Media y desviación estándar - Problemas con soluciones
Se presentan problemas de media y desviación estándar junto con sus soluciones en la parte inferior de la página. Se discuten los problemas relacionados con los conjuntos de datos, así como con los datos agrupados.
Problemas
Considere los siguientes tres conjuntos de datos A, B y C.
A = {9,10,11,7,13}
B = {10,10,10,10,10}
C = {1,1,10,19,19}
a) Calcula la media de cada conjunto de datos.
b) Calcula la desviación estándar de cada conjunto de datos.
c) ¿Qué conjunto tiene la mayor desviación estándar?
d) ¿Es posible responder a la pregunta c) sin cálculos de la desviación estándar?
Un conjunto de datos dado tiene una media μ y una desviación estándar σ.
a) ¿Cuáles son los nuevos valores de la media y la desviación estándar si se agrega la misma constante k a cada valor de datos en el conjunto dado? Explique.
b) ¿Cuáles son los nuevos valores de la media y la desviación estándar si cada valor de datos del conjunto se multiplica por la misma constante k? Explique.
Si la desviación estándar de un conjunto de datos dado es igual a cero, ¿qué podemos decir acerca de los valores de datos incluidos en el conjunto de datos dado?
A continuación se muestra la tabla de frecuencias de los salarios mensuales de 20 personas.
salario (en $)
frecuencia
3500
5
4000
8
4200
5
4300
2
a) Calcular la media de los salarios de las 20 personas.
b) Calcula la desviación estándar de los salarios de las 20 personas.
La siguiente tabla muestra los datos agrupados, por clases, para las alturas de 50 personas.
altura (en cm) - clases
frecuencia
( 120 , 130 ]
2
( 130 , 140 ]
5
( 140 , 150 ]
25
( 150 , 160 ]
10
( 160 , 170 ]
8
a) Calcular la media de los salarios de las 20 personas.
b) Calcula la desviación estándar de los salarios de las 20 personas.
Solutions to the Above Problems
media del conjunto de datos A = (9+10+11+7+13)/5 = 10
media del conjunto de datos B = (10+10+10+10+10)/5 = 10
media del conjunto de datos C = (1+1+10+19+19)/5 = 10
SConjunto de datos de desviación estándar A
= √[ ( (9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(7- 10)2+(13-10)2 )/5 ] = 2
Conjunto de datos de desviación estándar B
= √[ ( (10-10)2+(10-10)2+(10-10)2+(10- 10)2+(10-10)2 )/5 ] = 0
Conjunto de datos de desviación estándar C
= √[ ( (1-10)2+(1-10)2+(10-10)2+(19- 10)2+(19-10)2 )/5 ] = 8,05
El conjunto de datos C tiene la mayor desviación estándar.
Sí, ya que el conjunto de datos C tiene valores de datos que están más alejados de la media en comparación con los conjuntos A y B.
Limitamos la discusión a un conjunto de datos con 3 valores por simplicidad, pero las conclusiones son válidas para cualquier conjunto de datos con datos cuantitativos.
Sean x, y y z los valores de los datos que forman un conjunto de datos.
La media μ = (x + y + z) / 3
La desviación estándar σ = √[ ((x - μ)2 + (y - μ)2 + (z - μ)2) /3 ]
Ahora agregamos una constante k a cada valor de datos y calculamos la nueva media μ'.
μ' = ((x + k) + (y + k) + (z + k)) / 3 = (x + y + z) / 3 + 3k/3 = μ +k
Ahora calculamos la nueva desviación estándar media σ'.
σ' = √[ ((x + k - μ')2 +(y + k - μ')2+(z + k - μ') 2)/3]
Tenga en cuenta que x + k - μ' = x + k - μ - k = x - μ
también y + k - μ' = y + k - μ - k = y - μ y z + k - µ' = z + k - μ - k = z - μ
Por lo tanto σ' = √[ ((x - μ)2 +(y - μ)2+(z - μ)2) /3 ] = σ
Si sumamos la misma constante k a todos los valores de datos incluidos en un conjunto de datos, obtenemos un nuevo conjunto de datos cuya media es la media del conjunto de datos original MÁS k. La desviación estándar no cambia.
Ahora multiplicamos todos los valores de los datos por una constante k y calculamos la nueva media μ' y la nueva desviación estándar σ'.
μ' = (kx + ky + kz) / 3 = kμ
σ' = √[ ((kx - kμ)2 +(ky - kμ)2+(kz - kμ)2) /3] = |k| σ
Si multiplicamos todos los valores de datos incluidos en un conjunto de datos por una constante k, obtenemos un nuevo conjunto de datos cuya media es la media del conjunto de datos original VECES k y la desviación estándar es la desviación estándar del conjunto de datos original VECES el valor absoluto de k.
Nuevamente, limitamos la discusión a un conjunto de datos con 4 valores por simplicidad, pero las conclusiones son ciertas para cualquier conjunto de datos con datos cuantitativos.
Sean x, y, z y w los valores de los datos que componen un conjunto de datos con media μ.
La desviación estándar σ = √[ ((x - μ)2 + (y - μ)2 + (z - μ)2 + (w - µ)2)/3 ]
Sea σ = 0, por lo tanto
√[ ((x - μ)2 + (y - μ)2 + (z - μ)2 + ( w - µ)2)/3 ] = 0
Lo que da
(x - μ)2 + (y - μ)2 + (z - μ)2 + (w - μ )2 = 0
Todos los términos de la ecuación son positivos y, por lo tanto, la ecuación anterior es equivalente a
(x - μ)2 = 0, (y - μ)2 = 0, (z - μ)2 = 0 y (w - µ)2 = 0.
Lo que da
x = y = z = w = μ : todos los valores de datos en el conjunto con σ = 0 son iguales.
Sea xi el i-ésimo salario y fi la frecuencia correspondiente.
media de datos agrupados = μ = (Σxi*fi) / Σfi
= (3500*5 + 4000*8 + 4200*5 + 4300*2) /(5 + 8 + 5 + 2)
= $3955
b) desviación estándar de los datos agrupados = √[ (Σ(xi-μ)2*fi) / Σ fi ]
= √[ (5*(3500-3955)2+8*(4000-3955)2+5*(4200-3955)2+2*(4300-3955)2) /(20) ]
= 282 (redondeado a la unidad más cercana)
Primero encontramos los puntos medios de las clases dadas.
altura (en cm) - clases
punto medio
frecuencia
( 120 , 130 ]
(120+130) ÷ 2 = 125
2
( 130 , 140 ]
(130+140) ÷ 2 = 135
5
( 140 , 150 ]
(140+150) ÷ 2 = 145
25
( 150 , 160 ]
(150+160) ÷ 2 = 155
10
( 160 , 170 ]
(160+170) ÷ 2 = 165
8
Sea mi el punto medio de la i-ésima clase y fi la frecuencia correspondiente.
media de datos agrupados = μ = (Σmi*fi) / Σfi
= (125*2 + 135*5 + 145*25 + 155*10 + 165*8) /(2+5+25+10+8)
= 148,4
b) desviación estándar de los datos agrupados = √[ (Σ(mi-μ)2*fi) / Σ fi ]
= √[ (2*(125-148,4)2+5*(135-148,4)2+25*(145-148,4)2+10*(155-148.4)2+8*(165-148.4)2) /(50) ]
= 9,9
