Funciones Cuadráticas a partir del Producto de dos Funciones Lineales

Usando álgebra fundamental, podemos demostrar que multiplicar dos funciones lineales produce una función cuadrática. Esta relación se explora de forma interactiva a continuación.

Sean \( h \) y \( g \) dos funciones lineales definidas como:

\[ h(x) = a x + b \] \[ g(x) = A x + B \]

donde \( a \) y \( A \) son constantes no nulas. El producto de estas funciones produce una función cuadrática:

\[ f(x) = (h \cdot g)(x) = h(x) \cdot g(x) = (a x + b)(A x + B) \]

Expandiendo el producto:

\[ f(x) = aA x^{2} + (aB + bA)x + bB \]

Ajusta los coeficientes a continuación para ver cómo cambian las gráficas en tiempo real. Observa cómo las intersecciones con el eje x de h(x) y g(x) se convierten en las intersecciones con el eje x de f(x).

Gráfica Interactiva

h(x) = 1,00x + 2,00
g(x) = 1,00x + 0,00
f(x) = h(x) × g(x) = 1,00x² + 2,00x + 0,00
Intersecciones con el eje X:
h(x) = 0 cuando x = -2,00
g(x) = 0 cuando x = 0,00
f(x) = 0 cuando x = -2,00, 0,00
Pasa el cursor sobre la gráfica

Observaciones y Análisis

  1. Herencia de las Intersecciones con el Eje X: La función cuadrática f(x) es cero exactamente donde h(x) o g(x) es cero. Esto se debe a que si h(x) = 0 o g(x) = 0, entonces su producto f(x) = h(x)·g(x) = 0.
  2. Intersección con el Eje Y: f(0) = h(0)·g(0) = b·B. La intersección con el eje y de la parábola es el producto de las intersecciones con el eje y de las rectas.
  3. Posición del Vértice: El vértice de la parábola se encuentra exactamente a medio camino entre las dos intersecciones con el eje x cuando son distintas.
  4. Raíz Doble: Cuando h(x) y g(x) comparten la misma intersección con el eje x (es decir, cuando \(-\frac{b}{a} = -\frac{B}{A}\)), la parábola tiene una sola intersección con el eje x (una raíz doble).
  5. Apertura de la Parábola: La parábola se abre hacia arriba si a·A > 0 y hacia abajo si a·A < 0.

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