Introducción a la Probabilidad: Espacio Muestral, Eventos y Fórmulas

Probabilidad de un Evento

La probabilidad estudia experimentos cuyos resultados no se pueden predecir con certeza. Por ejemplo, lanzar una moneda (cara o cruz) o tirar un dado \((1,2,3,4,5,6)\).

La probabilidad mide qué tan probable es que ocurra un evento. Su valor siempre está entre \(0\) y \(1\), inclusive. Un evento imposible tiene probabilidad \(0\), mientras que un evento seguro tiene probabilidad \(1\).

Para cuantificar las probabilidades, definimos el espacio muestral y los eventos asociados con un experimento.

Espacio Muestral y Eventos

El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento.

Ejemplo 1. Tirar un dado:

\[ S = \{1,2,3,4,5,6\} \]

Ejemplo 2. Lanzar dos monedas:

\[ S = \{CC, CX, XC, XX\} \]

Ejemplo 3. Tirar dos dados:

\[ \begin{aligned} S = \{ &(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),\\ &(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\\ &(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),\\ &(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),\\ &(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),\\ &(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\} \end{aligned} \]

Eventos

Un evento es un subconjunto del espacio muestral.

Ejemplo 4. Números pares en un dado:

\[ E = \{2,4,6\} \]

Ejemplo 5. Dos caras al lanzar dos monedas:

\[ E = \{CC\} \]

Ejemplo 6. La suma es 4 al tirar dos dados:

\[ E = \{(1,3),(2,2),(3,1)\} \]

Cómo Calcular Probabilidades

1. Probabilidad Clásica

La probabilidad clásica se aplica cuando todos los resultados son igualmente probables.

\[ P(E) = \frac{\text{Número de resultados favorables}}{\text{Número total de resultados}} \]

Ejemplo 7. Probabilidad de sacar un 3:

\[ P(E) = \frac{1}{6} \]

Ejemplo 8. Probabilidad de sacar un número par:

\[ P(E) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]

2. Probabilidad Empírica

La probabilidad empírica se basa en datos observados.

Supongamos que se encuestó a 30 personas sobre su color favorito:

Color	Frecuencia
Rojo	10
Azul	15
Verde	5

\[ P(\text{Rojo}) = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \]

Ejemplo 9. Probabilidad de que un estudiante esté en 3er grado:

\[ P(E) = \frac{40}{250} = 0.16 \]