Preguntas de Factorial con Soluciones

Tutorial sobre evaluación y simplificación de expresiones con notación factorial.

Definición de Factorial

Sea \( n \) un número entero positivo. El factorial de \( n \), escrito como \( n! \), se define por:

\[ n! = 1 \times 2 \times 3 \times ... \times (n - 1) \times n \]

El caso especial cuando \( n = 0 \) es: \[ 0! = 1 \]

Pregunta 1

Evalúa las siguientes expresiones:

  1. \( 4! \)
  2. \( 5! \times 5! \)
  3. \( 3! \times 0! \)
  4. \( \dfrac{ 4!}{0!} \)
  5. \( \dfrac{6!}{2! \times 4!} \)

Solución a la Pregunta 1

  1. \( 4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24 \)
  2. \( 5! \times 5! = (5!)^2 = (1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5)^2 = 120^2 = 14400 \)
  3. \( 3! \times 0! = (1 \times 2 \times 3) \times 1 = 6 \)
  4. \( \dfrac{ 4!}{0!} = \dfrac{1 \times 2 \times 3 \times 4}{1} = 24 \)
  5. \( \dfrac{6!}{2! \times 4!} = \dfrac{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6}{ (1 \times 2 ) \times ( 1 \times 2 \times 3 \times 4) } = 15 \)

Pregunta 2

Simplifica las siguientes expresiones:

  1. \( \dfrac{(n + 2)!}{n!} \)
  2. \( \dfrac{(2n + 2)!}{(2n)!} \)
  3. \( \dfrac{(n - 1)!}{(n + 1)!} \)

Solución a la Pregunta 2

  1. Expandimos los factoriales:
    \( \dfrac{(n + 2)!}{n!} = \dfrac{ 1 \times 2 \times ... \times n \times (n + 1) \times (n + 2) } {1 \times 2 \times ... \times n } \)
    Cancelamos factores comunes y simplificamos:
    \( = (n + 1)(n + 2) \)
  2. Expandimos los factoriales:
    \( \dfrac{(2n + 2)!}{(2n)!} = \dfrac{ 1 \times 2 \times 3 \times ... \times (2n) \times (2n + 1) \times (2n + 2) } {1 \times 2 \times 3 \times ... \times (2n)} \)
    Cancelamos factores comunes y simplificamos:
    \( = (2n + 1) \times (2n + 2) \)
  3. Expandimos los factoriales:
    \( \dfrac{(n - 1)!}{(n + 1)!} = \dfrac {1 \times 2 \times 3 \times ... \times (n - 1) }{1 \times 2 \times 3 \times ... \times (n - 1) \times n \times (n + 1)} \)
    Cancelamos factores comunes y simplificamos:
    \( = \dfrac{1}{n(n+1)} \)

Ejercicios

a) Evalúa \( \dfrac{(10! / 5!)}{10} \)
b) Simplifica \( \dfrac{(n + 1)!}{n!} \)

Respuestas a los ejercicios anteriores

a) \( \dfrac{(10! / 5!)}{10} = 3024 \)
b) \( \dfrac{(n + 1)!}{n!} = n + 1 \)

Más referencias y enlaces

Estadística elemental y probabilidades.
Calculadora de Factorial para calcular el factorial de un número entero positivo.
Página de Inicio