Media, mediana y moda de un conjunto de datos

Se presentan ejemplos sobre cómo encontrar la media, la mediana y la moda de un conjunto de datos de números reales junto con sus soluciones y explicaciones detalladas. La media, la mediana y la moda son medidas estadísticas de tendencia central que en un dato bien distribuido tiende a resumir todo un conjunto de datos con un solo valor. Estas tres medidas son fáciles de entender y usar para comparar conjuntos de datos.
Los valores atípicos también se definen y discuten y sus efectos sobre la media, la mediana y la moda se discuten a través de ejemplos con sus soluciones.
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Media de un conjunto de datos

La media aritmética (o promedio) de un conjunto de datos se define como la suma de todos los valores de datos en el conjunto dividida por el número de valores en este conjunto. Si x₁, x₂, x₃ ... x_N son los valores en un conjunto de datos, la media μ está dada por la fórmula
 
Ejemplo 1
En un examen de matemáticas, los estudiantes de la clase A obtuvieron 55, 72, 96, 92, 87, 52, 92, 45, 58, 77, 86, 80 y los estudiantes de la clase B obtuvieron 55, 67, 75, 95, 82 , 86, 38, 90, 42, 56, 82, 96. ¿Cuál es la puntuación media (promedio) de cada clase? Utilice los dos medios para comparar el rendimiento de las dos clases.
Solución al Ejemplo 1
Hay 12 puntajes en la clase A, por lo tanto, N = 12. Use la fórmula para calcular la media de la clase A de la siguiente manera
  Hay 12 puntajes en la clase B, por lo tanto, N = 12. Use la fórmula para calcular la media de la clase B de la siguiente manera
 
La media (promedio) de la clase A es más alta que la media de la clase B. En promedio, la clase A "puntuó"; mejor que la clase B, pero si examinamos los dos conjuntos de puntajes, no todos los estudiantes de la clase A obtuvieron puntajes más altos que todos los estudiantes de la clase B.
Para cualquier conjunto de datos dado de valores, la media es mayor que el valor más pequeño y menor que el valor más grande. En la clase A por encima de la puntuación más pequeña es 55 y la puntuación más alta es 96 y la media es 74,3. En la clase B, la media es 72 y las puntuaciones más pequeña y más grande son 55 y 96 respectivamente.

Mediana de un conjunto de datos

La mediana de un conjunto de datos es el valor medio de los datos después de ordenar los datos dados. Si el número N de valores de datos es impar, la mediana es el valor de datos medio y si N es par, la mediana es el promedio de los dos valores de datos en el medio.

Ejemplo 2
Las estaturas en centímetros de un grupo de 11 niños de diferentes edades son las siguientes: 110, 105, 126, 65, 134, 102, 78, 80, 119, 67, 88. ¿Cuál es la estatura mediana de este grupo de niños? ?
Solución al Ejemplo 2
Primero ordenamos los datos dados de menor a mayor altura.
65 , 67 , 78 , 80 , 88 , 102 , 105 , 110 , 119 , 126 , 134
Hay un total de 11 valores de datos y el que está en el medio es la mediana y es igual a 102. Hay cerca del 50 % de los valores de los datos que son inferiores a la mediana (102) y cerca del 50 % de los valores de los datos superior a la mediana.

Ejemplo 3
Los pesos, en kilogramos, de un grupo de 12 hombres son los siguientes: 110, 82, 99, 70, 77, 87, 78, 80, 102, 79, 88, 95. ¿Cuál es la mediana del peso de este grupo de hombres?
Solución al Ejemplo 3
Primero ordenamos los datos dados de menor a mayor peso.
70 , 77 , 78 , 79 , 80 , 82 , 87 , 88 , 95 , 99 , 102 , 110 ,
Hay un total de 12 valores de datos y el promedio de los dos valores de datos 82 y 87 en el medio es la mediana y es igual a (82 + 87) / 2 = 84.5. Exactamente el 50 % de los valores de los datos son inferiores a la mediana (84,5) y el 50 % de los valores de los datos son superiores a la mediana.

Moda de un conjunto de datos

La moda de un conjunto de datos es el valor de datos que ocurre con la frecuencia más alta.

Ejemplo 4
En un examen, los estudiantes de una clase obtuvieron las siguientes calificaciones: 45, 67, 95, 89, 88, 40, 90, 88, 56, 78, 88, 76. ¿Cuál es la moda de las calificaciones dadas?
Solución al Ejemplo 4
Primero ordenamos las puntuaciones dadas de menor a mayor peso.
40 , 45 , 56 , 67 , 76 , 78 , 88 , 88 , 88 , 89 , 90 , 95
Luego buscamos el valor de datos que ocurre con más frecuencia, que en este ejemplo es 88.

La Media, la Mediana y la Moda son Medidas de Tendencia Central

La media, la mediana y la moda son cantidades de un solo valor que tienden a describir el centro de un conjunto de datos. Para un conjunto de datos donde los valores de los datos están cerca uno del otro, las tres cantidades tienden a tener un valor cercano y describen el valor central típico de los datos.

Ejemplo 6
Un estudiante obtuvo 89, 90, 92, 96, 91, 93 y 92 en sus pruebas de matemáticas. Encuentre la media, la mediana y la moda de estas puntuaciones.
Solución al Ejemplo 6

malo mediana
Ordena los datos de menor a mayor
89 , 90 , 91 , 92 , 92 , 93 , 96
La mediana es el valor de los datos ubicado en el medio y es igual a 92.
Modo
89 , 90 , 91 , 92 , 92 , 93 , 96
La moda es el valor del dato que más se repite y es igual a 92.
Para este conjunto de datos, podemos usar cualquiera de las tres tendencias centrales (media, mediana o moda) para describir un valor de datos central típico porque tienen un valor cercano. Esto no es siempre el caso, sin embargo. Los conjuntos de datos con valores atípicos pueden tener sus tendencias centrales afectadas, ya que examinaremos los ejemplos a continuación.

Outliers y sus efectos en las medidas de tendencia central

Los valores atípicos son valores extremadamente bajos o valores extremadamente altos en un conjunto de datos. Pueden afectar la media, la mediana o la moda.

Ejemplo 7
Un estudiante obtuvo 0, 90, 88, 96, 92, 88 y 95 en sus exámenes de matemáticas. Responda las siguientes preguntas:
a) ¿Qué puntaje se puede considerar como un valor atípico?
b) Calcule la media, la mediana y la moda con y sin el valor atípico y tome una decisión sobre qué tendencia central describe mejor una puntuación central típica.
Solución al Ejemplo 7
a) La puntuación más baja de 0 puede considerarse un valor atípico porque es mucho más baja que la siguiente puntuación más alta de 88.
b) con el valor atípico 0, las puntuaciones son: 0, 90, 88, 96, 92, 88 y 95
media = 78,4 , mediana = 90 , moda = 88
Sin el valor atípico 0, las puntuaciones son: 90, 88, 96, 92, 88 y 95
media: = 91,5 , mediana = 91 , moda = 88
El valor atípico 0 tiende a afectar la media, ya que la diferencia entre las medias con (78,4) y sin (91,5) es relativamente grande y, por lo tanto, la mediana y la moda describirían mejor una puntuación típica de este estudiante.

Dispersión de datos y sus efectos en las medidas de tendencias centrales

Los datos pueden considerarse dispersos si los valores de los datos están lejos del valor promedio (media) de todo el conjunto de datos. Las medidas de tendencias centrales pueden no ser suficientes o, a veces, incluso adecuadas para describir un valor de datos central típico.

Ejemplo 8
Una clase obtuvo 96, 20, 20, 45, 40, 32, 97, 100, 98, 45, 90, 35 y 91 en un examen.
Calcule la media, la mediana y la moda tome una decisión sobre qué medida de tendencia central describe mejor la puntuación central típica.
Solución al Ejemplo 8
media = 62,2 , mediana = 45 , moda = 20
Los puntajes están muy dispersos con algunos puntajes mucho más bajos que la media y otros puntajes más altos que la media. Esto ha afectado en gran medida a la moda y, en cierta medida, a la mediana. La media, la mediana y la moda difieren en valores porque las puntuaciones están dispersas con la puntuación más pequeña de 20 y la puntuación más alta de 100. La media puede, en esta situación, usarse como una medida de tendencia central, pero la moda de 20 es definitivamente no es una puntuación central típica.
La desviación estándar es una medida de la dispersión de los valores de los datos alrededor de la media.

Más enlaces y referencias

• Media y desviación estándar.
  
• Tendencia central
  
• Media
  
• Mediana
  
• Mode
  
• Desviación estándar.