \] \[ P(A \; \text{y} \; B \; \text{y} \; C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{10} = \frac{3}{100} \]Se extrae una carta de una baraja de 52 cartas, luego se reemplaza y se extrae una segunda carta. Encuentra la probabilidad de obtener un "2" y luego un "Rey".
Tenemos dos eventos independientes a considerar: Evento A "sacar una carta y obtener un 2" y evento B "sacar una carta y obtener un Rey". Debido a que la carta se reemplaza, los dos eventos A y B son independientes. Primero encontremos \( P(A) \) y \( P(B) \).
\[
P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}, \quad P(B) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}
\]
\[
P(A \; \text{y} \; B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{13} \cdot \frac{1}{13} = \frac{1}{169}
\]
Una encuesta encontró que el 25% de las personas en un cierto país tienen problemas cardíacos. Si se seleccionan tres personas al azar, encuentra la probabilidad de que las tres tengan problemas cardíacos.
Evento A "la primera persona tiene problemas cardíacos", evento B "la segunda persona tiene problemas cardíacos" y C "la tercera persona tiene problemas cardíacos". \[ P(A) = 0.25, \quad P(B) = 0.25, \quad P(C) = 0.25. \] Estos son eventos independientes, por lo tanto: \[ P(A \; \text{y} \; B \; \text{y} \; C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) = 0.25 \cdot 0.25 \cdot 0.25 = 0.015625 \]
1)
Sea el evento A: obtener un número par, y el evento B: obtener un número mayor que 4. \[ A = \{2,4,6\}, \quad B = \{5,6\} \] \[ P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \quad P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] Los eventos A y B son independientes; por lo tanto: \[ P(A \; \text{y} \; B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \]
2)
\[ P(\text{Rey}) = P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}, \quad P(\text{Reina de corazones}) = P(B) = \frac{1}{52} \] Los eventos A y B son independientes; por lo tanto: \[ P(A \; \text{y} \; B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{13} \cdot \frac{1}{52} = \frac{1}{676} \]
3)
\[ P(\text{fumador}) = 0.45 \] Los 4 eventos son independientes; por lo tanto: \[ P(\text{los 4 fuman}) = P(\text{fumador} \; \text{y} \; \text{fumador} \; \text{y} \; \text{fumador} \; \text{y} \; \text{fumador}) = \\ P(\text{fumador}) \cdot P(\text{fumador}) \cdot P(\text{fumador}) \cdot P(\text{fumador}) \\ = (0.45)^4 = 0.04100625 \]