Un tutorial completo sobre sucesiones aritméticas y su sumatoria.
Una sucesión aritmética es una secuencia de números donde cada término se obtiene sumando un número constante al término anterior. Esta constante se llama diferencia común.
El término n-ésimo \( a_n \) está dado por:
\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]donde \( a_1 \) es el primer término y \( d \) es la diferencia común.
La suma de los primeros n términos \( S_n \) está dada por:
\[ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2} \left[ 2a_1 + (n - 1)d \right] \]Sucesión: 0, 6, 12, 18, 24, ...
Cada término se obtiene sumando 6 al término anterior, por lo tanto es una sucesión aritmética con diferencia común \( d = 6 \).
¿Qué término de la sucesión aritmética 2, 5, 8, ... es igual a 227?
Primer término \( a_1 = 2 \), diferencia común \( d = 3 \).
Usando la fórmula del término n-ésimo:
\[ 227 = 2 + (n - 1) \cdot 3 \]Despejando \( n \):
\[ n - 1 = \frac{227 - 2}{3} = 75 \] \[ n = 76 \]El término 76 es 227.
¿Cuántos enteros impares consecutivos, comenzando desde 9, deben sumarse para obtener una suma de 15.860?
Primer término \( a_1 = 9 \), diferencia común \( d = 2 \).
Usando la fórmula de la suma:
\[ S_n = \frac{n}{2} \left[ 2 \cdot 9 + (n - 1) \cdot 2 \right] = 15860 \]Simplificando:
\[ n^2 + 8n - 15860 = 0 \]Resolviendo la ecuación cuadrática:
\[ n = 122 \quad \text{o} \quad n = -130 \]Tomamos la solución positiva: deben sumarse 122 números impares consecutivos.
La suma de los primeros \( n \) términos de una sucesión aritmética es \( S_n = 2n^2 + 5n \). Encuentre los primeros 3 términos.
El término n-ésimo está dado por \( a_n = S_n - S_{n-1} \):
\[ a_n = (2n^2 + 5n) - [2(n-1)^2 + 5(n-1)] \]Simplificando:
\[ a_n = 4n + 3 \]Ahora encontramos los primeros tres términos:
\[ a_1 = 4(1) + 3 = 7 \] \[ a_2 = 4(2) + 3 = 11 \] \[ a_3 = 4(3) + 3 = 15 \]La suma de tres términos consecutivos en una sucesión aritmética es 27, y su producto es 585. Encuentre los tres números.
Sean los tres términos \( x \), \( x+d \), \( x+2d \).
Suma: \( x + (x+d) + (x+2d) = 27 \) → \( 3x + 3d = 27 \) → \( x + d = 9 \) (Ecuación 1)
Producto: \( x(x+d)(x+2d) = 585 \) (Ecuación 2)
De la Ecuación 1: \( x = 9 - d \). Sustituyendo en la Ecuación 2:
\[ (9-d)(9)(9+d) = 585 \] \[ 81 - d^2 = 65 \] \[ d^2 = 16 \] \[ d = \pm 4 \]Dos soluciones:
Los primeros tres términos de una sucesión aritmética son: \( x \), \( \frac{5x}{4} \), \( \frac{9}{2} \). Encuentre \( x \) y \( d \).
La diferencia común debe ser consistente:
\[ \frac{5x}{4} - x = \frac{9}{2} - \frac{5x}{4} \]Despejando \( x \):
\[ \frac{x}{4} = \frac{18 - 5x}{4} \] \[ x = 18 - 5x \] \[ 6x = 18 \] \[ x = 3 \]Entonces la diferencia común:
\[ d = \frac{5x}{4} - x = \frac{15}{4} - 3 = \frac{3}{4} \]