Introducción a la Probabilidad



Introduction to Probability

Las probabilidades están asociados con experimentos en los que el resultado no se conoce de antemano o no se puede predecir. Por ejemplo, si lanzas una moneda, va a obtener una cabeza o la cola? Si tira un dado obtendrá 1, 2, 3, 4, 5 o 6? La probabilidad mide y cuantifica "Qué tan probable" de que suceda un evento relacionado con estos tipos de experimentos. El valor de una probabilidad es un número entre 0 y 1 inclusive. Un evento que no puede ocurrir tiene una probabilidad (de suceder) igual a 0 y la probabilidad de que ocurra un evento con probabilidad tiene una probabilidad igual a 1. (ver la escala de probabilidad a continuación).

escala de probabilidad


Para cuantificar las probabilidades, necesitamos definir el espacio de muestra de un experimento y los eventos que pueden estar asociados con ese experimento.

Muestra de espacio y eventos

El espacio de muestra es el conjunto de todos los resultados posibles en un experimento.

Ejemplo 1: Si se tira un dado, el espacio de muestra S viene dado por

S = {1,2,3,4,5,6}

Ejemplo 2: Si se lanzan dos monedas, el espacio de muestra S está dado por

S = {HH, HT, TH, TT}, donde H = cabeza y T = cola.

Ejemplo 3: Si se lanzan dos dados, el espacio muestral S está dado por

S = { (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)
         (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)
         (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)
         (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)
         (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)
         (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) }

Definimos un evento como un resultado específico de un experimento. Un evento es un subconjunto del espacio de muestra.

Ejemplo 4: Se tira un dado (vea el ejemplo 1 anterior para el espacio de muestra). Definamos el evento E como el conjunto de resultados posibles donde el número en la cara del dado es par. El evento E es dado por

E = {2,4,6}

Ejemplo 5: Se lanzan dos monedas (ver el ejemplo 2 anterior para el espacio de muestra). Definamos el evento E como el conjunto de posibles resultados donde el número de cabezas obtenidas es igual a dos. El evento E es dado por

E = {(HT),(TH)}

Ejemplo 6: Se lanzan dos dados (ver el ejemplo 3 anterior para el espacio de muestra). Definamos el evento E como el conjunto de resultados posibles donde la suma de los números en las caras de los dos dados es igual a cuatro. El evento E es dado por

E = {(1,3),(2,2),(3,1)}

Cómo calcular probabilidades?

1 - clásica fórmula de probabilidad P(E): Se basa en el hecho de que todos los resultados son igualmente probables.

Número total de resultados en E
P(E)= ________________________________________________
Número total de resultados en el espacio muestral


Ejemplo 7: Se tira un dado, encuentra la probabilidad de obtener un 3.

El evento de interés es "obtener un 3". entonces E = {3}.

El espacio muestral S está dado por S = {1,2,3,4,5,6}.

El número de resultados posibles en E es 1 y el número de resultados posibles en S es 6. Por lo tanto, la probabilidad de obtener un 3 es

P(E) = 1 / 6.


Ejemplo 8: Se arroja un dado, encuentre la probabilidad de obtener un número par.

El evento de interés es "obtener un número par". entonces E = {2,4,6}, los números pares en un dado.

El espacio de muestra S está dado por S = {1,2,3,4,5,6}.

El número de resultados posibles en E es 3 y el número de resultados posibles en S es 6. Por lo tanto, la probabilidad de obtener un número par es

P(E) = 3 / 6 = 1 / 2.

2 - Fórmula de probabilidad empírica: Utiliza datos reales sobre situaciones actuales para determinar la probabilidad de que se produzcan resultados en el futuro. Vamos a aclarar esto usando un ejemplo

A 30 personas se les preguntó sobre los colores que les gustan y aquí están los resultados:

colorfrecuencia
rojo 10
azul 15
verde 5


Si una persona es seleccionada al azar del grupo de arriba 30, ¿cuál es la probabilidad de que a esta persona le guste el color rojo?

Deje que el evento E sea "me gusta el color rojo". Por lo tanto

Frecuencia para el color rojo
P(E)= ________________________________________________
Frecuencias totales en la tabla anterior


= 10 / 30 = 1 / 3


Ejemplo 8: La tabla a continuación muestra la distribución de alumnos por grado en una escuela.

gradofrecuencia
150
230
340
442
538
650


Si un estudiante es seleccionado al azar de esta escuela, ¿cuál es la probabilidad de que este estudiante esté en grado 3?

Deje que el evento E sea "estudiante de tercer grado". Por lo tanto

Frecuencia para el grado 3
P(E)= _______________________________________
Frecuencias totales


= 40 / 250 = 0.16

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