Funciones cuadráticas (formulario general)

Funciones cuadráticas y las propiedades de sus gráficos tales como vértice y x e y intercepta se exploran interactivamente usando un applet html5.
También puede usar este applet para explorar la relación entre las intersecciones x del gráfico de una función cuadrática f (x) y las soluciones de la ecuación cuadrática correspondiente f (x) = 0 . La exploración se realiza cambiando los valores de 3 coeficientes a , b y c incluidos en la definición de f (x) .
Una vez que termine el presente tutorial, es posible que desee pasar por tutoriales sobre funciones cuadráticas , graficar funciones cuadráticas e Solver para analizar y graficar una función cuadrática

A - Definición de una función cuadrática

Una función cuadrática f es una función de la forma
f(x) = a x 2 + b x + c

where
a , b and c are real numbers donde a , b e c son números reales y a no es igual a cero. La gráfica de la función cuadrática se llama parábola. Es una curva en forma de "U" que puede abrirse o cerrarse dependiendo del signo del coeficiente a .

Ejemplos de funciones cuadráticas a) f(x) = -2 x 2 + x - 1 b) f(x) = x 2 + 3 x + 2

Tutorial interactivo (1)
Explore las funciones cuadráticas de forma interactiva usando un applet html5 que se muestra a continuación; presione el botón "draw" para comenzar

a =
-10+10

b =
-10+10

c =
-10+10

>

Utilice los cuadros en el panel izquierdo de la ventana del applet para establecer los coeficientes a , b e c a los valores en los ejemplos anteriores, 'draw 'y observe el gráfico obtenido. Obsérvese que el gráfico correspondiente a la parte a) es una parábola que se abre porque el coeficiente a es negativo y el gráfico correspondiente a la parte b) es una parábola que se abre porque el coeficiente a es positivo. Puede cambiar los valores del coeficiente a, byc y observar los gráficos obtenidos.

Respuestas


B - Forma estándar de una función cuadrática y vértice

Cualquier función cuadrática se puede escribir en el formulario estándar
f(x) = a(x - h) 2 + k

donde
h y k se dan en términos de coeficientes a , b y c .
Comencemos con la
función cuadrática en forma general y completemos el cuadrado para volver a escribirlo en forma estándar.
Función dada f(x)
f(x) = ax 2 + bx + c
coeficiente factor a fuera de los términos en x 2 y x
f(x) = a ( x 2 + (b / a) x ) + c
sumar y restar (b / 2a) 2 dentro del paréntesis
f(x) = a ( x 2 + (b/a) x + (b/2a) 2 - (b/2a) 2 ) + c
Tenga en cuenta que
x 2 + (b/a) x + (b/2a) 2
Se puede escribir como
(x + (b/2a)) 2
Ahora escribimos f de la siguiente manera
f(x) = a ( x + (b / 2a) ) 2 - a(b / 2a) 2 + c
que se puede escribir como
f(x) = a ( x + (b / 2a) ) 2 - (b 2 / 4a) + c
Esta es la forma estándar de una función cuadrática con
h = - b / 2a
k = c - b 2 / 4a
Cuando grafica una función cuadrática , el gráfico tendrá un punto máximo o mínimo llamado vértice. Las coordenadas x y y del vértice vienen dadas por h y k , respectivamente.
Ejemplo: escriba la función cuadrática f dada por f (x) = -2 x 2 + 4 x + 1 en forma estándar y encuentra el vértice del gráfico.
Solución
función dada
f(x) = -2 x
2 + 4x + 1
factor - 2 de salida
f(x) = - 2 ( x
2 - 2 x) + 1
Ahora dividimos el coeficiente de x que es -2 por 2 y eso da -1.
f(x) = - 2 ( x
2 - 2x + (-1) 2 - (-1) 2 ) + 1
sumar y restar (-1) 2 dentro del paréntesis
f(x) = - 2 ( x
2 - 2x + (-1) 2 ) + 2 + 1
agrupar términos similares y escribir en forma estándar
f(x) = - 2 (x - 1) 2 + 3
Lo anterior da h = 1 e k = 3.
h and k can also se encuentra utilizando las fórmulas para h e k obtenidas anteriormente.
h = - b / 2a = - 4 / (2(-2)) = 1
k = c - b 2 / 4a = 1 - 4 2/(4(-2)) = 3
El vértice del gráfico está en (1,3).
Interactive Tutorial (2)
Regrese a la ventana del applet y configure
a = -2 , b = 4 e c = 1 (valores utilizados en el ejemplo anterior). Compruebe que el gráfico se abre ( a & lt;0 ) y que el vértice está en el punto (1,3) y es un punto máximo.
Use la ventana del applet y establezca
a = 1 , b = -2 e c = 0 , f (x) = x 2 - 2 x . Compruebe que el gráfico se abre ( a > 0 ) y que el vértice está en el punto (1, -1) y es un punto mínimo.


C - x intercepta el gráfico de una función cuadrática

Las x intersecciones del gráfico de una función cuadrática f dada por
f(x) = a x 2 + b x + c

son las soluciones
reales , si existen, de la ecuación cuadrática
a x 2 + b x + c = 0

La ecuación anterior tiene dos soluciones reales y, por lo tanto, el gráfico tiene interceptaciones
x cuando el discriminante D = b 2 - 4 a c es positivo. Tiene una solución repetida cuando D es igual a cero. Las soluciones están dadas por las fórmulas cuadráticas
x 1 = (-b + √D)/(2 a) e x 2 = (-b - √D)/(2 a)
Ejemplo: Encuentre las intercepciones x para el gráfico de cada función dada a continuación
f(x) = x 2 + 2 x - 3
g(x) = -x 2 + 2 x - 1
h(x) = -2 2 + 2 x - 2
Solución
Para encontrar las interceptaciones
x , resolvemos
x 2 + 2 x - 3 = 0
a) discriminante
D = 2 2 - 4 (1)(-3) = 16
dos soluciones reales:
x1 = (-2 + √(16)) / (2 * 1) = 1 e x2 = (-2 - √(16)) / (2 * 1) = -3
El gráfico de la función en la parte a) tiene dos intercepciones
x en los puntos (1 , 0) y (- 3 , 0) .
b) Solucionamos
- x 2 + 2 x - 1 = 0
discriminante
D = 2 2 - 4(-1)(-1) = 0
una repetición de soluciones reales
x1 = -b / 2a = -2 / -2 = 1
The graph of function in part b) has one
x intercept at (1,0) .
c) Solucionamos
-2 x 2 + 2 x - 2 = 0
discriminante
D = 2 2 - 4(-2)(-2) = -12
No hay soluciones reales para la ecuación anterior y, por lo tanto, no hay intersección x para la gráfica de la función en la parte c).
Interactive Tutorial (3)
Vaya a la ventana del applet y establezca los valores de
a , b y c para cada uno de los ejemplos en partes a , b y c arriba y compruebe las interceptaciones discriminante e x de los gráficos correspondientes.
Vaya a la ventana del applet y establezca los valores de a , b y c para cada uno de los ejemplos en partes a , b y c arriba y compruebe las interceptaciones discriminante e x de los gráficos correspondientes.
Use la ventana del applet para encontrar intercepciones x para las siguientes funciones cuadráticas.
a) f(x) = x 2 + x - 2
b) g(x) = 4 x 2 + x + 1
a) h(x) = x 2 - 4 x + 4
Use el método analítico descrito en el ejemplo anterior para encontrar las intersecciones x y comparar los resultados.
Utilice la ventana del applet y establezca a , b y c en valores tales que b 2 - 4 ac < 0 . ¿Cuántos interceptores x tiene la gráfica de f (x) ?
Utilice la ventana del applet y establezca a , b y c en valores tales que b 2 - 4 ac = 0 . ¿Cuántas intercepciones x tiene la gráfica de f (x) ?
Utilice la ventana del applet y configure a , b y c en valores tales que b 2 - 4ac > 0 . ¿Cuántos interceptores x tiene la gráfica de f (x) ?

Answers

D - y intercepta el gráfico de una función cuadrática

La intersección y de la gráfica de una función cuadrática está dada por f(0) = c.
Ejemplo: Encuentre la intersección y de la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas.
a) f(x) = x 2 + 2 x - 3
b) g(x) = 4 x 2 - x + 1
c) h(x) = -x 2 + 4 x + 4
Solución
a) f(0) = -3. El gráfico de f tiene un intercepto y en (0 , -3).
b) g(0) = 1. El gráfico de g tiene un intercepto y en (0 , 1).
c) h(0) = 4. El gráfico de h tiene un intercepto y en (0 , 4).

Continuar a la página 2 (Funciones cuadráticas - Forma general)

Continúe a la página 3 (Explore el producto de dos funciones lineales)

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