Preguntas factoriales con soluciones
Evaluating and simplifying expressions with factorial notation.
\( \) \( \)\( \)\( \)
Definición de factorial
Sea \( n \) un número entero positivo. \(n\) factorial , escrito \( n! \) , se define por
\[ n! = 1 \times 2 \times 3 \times ... (n - 1) \times n \]
El caso especial cuando \( n = 0 \), \[ 0! = 1 \]
Pregunta 1
Evalúe las siguientes expresiones:
\( 4! \)
\( 5! \times 5! \)
\( 3! \times 0! \)
\( \dfrac{ 4!}{0!} \)
\( \dfrac{6!}{2! \times 4!} \)
Solución a la pregunta 1
\( 4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24 \)
\( 5! \times 5! = (5!)^2 = (1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5)^2 = 120^2 = 14400 \)
\( 3! \times 0! = (1 \times 2 \times 3) \times 1 = 6 \)
\( \dfrac{ 4!}{0!} = \dfrac{1 \times 2 \times 3 \times 4}{1} = 24\)
\( \dfrac{6!}{2! \times 4!} \)
\( = \dfrac{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6}{ (1 \times 2 ) \times ( 1 \times 2 \times 3 \times 4) } \)
\( = 15 \)
Pregunta 2
Simplifica las siguientes expresiones:
\( \dfrac{(n + 2)!}{n!} \)
\( \dfrac{(2n + 2)!}{(2n)!} \)
\( \dfrac{(n - 1)!}{(n + 1)!} \)
Solución a la pregunta 2
Ampliar los factoriales
\( \dfrac{(n + 2)!}{n!} \)
\( = \dfrac{ 1 \times 2 \times ... \times n \times (n + 1) \times (n + 2) } {1 \times 2 \times ...\times n } \)
Cancelar factores comunes, en el numerador y denominador, y simplificar para obtener
\( = (n + 1)(n + 2) \)
Expande los factoriales en las expresiones dadas.
\( \dfrac{(2n + 2)!}{(2n)!} \)
\( = \dfrac{ 1 \times 2 \times 3...(2n) \times (2n + 1) \times (2n + 2) } {1 \times 2 \times 3...2n} \)
Cancelar factores comunes, en el numerador y denominador, y simplificar para obtener
\( = (2n + 1) \times (2n + 2) \)
Ampliar los factoriales en el numerador y denominador.
\( \dfrac{(n - 1)!}{(n + 1)!} \)
\( = \dfrac {1 \times 2 \times 3...(n - 1) }{1 \times 2 \times 3...(n - 1) \times n \times (n + 1)} \)
Cancelar factores comunes en el numerador y denominador y simplificar para obtener
\( = \dfrac{1}{n(n+1)} \)
Ejercicios
a) Evaluar \( \dfrac{(10! / 5!)}{10} \)
b) Simplificar \( \dfrac{(n + 1)!}{n!} \)
Respuestas a los ejercicios anteriores.
a) \( \dfrac{(10! / 5!)}{10} = 3024 \)
b) \( \dfrac{(n + 1)!}{n!} = n +1 \)
Más referencias y enlaces
estadísticas y probabilidades elementales .
Calculadora factorial para calcular el factorial de un número entero positivo.
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