Tutorial sobre distribuciones de probabilidad discreta con ejemplos y soluciones detalladas.
Sea \(X\) una variable aleatoria discreta que toma los valores numéricos \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) con probabilidades \(p(X_1), p(X_2), \ldots, p(X_n)\) respectivamente. Una distribución de probabilidad discreta consiste en los valores de la variable aleatoria \(X\) y sus probabilidades correspondientes \(P(X)\).
Las probabilidades \(P(X)\) cumplen que:
\[\sum P(X) = 1\]
Sea la variable aleatoria \(X\) que representa el número de niños en una familia.
a) Construye la distribución de probabilidad para una familia con dos hijos.
b) Encuentra la media y la desviación estándar de \(X\).
a) Primero construimos un diagrama de árbol para representar todas las distribuciones posibles de niños y niñas en la familia.
Suponiendo que todas las posibilidades anteriores son igualmente probables, las probabilidades son:
\(P(X=2) = P(BB) = \frac{1}{4}\)
\(P(X=1) = P(BG) + P(GB) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\)
\(P(X=0) = P(GG) = \frac{1}{4}\)
La distribución de probabilidad discreta de \(X\) está dada por:
| \(X\) | \(P(X)\) |
|---|---|
| 0 | \(\frac{1}{4}\) |
| 1 | \(\frac{1}{2}\) |
| 2 | \(\frac{1}{4}\) |
Nótese que: \[\sum P(X) = 1\]
b) La media \(\mu\) de la variable aleatoria \(X\) se define como:
\[\mu = \sum X P(X)\]
\[= 0 \times \frac{1}{4} + 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{4} = 1\]
La desviación estándar \(\sigma\) de la variable aleatoria \(X\) se define como:
\[\sigma = \sqrt{\sum (X - \mu)^2 P(X)}\]
\[= \sqrt{(0 - 1)^2 \times \frac{1}{4} + (1 - 1)^2 \times \frac{1}{2} + (2 - 1)^2 \times \frac{1}{4}}\]
\[= \frac{1}{\sqrt{2}}\]
Se lanzan dos dados balanceados. Sea \(X\) la suma de los dos dados.
a) Obtén la distribución de probabilidad de \(X\).
b) Encuentra la media y la desviación estándar de \(X\).
a) Cuando se lanzan los dos dados balanceados, hay 36 resultados posibles igualmente probables, como se muestra a continuación.
Los posibles valores de \(X\) son: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12.
Los resultados posibles son igualmente probables, por lo tanto las probabilidades \(P(X)\) están dadas por:
\(P(2) = P(1,1) = \frac{1}{36}\)
\(P(3) = P(1,2) + P(2,1) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}\)
\(P(4) = P(1,3) + P(2,2) + P(3,1) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}\)
\(P(5) = P(1,4) + P(2,3) + P(3,2) + P(4,1) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}\)
\(P(6) = P(1,5) + P(2,4) + P(3,3) + P(4,2) + P(5,1) = \frac{5}{36}\)
\(P(7) = P(1,6) + P(2,5) + P(3,4) + P(4,3) + P(5,2) + P(6,1) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\)
\(P(8) = P(2,6) + P(3,5) + P(4,4) + P(5,3) + P(6,2) = \frac{5}{36}\)
\(P(9) = P(3,6) + P(4,5) + P(5,4) + P(6,3) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}\)
\(P(10) = P(4,6) + P(5,5) + P(6,4) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}\)
\(P(11) = P(5,6) + P(6,5) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}\)
\(P(12) = P(6,6) = \frac{1}{36}\)
La distribución de probabilidad discreta de \(X\) está dada por:
| \(X\) | \(P(X)\) |
|---|---|
| 2 | \(\frac{1}{36}\) |
| 3 | \(\frac{1}{18}\) |
| 4 | \(\frac{1}{12}\) |
| 5 | \(\frac{1}{9}\) |
| 6 | \(\frac{5}{36}\) |
| 7 | \(\frac{1}{6}\) |
| 8 | \(\frac{5}{36}\) |
| 9 | \(\frac{1}{9}\) |
| 10 | \(\frac{1}{12}\) |
| 11 | \(\frac{1}{18}\) |
| 12 | \(\frac{1}{36}\) |
La gráfica de la probabilidad de la suma de los dos dados se muestra a continuación.
Como ejercicio, verifica que: \[\sum P(X) = 1\]
b) La media de \(X\) está dada por:
\[\mu = \sum X P(X)\]
\[= 2 \times \frac{1}{36} + 3 \times \frac{1}{18} + 4 \times \frac{1}{12} + 5 \times \frac{1}{9} + 6 \times \frac{5}{36} + 7 \times \frac{1}{6} + 8 \times \frac{5}{36} + 9 \times \frac{1}{9} + 10 \times \frac{1}{12} + 11 \times \frac{1}{18} + 12 \times \frac{1}{36}\]
\[= 7\]
La desviación estándar está dada por:
\[\sigma = \sqrt{\sum (X - \mu)^2 P(X)}\]
\[= \sqrt{(2-7)^2 \times \frac{1}{36} + (3-7)^2 \times \frac{1}{18} + (4-7)^2 \times \frac{1}{12} + (5-7)^2 \times \frac{1}{9} + (6-7)^2 \times \frac{5}{36} + (7-7)^2 \times \frac{1}{6} + (8-7)^2 \times \frac{5}{36} + (9-7)^2 \times \frac{1}{9} + (10-7)^2 \times \frac{1}{12} + (11-7)^2 \times \frac{1}{18} + (12-7)^2 \times \frac{1}{36}}\]
\[= 2.41\]
Se lanzan tres monedas. Sea \(X\) el número de caras obtenidas. Construye una distribución de probabilidad para \(X\) y encuentra su media y desviación estándar.
El diagrama de árbol que representa todos los resultados posibles al lanzar tres monedas se muestra a continuación.
Suponiendo que las tres monedas son idénticas y todos los resultados posibles son igualmente probables, las probabilidades son:
\(P(X=0) = P(TTT) = \frac{1}{8}\)
\(P(X=1) = P(HTT) + P(THT) + P(TTH) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}\)
\(P(X=2) = P(HHT) + P(HTH) + P(THH) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}\)
\(P(X=3) = P(HHH) = \frac{1}{8}\)
La distribución de probabilidad discreta de \(X\) está dada por:
| \(X\) | \(P(X)\) |
|---|---|
| 0 | \(\frac{1}{8}\) |
| 1 | \(\frac{3}{8}\) |
| 2 | \(\frac{3}{8}\) |
| 3 | \(\frac{1}{8}\) |
Nótese que: \[\sum P(X) = 1\]
Ahora calculamos la media \(\mu\) de la variable aleatoria \(X\) de la siguiente manera:
\[\mu = \sum X P(X)\]
\[= 0 \times \frac{1}{8} + 1 \times \frac{3}{8} + 2 \times \frac{3}{8} + 3 \times \frac{1}{8} = 1.5\]
Ahora calculamos la desviación estándar \(\sigma\) de la variable aleatoria \(X\) de la siguiente manera:
\[\sigma = \sqrt{\sum (X - \mu)^2 P(X)}\]
\[= \sqrt{(0 - 1.5)^2 \times \frac{1}{8} + (1 - 1.5)^2 \times \frac{3}{8} + (2 - 1.5)^2 \times \frac{3}{8} + (3 - 1.5)^2 \times \frac{1}{8}}\]
\[= 0.87 \text{ (redondeado a 2 decimales)}\]