Tutorial sobre Distribuciones de Probabilidades Discretas

Tutorial sobre distribuciones de probabilidad discretas con ejemplos y soluciones detalladas.

Distribución de probabilidad discreta

Ejemplo 1

Solución del ejemplo 1

• a) Primero construimos un diagrama de árbol para representar todas las distribuciones posibles de niños (B) y niñas (G) en la familia.
  
  
• Suponiendo que todas las posibilidades anteriores son igualmente probables, las probabilidades son:
  P(X=2) = P(BB) = 1 / 4
  P(X=1) = P(BG) + P(GB) = 1 / 4 + 1 / 4 = 1 / 2
  P(X=0) = P(GG) = 1 / 4
  
• La distribución de probabilidad discreta de X viene dada por
  

  X	P(X)
  0	1 / 4
  1	1 / 2
  2	1 / 4

  
  
• Tenga en cuenta que
  ∑ P(X) = 1
  
• b) La media µ de la variable aleatoria X está definida por
  µ = ∑ X P(X)
  = 0 * (1/4) + 1 * (1/2) + 2 * (1/4) = 1
  
• La desviación estándar σ de la variable aleatoria X está definida por
  σ = √[ ∑ (X- µ) ² P(X) ]
  = √ [ (0 - 1) ² * (1/4) + (1 - 1) ² * (1/2) + (2 - 1) ² * (1/4) ]
  = 1 / √ 2

Ejemplo 2

Solución del ejemplo 2

• a) Cuando se lanzan los dos dados equilibrados, hay 36 resultados posibles con la misma probabilidad, como se muestra a continuación.
  
  
• Los posibles valores de X son: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12.
  
• Los resultados posibles son igualmente probables, por lo que las probabilidades P(X) están dadas por
  P(2) = P(1,1) = 1 / 36
  P(3) = P(1,2) + P(2,1) = 2 / 36 = 1 / 18
  P(4) = P(1,3) + P(2,2) + P(3,1) = 3 / 36 = 1 / 12
  P(5) = P(1,4) + P(2,3) + P(3,2) + P(4,1) = 4 / 36 = 1 / 9
  P(6) = P(1,5) + P(2,4) + P(3,3) + P(4,2) + P(5,1)= 5 / 36
  P(7) = P(1,6) + P(2,5) + P(3,4) + P(4,3) + P(5,2) + P(6,1)
  = 6 / 36 = 1 / 6
  P(8) = P(2,6) + P(3,5) + P(4,4) + P(5,3) + P(6,2) = 5 / 36
  P(9) = P(3,6) + P(4,5) + P(5,4) + P(6,3) = 4 / 36 = 1 / 9
  P(10) = P(4,6) + P(5,5) + P(6,4) = 3 / 36 = 1 / 12
  P(11) = P(5,6) + P(6,5) 2 / 36 = 1 / 18
  P(12) = P(6,6) = 1 / 36
  
• La distribución de probabilidad discreta de X viene dada por
  

  X	P(X)
  2	1 / 36
  3	1 / 18
  4	1 / 12
  5	1 / 9
  6	5 / 36
  7	1 / 6
  8	5 / 36
  9	1 / 9
  10	1 / 12
  11	1 / 18
  12	1 / 36

  
  La gráfica de la probabilidad de la suma de dos dados se muestra a continuación.
  
  
  
  
• Como ejercicio, compruebe que
  ∑ P(X) = 1
  
• b) La media de X está dada por
  µ = ∑ X P(X)
  = 2*(1/36)+3*(1/18)+4*(1/12)+5*(1/9)+6*(5/36)
  +7*(1/6)+8*(5/36)+9*(1/9)+10*(1/12)
  +11*(1/18)+12*(1/36)
  = 7
  
• La desviación estándar de está dada por
  µ = σ √[ ∑ (X- µ) ² P(X) ]
  = √ [ (2-7)²*(1/36)+(3-7)²*(1/18)
  +(4-7)²*(1/12)+(5-7)²*(1/9)+(6-7)²*(5/36)
  +(7-7)²*(1/6)+(8-7)²*(5/36)+(9-7)²*(1/9)
  +(10-7)²*(1/12)+(11-7)²*(1/18)+(12-7)²*(1/36) ]
  = 2.41

Ejemplo 3

Solución al Ejemplo 3

• El diagrama de árbol que representa todos los resultados posibles cuando se lanzan tres monedas se muestra a continuación. H representa cara y T representa cruz
  
  
• Suponiendo que las tres monedas son idénticas y que todos los resultados posibles son igualmente probables, las probabilidades son:
  P(X=0) = P(TTT) = 1 / 8
  P(X=1) = P(HTT) + P(THT) + P(TTH)
  = 1 / 8 + 1 / 8 + 1 / 8
  = 3 / 8
  P(X=2) = P(HHT) + P(HTH) + P(THH)
  = 1 / 8 + 1 / 8 + 1 / 8
  = 3 / 8
  P(X=3) = P(HHH) = 1 / 8
  
• La distribución de probabilidad discreta de X viene dada por
  

  X	P(X)
  0	1 / 8
  1	3 / 8
  2	3 / 8
  3	1 / 8

  
  
• Tenga en cuenta que
  ∑ P(X) = 1
  
• Ahora calculamos la media µ de la variable aleatoria X de la siguiente manera
  µ = ∑ X P(X)
  = 0 * (1/8) + 1 * (3/8) + 2 * (3/8) + 3 * (1/8) = 1.5
  
• Ahora calculamos la desviación estándar σ de la variable aleatoria X de la siguiente manera
  σ = √[ ∑ (X- µ) ² P(X) ]
  = √ [ (0 - 1.5) ² * (1/8) + (1 - 1.5) ² * (3/8) + (2 - 1.5) ² * (3/8) + (3 - 1.5) ² * (1/8) ]
  = 0.87 (redondeado a 2 decimales)

Más referencias y enlaces