Solución al Ejemplo 2
Se presentan dos métodos para responder la pregunta del ejemplo 2 para mostrar la ventaja de usar la regla del producto dada anteriormente.
Método 1: Uso del espacio muestral
El espacio muestral S del experimento de lanzar una moneda dos veces está dado por el diagrama de árbol que se muestra a continuación.
Cuando lanzamos una moneda, es posible uno de dos resultados: H para cara y T para cruz.
El primer lanzamiento da dos resultados posibles: T o H (en azul)
El segundo lanzamiento da dos resultados posibles: T o H (en rojo)
Del diagrama de tres, podemos deducir el espacio muestral \( S \) establecido de la siguiente manera
\( S = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T, T) \} \)
con \( n(S) = 4 \) donde \( n(S) \) es el número de elementos en el conjunto \( S \)
El evento \( E \) : " lanzar una moneda dos veces y obtener dos cruces " como conjunto es dada por
\( E = \{(T, T) \} \)
con \( n(E) = 1 \) donde \( n(E) \) es el número de elementos en el conjunto \( E \)
Use la fórmula de probabilidad clásica para encontrar \( P(E) \) como:
\(P(E) = \dfrac{n(E)}{n(S)} = \dfrac{1}{4}\)
Método 2: Usar la regla del producto de dos eventos independientes
El evento \( E \) " lanzar una moneda dos veces y obtener cruz en cada lanzamiento " puede considerarse como dos eventos
Evento \( A \) " lanzar una moneda una vez y obtener cruz " y evento \( B \) " lanzar la moneda una segunda vez y obtener cruz "
con las probabilidades de cada evento \( A \) y \(B \) dadas por
\( P(A) = \dfrac{1}{2} \) y \( P(B) = \dfrac{1}{2} \)
El evento E que ocurre ahora puede considerarse como los eventos A y B que ocurren. Los eventos A y B son independientes y, por lo tanto, la regla del producto se puede usar de la siguiente manera
\( P(E) = P( A \; y \; B) = P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{ 1}{2} = \dfrac{1}{4} \)
NOTA Si lanza una moneda una gran cantidad de veces, el espacio muestral tendrá una gran cantidad de elementos y, por lo tanto, el método 2 es mucho más práctico que el método 1, donde tiene una gran cantidad de resultados.
Ahora presentamos más ejemplos y preguntas sobre cómo se usa la regla del producto de eventos independientes para resolver preguntas de probabilidad.
Ejemplo 3
Se lanza una moneda y se lanza un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara y \( 4 \)?
Solución al Ejemplo 3
Tenemos dos eventos independientes a considerar:
Evento A "lanzar una moneda y obtener una cara" y evento B "tirar un dado y obtener un \(4\)"
Cuando se lanza una moneda, la probabilidad de obtener cara es
\( P(A) = \dfrac{1}{2} \)
Cuando se lanza el dado, la probabilidad de obtener un \( 4 \) es
\( P(B) = \dfrac{1}{6} \)
\( P ( \) " sacando cara y \( 4 \) " \( ) = P( A \; y \; B) = P( A \cap B) = P(A) \cdot P(B ) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{12} \)
Ejemplo 4
Un frasco tiene 3 bolas azules, 2 bolas blancas y 5 bolas rojas. Se selecciona una bola al azar y se anota el color y luego se vuelve a colocar dentro del frasco. Se selecciona una segunda bola, se anota su color y se vuelve a colocar dentro del frasco. Se selecciona una tercera bola y se anota su color.
¿Cuál es la probabilidad de
a) seleccionar 3 bolas rojas
b) seleccionar una bola azul, luego una bola blanca y luego una bola azul
c) seleccionar una bola roja, luego una blanca y luego una bola azul
Solución al Ejemplo 4
a)
Deje que el evento A "seleccione una bola roja la primera vez",
evento B "seleccione una bola roja por segunda vez"
y el evento C "seleccione una bola roja por tercera vez"
Los tres eventos A, B y C son independientes porque la pelota seleccionada se vuelve a colocar en el frasco.
El número total de bolas es 10 y hay 5 bolas rojas.
Calculemos ahora la probabilidad de seleccionar una bola roja.
Hay 5 bolas rojas de un total de 10, por lo tanto
\( P(A) \) = \( P(B) \) = \( P(C) \) =\( P(rojo) = \dfrac{5}{10} \\ = \dfrac{1} {2} \)
Usamos una fórmula extendida a tres eventos independientes
\( P( \; A \; y \; B \; y \; C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) \\\\ = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8} \)
b)
Deje que el evento A "seleccione una bola azul la primera vez",
evento B "seleccionar una bola blanca por segunda vez"
y el evento C "seleccione una bola azul por tercera vez"
\( P(A) = P(azul) = \dfrac{3}{10} \quad , \quad P(B) = P(blanco) = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{ 5} \quad , \quad P(C) = P(azul) = \dfrac{3}{10}\)
\( P( A \; y \; B \; y \; C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) \\\\ = \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{3}{10} \dfrac{3}{10} \\\\ = \dfrac{9}{5000} \)
C)
Deje que el evento A "seleccione una bola roja la primera vez",
evento B "seleccionar una bola blanca por segunda vez"
y el evento C "seleccione una bola azul por tercera vez"
\( P(A) = P(rojo) = 1/2 \)
\( P(B) = P(blanco) = 1/5 \)
\( P(C) = P(azul) = 3/10 \)
\( P( A \; y \; B \; y \; C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) \\\\ = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{3}{10} \\\\ = \dfrac{3}{100} \)
Ejemplo 5
Se extrae una carta de una baraja de 52 cartas y luego se reemplaza y se extrae una segunda carta. Encuentra la probabilidad de obtener un "2" y luego un "Rey".
Solución al Ejemplo 5
Tenemos dos eventos independientes a considerar:
Evento A "roba una carta y obtienes un 2" y evento B "roba una carta y obtienes un Rey"
Debido a que se reemplaza la tarjeta, los dos eventos A y B son independientes.
Encontremos primero \( P(A) \) y \( P(B) \).
\( P(A) = 4/52 = 1/13 \)
\( P(B) = 4/52 = 1/13 \)
\( P (A \; y \; B) = P(A) \cdot P(B) = \dfrac{1}{13} \cdot \dfrac{1}{13} = \dfrac{1}{169 } \)
