Los problemas de modelado y regresión lineal se presentan junto con sus soluciones en la parte inferior de la página. También se puede usar una calculadora y graficador de regresión lineal para verificar las respuestas y crear más oportunidades para la práctica.
Revisión
Si la gráfica de n pares de datos (x, y) para un experimento parece indicar una "relación lineal" entre y y x, entonces el método de mínimos cuadrados se pueden usar para escribir una relación lineal entre x e y.
La línea de regresión de mínimos cuadrados es la línea que minimiza la suma de los cuadrados (d1 + d2 + d3 + d4) de la desviación vertical de cada punto de datos a la línea (ver la figura a continuación como un ejemplo de 4 puntos).
Figure 1. Regresión lineal donde se minimiza la suma de las distancias verticales d1 + d2 + d3 + d4 entre los valores observados y predichos (línea y su ecuación).
La línea de regresión de mínimos cuadrados para el conjunto de n puntos de datos viene dada por la ecuación de una línea en forma de intersección de pendiente:
y = a x + b
donde a y b están dados por
Figure 2. Fórmulas para las constantes a y b incluidas en la regresión lineal .
Problema 1
Considere el siguiente conjunto de puntos: {(-2 , -1) , (1 , 1) , (3 , 2)}
a) Encuentre la línea de regresión de mínimos cuadrados para los puntos de datos dados.
b) Trace los puntos dados y la línea de regresión en el mismo sistema rectangular de ejes.
Problema 2
a) Encuentre la línea de regresión de mínimos cuadrados para el siguiente conjunto de datos
{(-1 , 0),(0 , 2),(1 , 4),(2 , 5)}
b) Trace los puntos dados y la línea de regresión en el mismo sistema rectangular de ejes.
Problema 3
Los valores de y y sus correspondientes valores de y se muestran en la siguiente tabla
x
0
1
2
3
4
y
2
3
5
4
6
a) Encuentre la línea de regresión de mínimos cuadrados y = a x + b.
b) Estime el valor de y cuando x = 10.
Problema 4
Las ventas de una empresa (en millones de dólares) para cada año se muestran en la siguiente tabla.
x (año)
2005
2006
2007
2008
2009
y (ventas)
12
19
29
37
45
a) Encuentre la línea de regresión de mínimos cuadrados y = a x + b.
b) Utilice la línea de regresión de mínimos cuadrados como modelo para estimar las ventas de la empresa en 2012.
Soluciones a los problemas anteriores
Solución al Problema 1
a) Organicemos los datos en una tabla.
x
y
x y
x 2
-2
-1
2
4
1
1
1
1
3
2
6
9
Σx = 2
Σy = 2
Σxy = 9
Σx2 = 14
Ahora usamos la fórmula anterior para calcular a y b de la siguiente manera
a = (nΣx y - ΣxΣy) / (nΣx2 - (Σx)2) = (3*9 - 2*2 ) / (3*14 - 22) = 23/38
b = (1/n)(Σy - a Σx) = (1/3)(2 - (23/38)*2) = 5/19
b) Ahora graficamos la línea de regresión dada por y = a x + b y los puntos dados.
Figure 3. Graph of linear regression in problem 1.
Solución al Problema 2
a) Usamos una tabla de la siguiente manera
x
y
x y
x 2
-1
0
0
1
0
2
0
0
1
4
4
1
2
5
10
4
Σx = 2
Σy = 11
Σx y = 14
Σx2 = 6
Ahora usamos la fórmula anterior para calcular a y b de la siguiente manera
a = (nΣx y - ΣxΣy) / (nΣx2 - (Σx)2) = (4*14 - 2*11) / (4*6 - 22) = 17/10 = 1.7
b = (1/n)(Σy - a Σx) = (1/4)(11 - 1.7*2) = 1.9
b) Ahora graficamos la línea de regresión dada por y = ax + b y los puntos dados.
Figure 4. Gráfica de regresión lineal en el problema 2.
Solución al Problema 3
a) Usamos una tabla para calcular a y b.
x
y
x y
x 2
0
2
0
0
1
3
3
1
2
5
10
4
3
4
12
9
4
6
24
16
Σx = 10
Σy = 20
Σx y = 49
Σx2 = 30
Ahora calculamos a y b usando las fórmulas de regresión de mínimos cuadrados para a y b.
a = (nΣx y - ΣxΣy) / (nΣx2 - (Σx)2) = (5*49 - 10*20) / (5*30 - 102) = 0.9
b = (1/n)(Σy - a Σx) = (1/5)(20 - 0.9*10) = 2.2
b) Ahora que tenemos la línea de regresión de mínimos cuadrados y = 0.9 x + 2.2, sustituya x por 10 para encontrar el valor de la y correspondiente.
y = 0.9 * 10 + 2.2 = 11.2
Solución al Problema 4
a) Primero cambiamos la variable x a t de modo que t = x - 2005 y, por lo tanto, t representa el número de años después de 2005. Usar t en lugar de x hace que los números sean más pequeños y, por lo tanto, manejables. La tabla de valores se vuelve.
t (años después de 2005)
0
1
2
3
4
y (ventas)
12
19
29
37
45
Ahora usamos la tabla para calcular a y b incluidos en la fórmula de la línea de regresión mínima.
t
y
t y
t 2
0
12
0
0
1
19
19
1
2
29
58
4
3
37
111
9
4
45
180
16
Σx = 10
Σy = 142
Σxy = 368
Σx2 = 30
Ahora calculamos a y b usando las fórmulas de regresión de mínimos cuadrados para a y b.
a = (nΣt y - ΣtΣy) / (nΣt2 - (Σt)2) = (5*368 - 10*142) / (5*30 - 102) = 8.4
b = (1/n)(Σy - a Σx) = (1/5)(142 - 8.4*10) = 11.6
b) In 2012, t = 2012 - 2005 = 7
Las ventas estimadas en 2012 son: y = 8,4 * 7 + 11,6 = 70,4 millones de dólares.
