Un tutorial completo sobre secuencias geométricas, series y fórmulas de suma con ejemplos resueltos y problemas prácticos.
Una secuencia geométrica es una secuencia donde cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante llamada razón común.
\[1, 2, 4, 8, 16, \dots\] - cada término se obtiene multiplicando el término precedente por \(2\).
Si \(a_1\) es el primer término y \(r\) es la razón común:
Los términos 4º y 7º de una secuencia geométrica son \(\frac{1}{8}\) y \(\frac{1}{64}\) respectivamente. Encuentra el 9º término.
Dado: \(a_4 = a_1 r^3 = \frac{1}{8}\) y \(a_7 = a_1 r^6 = \frac{1}{64}\).
Dividimos las ecuaciones: \[\frac{a_7}{a_4} = r^3 = \frac{1/64}{1/8} = \frac{1}{8} \Rightarrow r = \frac{1}{2}.\]
Ahora hallamos \(a_9 = a_1 r^8 = a_7 \cdot r^2 = \frac{1}{64} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{256}\).
Encuentra tres números consecutivos en una secuencia geométrica cuya suma es 234 y producto es 157.464.
Sean los términos \(x\), \(xr\), \(xr^2\).
Suma: \(x + xr + xr^2 = x(1 + r + r^2) = 234\)
Producto: \(x \cdot xr \cdot xr^2 = x^3 r^3 = 157464 \Rightarrow xr = \sqrt[3]{157464} = 54\)
Sustituimos \(x = \frac{54}{r}\) en la ecuación de la suma: \[\frac{54}{r}(1 + r + r^2) = 234\]
Simplificamos: \(54(1 + r + r^2) = 234r \Rightarrow 3r^2 - 10r + 3 = 0\)
Resolvemos: \(r = 3\) o \(r = \frac{1}{3}\)
Dos soluciones:
El primer término es 2000 y el segundo es 1000. ¿Cuántos términos consecutivos se deben tomar para obtener una suma de 3875?
Razón común: \(r = \frac{1000}{2000} = \frac{1}{2}\)
Fórmula de la suma: \[S_n = 2000 \frac{1 - (1/2)^n}{1 - 1/2} = 3875\]
Simplificamos: \[1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{3875 \cdot 0,5}{2000} = \frac{1937,5}{2000} = \frac{31}{32}\]
Por lo tanto: \[\left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{32} = \left(\frac{1}{2}\right)^5 \Rightarrow n = 5\]
Respuesta: Se necesitan 5 términos.
Demuestra que \(x\), \(x^2 + 1\) y \(x^3 + x\) no pueden ser tres términos consecutivos de una secuencia geométrica (números reales).
Si fueran geométricos: \[\frac{x^2 + 1}{x} = \frac{x^3 + x}{x^2 + 1}\]
Multiplicamos en cruz: \((x^2 + 1)^2 = x(x^3 + x)\)
Expandimos: \(x^4 + 2x^2 + 1 = x^4 + x^2 \Rightarrow x^2 + 1 = 0\)
No tiene solución real, por lo tanto los términos no pueden formar una secuencia geométrica.
Los primeros tres términos de una secuencia geométrica son \(x\), \(x^2 + 4\) y \(16x\). Encuentra los términos.
Usando la razón común: \[\frac{x^2 + 4}{x} = \frac{16x}{x^2 + 4}\]
Multiplicamos en cruz: \((x^2 + 4)^2 = 16x^2\)
Simplificamos: \(x^4 + 8x^2 + 16 = 16x^2 \Rightarrow x^4 - 8x^2 + 16 = 0\)
Factorizamos: \((x^2 - 4)^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2\)
Dos soluciones: