En esta página se presentan problemas de regresión lineal y modelado de datos junto con soluciones detalladas. También se puede utilizar una calculadora y graficadora de regresión lineal para verificar respuestas y generar ejemplos de práctica adicionales.
Si un gráfico de \( n \) pares de datos \( (x, y) \) sugiere una relación lineal entre \( x \) e \( y \), el método de mínimos cuadrados puede usarse para determinar la línea recta que mejor se ajusta.
La recta de regresión de mínimos cuadrados minimiza la suma de los cuadrados de las distancias verticales \( d_1 + d_2 + \cdots + d_n \) entre los puntos de datos observados y la recta.
La ecuación de la recta de regresión de mínimos cuadrados se escribe en forma pendiente-ordenada al origen:
\[ y = ax + b \]donde los coeficientes \( a \) y \( b \) están dados por:
\[ a = \frac{ n \sum_{i=1}^{n} x_i y_i - \left(\sum_{i=1}^{n} x_i\right) \left(\sum_{i=1}^{n} y_i\right) }{ n \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \left(\sum_{i=1}^{n} x_i\right)^2 } \] \[ b = \frac{1}{n} \left( \sum_{i=1}^{n} y_i - a \sum_{i=1}^{n} x_i \right) \]Considera el conjunto de puntos \[ \{(-2,-1),(1,1),(3,2)\}. \]
a) Encuentra la recta de regresión de mínimos cuadrados.
b) Grafica los puntos y la recta de regresión en el mismo conjunto de ejes.
Considera el conjunto de datos \[ \{(-1,0),(0,2),(1,4),(2,5)\}. \]
a) Encuentra la recta de regresión de mínimos cuadrados.
b) Grafica los puntos y la recta de regresión.
La siguiente tabla muestra valores de \( x \) y sus valores correspondientes de \( y \).
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | 2 | 3 | 5 | 4 | 6 |
a) Encuentra la recta de regresión de mínimos cuadrados \( y = ax + b \).
b) Estima el valor de \( y \) cuando \( x = 10 \).
Las ventas de una empresa (en millones de dólares) para cada año se muestran a continuación.
| Año | 2005 | 2006 | 2007 | 2008 | 2009 |
|---|---|---|---|---|---|
| Ventas | 12 | 19 | 29 | 37 | 45 |
a) Encuentra la recta de regresión de mínimos cuadrados.
b) Usa el modelo para estimar las ventas de la empresa en el año 2012.
| x | y | \(xy\) | \(x^2\) |
|---|---|---|---|
| -2 | -1 | 2 | 4 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 3 | 2 | 6 | 9 |
| \(\sum x=2\) | \(\sum y=2\) | \(\sum xy=9\) | \(\sum x^2=14\) |
Usando las fórmulas:
\[ a=\frac{3(9)-2(2)}{3(14)-2^2}=\frac{23}{38}, \qquad b=\frac{1}{3}\left(2-\frac{23}{38}\cdot2\right)=\frac{5}{19} \]La recta de regresión es:
\[ y=\frac{23}{38}x+\frac{5}{19} \]
| x | y | \(xy\) | \(x^2\) |
|---|---|---|---|
| -1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 2 | 0 | 0 |
| 1 | 4 | 4 | 1 |
| 2 | 5 | 10 | 4 |
| \(\sum x=2\) | \(\sum y=11\) | \(\sum xy=14\) | \(\sum x^2=6\) |
Sea \( t=x-2005 \) el número de años después de 2005.
\[ a=\frac{5(368)-10(142)}{5(30)-10^2}=8.4, \qquad b=\frac{1}{5}(142-8.4\cdot10)=11.6 \]Para 2012, \( t=7 \):
\[ y=8.4(7)+11.6=70.4 \]Las ventas estimadas para 2012 son 70.4 millones de dólares.