Media y Desviación Estándar
Problemas de Práctica con Soluciones

Esta página presenta problemas de práctica sobre la media y la desviación estándar. Las soluciones completas se proporcionan en la parte inferior de la página. Los problemas incluyen conjuntos de datos brutos, tablas de frecuencia y datos agrupados.

Problemas

1. Considera los siguientes tres conjuntos de datos:
   
   \( A = \{9, 10, 11, 7, 13\} \)
   \( B = \{10, 10, 10, 10, 10\} \)
   \( C = \{1, 1, 10, 19, 19\} \)
   
   a) Calcula la media de cada conjunto de datos.
   b) Calcula la desviación estándar de cada conjunto de datos.
   c) ¿Qué conjunto de datos tiene la mayor desviación estándar?
   d) ¿Se puede responder la pregunta (c) sin realizar cálculos?
2. Un conjunto de datos tiene media \( \mu \) y desviación estándar \( \sigma \).
   
   a) ¿Qué sucede con la media y la desviación estándar si se suma una constante \( k \) a cada valor del conjunto? Explica.
   b) ¿Qué sucede si cada valor del conjunto se multiplica por \( k \)? Explica.
3. Si la desviación estándar de un conjunto de datos es cero, ¿qué se puede concluir sobre los valores de los datos?
4. La siguiente tabla de frecuencia muestra los salarios mensuales de 20 personas.
   
   

   Salario ($)	Frecuencia
   3500	5
   4000	8
   4200	5
   4300	2

   
   a) Calcula el salario medio.
   b) Calcula la desviación estándar.
5. La siguiente tabla muestra datos agrupados de la altura de 50 personas.
   
   

   Altura (cm)	Frecuencia
   \((120,130]\)	2
   \((130,140]\)	5
   \((140,150]\)	25
   \((150,160]\)	10
   \((160,170]\)	8

   
   a) Calcula la altura media.
   b) Calcula la desviación estándar.

Soluciones

1. a) Medias
   \[ \bar{x}_A = \frac{9+10+11+7+13}{5} = 10 \] \[ \bar{x}_B = \frac{10+10+10+10+10}{5} = 10 \] \[ \bar{x}_C = \frac{1+1+10+19+19}{5} = 10 \] b) Desviaciones estándar
   \[ \sigma_A = \sqrt{\frac{(9-10)^2+(10-10)^2+(11-10)^2+(7-10)^2+(13-10)^2}{5}} = 2 \] \[ \sigma_B = 0 \] \[ \sigma_C = \sqrt{\frac{(1-10)^2+(1-10)^2+(10-10)^2+(19-10)^2+(19-10)^2}{5}} \approx 8.05 \] c) El conjunto de datos \( C \) tiene la mayor desviación estándar.
   d) Sí. Los valores en el conjunto \( C \) están más alejados de la media.
2. Sean los valores del conjunto \( x,y,z \). \[ \mu = \frac{x+y+z}{3}, \quad \sigma = \sqrt{\frac{(x-\mu)^2+(y-\mu)^2+(z-\mu)^2}{3}} \] a) Sumando \( k \): \[ \mu' = \mu + k, \quad \sigma' = \sigma \] b) Multiplicando por \( k \): \[ \mu' = k\mu, \quad \sigma' = |k|\sigma \]
3. Si \( \sigma = 0 \), entonces \[ (x-\mu)^2+(y-\mu)^2+(z-\mu)^2+(w-\mu)^2 = 0 \] lo que implica \[ x=y=z=w=\mu \] Todos los valores del conjunto de datos son iguales.
4. \[ \mu = \frac{\sum x_i f_i}{\sum f_i} = \frac{3500(5)+4000(8)+4200(5)+4300(2)}{20} = 3955 \] \[ \sigma \approx 282 \]
5. Usando las marcas de clase \( m_i \): \[ \mu = \frac{\sum m_i f_i}{\sum f_i} = 148.4 \] \[ \sigma \approx 9.9 \]

Más Referencias