Calculadora de Distribución Binomial de Probabilidad
Una calculadora en línea para calcular la distribución binomial de probabilidad y las probabilidades relacionadas con "al menos" y "a lo sumo".
Distribución Binomial de Probabilidad
Si en un experimento binomial dado, la probabilidad de que en un solo ensayo ocurra el evento A es \( p \), entonces la probabilidad de que A ocurra exactamente \( x \) veces en \( n \) ensayos está dada por:
\[ P(X = x,n,p) = {n \choose x} \cdot p^x \cdot (1-p)^{n-x} \\ = \dfrac{n!}{x! (n-x)!} \cdot p^x \cdot (1-p)^{n-x} \]
La calculadora a continuación calcula la distribución binomial de probabilidad \( P(X = x,n,p)\) desde \( x=0\) hasta \( x = n \), para diferentes valores de n y la probabilidad p. Esta calculadora ayuda a investigar estas distribuciones en diversas situaciones.
La misma calculadora también determina la probabilidad de "al menos" \( x \), dada por \( P(X \ge x,n,p)\), y de "a lo sumo" \( x \), dada por \( P(X \le x,n,p)\).
Ejemplo 1
En cada ensayo, la probabilidad de que ocurra el evento A es \( p = 0.4 \)
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el evento A ocurra 3 veces después de 6 ensayos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el evento A ocurra al menos 3 veces después de 6 ensayos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el evento A ocurra a lo sumo 3 veces después de 6 ensayos?
Solución del Ejemplo 1
a) \[ P(X = 3,6,0.4) = \dfrac{6!}{3! (6-3)!} \cdot 0.4^3 \cdot (1-0.4)^{6-3} = 0.276480 \]
b)
Al menos 3 veces significa que \( x \) es \( 3, 4, 5 \; \text{o} \; 6\) o \( x \ge 3 \)
\( P(\text{al menos 3 veces}) = P( X = 3 \; o \; X = 4 \; o \; X = 5 \; o \; X = 6 ) \)
Usando la fórmula binomial, la probabilidad se puede escribir como
\[ P(X \ge 3,6,0.4) = P(X = 3,6,0.4) + P(X = 4,6,0.4) \\ + P(X = 5,6,0.4) + P(X = 6,6,0.4) \\ = 0.455680 \]
c)
A lo sumo 3 veces significa que \( x \) es \( 0, 1, 2 \; \text{o} \; 3\) o \( x \le 3 \)
\( P(\text{a lo sumo 3 veces}) = P( x = 0 \; o \; x = 1 \; o \; x = 2 \; o \; x = 3 ) \)
Usando la fórmula binomial, la probabilidad se puede escribir como
\[ P(X \le 3,6,0.4) = P(X = 0,6,0.4) + P(X = 1,6,0.4) \\ + P(X = 2,6,0.4) + P(X = 3,6,0.4) \\ = 0.820800 \]
¿Cómo usar la calculadora?
1 - Ingresa \( n \) y \( p \) y \( x \) y presiona "Calcular". \( n \) y \( x \) son enteros positivos y \( p \) es un número real que cumple las condiciones:
\( 0 \lt p \lt 1 \) , \( n \ge 1 \) , \( 0 \le x \le n \)
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