Contando problemas con soluciones

Los problemas de conteo se presentan junto con sus soluciones detalladas y explicaciones.

Comencemos por introducir el principio de conteo usando un ejemplo.


Un estudiante debe tomar un curso de física, uno de ciencia y uno de matemáticas. Puede elegir uno de 3 cursos de física (P1, P2, P3), uno de 2 cursos de ciencias (S1, S2) y uno de 2 cursos de matemáticas (M1, M2). ¿De cuántas maneras puede este estudiante seleccionar los 3 cursos que debe tomar?

Usemos un diagrama de árbol que muestra todas las opciones posibles. La primera columna a la izquierda muestra las 3 opciones posibles del curso de física: P1, P2 o P3. Luego, la segunda columna muestra las 2 opciones posibles del curso de ciencias y la última columna muestra las 2 opciones posibles para el curso de matemáticas. Las diferentes formas en que se pueden seleccionar los 3 cursos son:

(P1 S1 M1), (P1 S1 M2), (P1 S2 M1), (P1 S2 M2)

(P2 S1 M1), (P2 S1 M2), (P2 S2 M1), (P2 S2 M2)

(P3 S1 M1), (P3 S1 M2), (P3 S2 M1), (P3 S2 M2)

diagrama de árbol para todas las opciones posibles de los tres cursos


El número total de opciones se puede calcular de la siguiente manera:

Sea n1 el número de elecciones del curso de física, aquí n1 = 3. Sea n2 el número de opciones del curso de ciencias, aquí n2 = 2. Deje n3 ser el número de opciones del curso de matemáticas, aquí n3 = 2 El diagrama de árbol de arriba muestra claramente que el número total de opciones N se puede calcular de la siguiente manera:

N = n1×n2×n3


= 3×2×2 = 12


Usando el problema anterior, podemos generalizar y escribir una fórmula relacionada con el recuento de la siguiente manera:

"Si los eventos E1, E2, E3 ... pueden ocurrir en n1, n2, n3 ... diferentes formas, respectivamente, la cantidad de formas en que pueden ocurrir todos los eventos es igual a n1×n2×n3..."




Problema 1: Para comprar un sistema informático, un cliente puede elegir uno de los 4 monitores, uno de 2 teclados, uno de 4 y uno de 3 impresoras. Determine la cantidad de sistemas posibles de los que un cliente puede elegir.

Solución al problema 1:

  • Un cliente puede elegir un monitor, un teclado, una computadora y una impresora. El siguiente diagrama muestra cada artículo con la cantidad de opciones que tiene el cliente.

    diagrama del problema 1


  • Usando el principio de conteo utilizado en la introducción anterior, la cantidad de todos los sistemas informáticos posibles que se pueden comprar viene dada por

    N = 4 × 2 × 4 × 3 = 96


Problema 2: en un país determinado, los números de teléfono tienen 9 dígitos. Los dos primeros dígitos son el código de área (03) y son los mismos dentro de un área determinada. Los últimos 7 dígitos son el número local y no pueden comenzar con 0. ¿Cuántos números de teléfono diferentes son posibles dentro de un código de área dado en este país?

Solución al problema 2:

  • El siguiente diagrama muestra la cantidad de opciones para cada dígito. El primer dígito del código de área es 0, que es solo una opción. El segundo dígito del código de área es 1, que es solo una opción. El primer dígito del código local puede ser cualquier dígito excepto 0, entonces 9 elecciones. Los dígitos 2, 3, 4, 5, 6 y 7 del código local pueden ser cualquier dígito, de ahí 10 elecciones cada uno.

    diagrama del problema 2


  • Usando el principio de conteo, la cantidad total de números telefónicos posibles está dada por

    N = 1 × 1 × 9 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 9,000,000



Problema 3: Un estudiante puede seleccionar uno de los 6 diferentes libros de matemáticas, uno de los 3 diferentes libros de química y uno de los 4 libros de ciencias diferentes. ¿De cuántas maneras diferentes puede un estudiante seleccionar un libro de matemáticas, un libro de química y un libro de ciencias?

Solución al problema 3:

  • Usando el principio de conteo, el número total N de diferentes formas en que los estudiantes pueden seleccionar sus 3 libros está dado por

    N = 6 × 3 × 4 = 72


Problema 4: Hay 3 caminos diferentes de la ciudad A a la ciudad B y 2 caminos diferentes de la ciudad B a C. En la ciudad de cuántas maneras puede alguien ir desde la ciudad A a la ciudad C que pasa por la ciudad B ?

Solución al problema 4:

  • El número total N de diferentes formas en que alguien puede ir de la ciudad A a la ciudad C, pasando por la ciudad B es

    N = 3 × 2 = 6


Problema 5: Un hombre tiene 3 trajes diferentes, 4 camisas diferentes y 5 pares de zapatos diferentes. ¿De cuántas formas diferentes puede este hombre vestir un traje, una camisa y un par de zapatos?

Solución al problema 5:

  • El número total N de diferentes formas en que este hombre puede usar uno de sus trajes, una de sus camisas y un par de sus zapatos es

    N = 3 × 4 × 5 = 60


Problema 6: En una empresa, las tarjetas de identificación tienen números de 5 dígitos.

a) ¿Cuántas tarjetas de identificación se pueden formar si se permite la repetición del dígito?

b) ¿Cuántas tarjetas de identificación se pueden formar si no se permite la repetición del dígito?

Solución al problema 6:

  • a) En el siguiente diagrama, cualquiera de los 5 dígitos del número que se formará puede ser cualquiera de los 10 dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. De ahí las 10 opciones para cada dígito del número que se formará ya que se permite la repetición de los dígitos de 0 a 9. Cuando se permite la repetición, el número total N de tarjetas de identificación está dado por el número total de números de 5 dígitos que se pueden formar y está dado por:

    N = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100,000


    diagrama del problema 6 parte a


  • b) En el siguiente diagrama, el primer dígito del número que se formará puede ser cualquiera de los 10 dígitos, de ahí las 10 opciones. El segundo dígito puede ser cualquiera de los 10 dígitos, excepto el dígito utilizado en la posición 1, ya que no se permite la repetición de los dígitos, de ahí las 9 opciones. El tercer dígito puede ser cualquiera de los 10 dígitos, excepto los dos ya utilizados en las posiciones 1 y 2, ya que la repetición no está permitida, de ahí las 8 opciones y así sucesivamente.

    diagrama del problema 6 parte b


  • El número N de tarjetas de identificación viene dado por

    N = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 30,240


Problema 7: En un país determinado, los números de matrícula tienen 3 letras en el alfabeto inglés seguidas de 4 dígitos. ¿Cuántos números diferentes de matrículas se pueden formar? (letras y dígitos pueden repetirse).

Solución al problema 7:

  • 26 (todas las letras en el alfabeto inglés) son posibles para cada una de las 3 letras que se utilizarán para formar el número de licencia. 10 opciones (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) son posibles para cada uno de los 4 dígitos. El número total de números de licencia viene dado por

    N = 26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 = 175,760,000


Problema 8: Usando los dígitos 1, 2, 3 y 5, ¿cuántos números de 4 dígitos se pueden formar si

a) El primer dígito debe ser 1 y la repetición de los dígitos está permitida?

b) El primer dígito debe ser 1 y no se permite la repetición de los dígitos.

c) El número debe ser divisible por 2 y se permite la repetición?

d) El número debe ser divisible por 2 y no se permite la repetición.

Solución al problema 8:

  • a) 1 opción para el primer dígito. 4 opciones para los últimos 3 dígitos que forman el número de 4 dígitos ya que la repetición está permitida. Por lo tanto, el número N de números que podemos formar viene dado por

    N = 1 × 4 × 4 × 4 = 64


  • b) 1 opción para el primer dígito. 3 elecciones para el segundo dígito del número que se formará, ya que se permite la repetición. 2 opciones para el tercer dígito del número que se formará. 1 opción para el cuarto dígito del número que se formará. Por lo tanto, el número N de números que podemos formar viene dado por

    N = 1 × 3 × 2 × 1 = 6


  • c) Para que el número que se forma sea divisible por dos, el último dígito debe ser 2, por lo tanto, una opción para este dígito. 4 opciones para cada uno de los otros dígitos ya que la repetición está permitida. Por lo tanto, el número N de números que podemos formar viene dado por

    N = 4 × 4 × 4 × 1 = 64


  • d) Para que el número que se forma sea divisible por dos, el último dígito debe ser 2, por lo tanto, una opción para este dígito. 3 opciones para el primer dígito, 2 opciones para el segundo dígito y 1 opción para el tercer dígito que forma el número. Por lo tanto, el número N de números que podemos formar viene dado por

    N = 3 × 2 × 1 × 1 = 6



Problema 9: Una moneda es lanzada tres veces. ¿Cuál es la cantidad total de todos los resultados posibles??

Solución al problema 9:

  • La primera vez que se lanza la moneda, son posibles 2 resultados diferentes (caras, colas). La segunda vez que se lanza la moneda, se pueden obtener otros 2 resultados diferentes y la tercera vez que se lanza la moneda, es posible obtener otros 2 resultados diferentes. Por lo tanto, el número total de resultados posibles es igual a

    N = 2 × 2 × 2 = 8


Problema 10: Dos dados son lanzados. ¿Cuál es la cantidad total de todos los resultados posibles?

Solución al problema 10:

  • Seis posibles resultados para el primer dado (1,2,3,4,5,6) y otros 6 resultados posibles para el segundo dado. El número total de resultados diferentes es

    N = 6 × 6 = 36


Problema 11: Se arroja una moneda y se lanza un dado de 6 caras. ¿Cuál es el número total de todos los resultados posibles?

Solución al problema 11:

  • Dos resultados posibles para los resultados posibles de monedas (cabezas, colas) y 6 (1,2,3,4,5,6) para el dado. El número total de resultados diferentes es

    N = 2 × 6 = 12




Más referencias sobre
estadísticas elementales y probabilidades.