Problemas de distribución normal con soluciones

Se presentan problemas y aplicaciones en distribuciones normales . Las soluciones a estos problemas se encuentran al final de la página. Una calculadora de probabilidad normal en línea y una calculadora de probabilidad normal inversa puede resultar útil para comprobar sus respuestas.

Problemas con soluciones

  1. X es una variable distribuida normalmente con media μ = 30 y desviación estándar σ = 4. Encuentra las probabilidades
    a) P(X <40)
    b) P(X > 21)
    c) P(30 < X < 35)

  2. Se utiliza una unidad de radar para medir la velocidad de los coches en una autopista. Las velocidades se distribuyen normalmente con una media de 90 km/h y una desviación estándar de 10 km/h. ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil elegido al azar viaje a más de 100 km/h?

  3. Para ciertos tipos de computadoras, el tiempo entre cargas de la batería se distribuye normalmente con una media de 50 horas y una desviación estándar de 15 horas. John posee una de estas computadoras y quiere saber la probabilidad de que el tiempo sea entre 50 y 70 horas.

  4. El ingreso a una determinada universidad se determina mediante una prueba nacional. Las puntuaciones de esta prueba se distribuyen normalmente con una media de 500 y una desviación estándar de 100. Tom quiere ser admitido en esta universidad y sabe que debe obtener mejores calificaciones que al menos el 70% de los estudiantes que tomaron la prueba. Tom toma el examen y obtiene una puntuación de 585. ¿Será admitido en esta universidad?

  5. La longitud de componentes similares producidos por una empresa se aproxima mediante un modelo de distribución normal con una media de 5 cm y una desviación estándar de 0,02 cm. Si se elige un componente al azar
    a) ¿Cuál es la probabilidad de que la longitud de este componente esté entre 4,98 y 5,02 cm?
    b) ¿Cuál es la probabilidad de que la longitud de este componente esté entre 4,96 y 5,04 cm?

  6. La vida útil de un instrumento producido por una máquina tiene una distribución normal con una media de 12 meses y una desviación estándar de 2 meses. Encuentre la probabilidad de que un instrumento producido por esta máquina dure
    a) menos de 7 meses.
    b) entre 7 y 12 meses.

  7. El tiempo que lleva ensamblar un automóvil en una determinada planta es una variable aleatoria que tiene una distribución normal de 20 horas y una desviación estándar de 2 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que se pueda ensamblar un automóvil en esta planta en un período de tiempo?
    a) menos de 19,5 horas?
    b) entre 20 y 22 horas?

  8. Un grupo grande de estudiantes tomó un examen de Física y las calificaciones finales tienen una media de 70 y una desviación estándar de 10. Si podemos aproximar la distribución de estas calificaciones mediante una distribución normal, ¿qué porcentaje de estudiantes
    a) obtuvo una puntuación superior a 80?
    b) ¿Debería aprobar el examen (grados ≥ 60)?
    c) ¿Debería reprobar la prueba (calificaciones <60)?

  9. Los salarios anuales de los empleados de una gran empresa se distribuyen aproximadamente normalmente con una media de 50 000 dólares y una desviación estándar de 20 000 dólares.
    a) ¿Qué porcentaje de personas gana menos de $40 000?
    b) ¿Qué porcentaje de personas ganan entre $45 000 y $65 000?
    c) ¿Qué porcentaje de personas gana más de $70 000?

Soluciones a los problemas anteriores

  1. Nota: Lo que aquí se entiende por área es el área bajo la curva normal estándar.
    a) Para x = 40, el valor z = (40 - 30) / 4 = 2,5
    Por tanto, P(x < 40) = P(z < 2,5) = [área a la izquierda de 2,5] = 0,9938
    b) Para x = 21, z = (21 - 30) / 4 = -2,25
    Por tanto, P(x > 21) = P(z > -2,25) = [área total] - [área a la izquierda de -2,25]
    = 1 - 0,0122 = 0,9878
    c) Para x = 30, z = (30 - 30) / 4 = 0 y para x = 35, z = (35 - 30) / 4 = 1,25
    Por lo tanto P(30 < x < 35) = P(0 < z < 1,25) = [área a la izquierda de z = 1,25] - [área a la izquierda de 0]
    = 0,8944 - 0,5 = 0,3944

  2. Sea x la variable aleatoria que representa la velocidad de los automóviles. x tiene μ = 90 y σ = 10. Tenemos que encontrar la probabilidad de que x sea mayor que 100 o P(x > 100)
    Para x = 100, z = (100 - 90) / 10 = 1
    P(x > 90) = P(z > 1) = [área total] - [área a la izquierda de z = 1]
    = 1 - 0,8413 = 0,1587
    La probabilidad de que un automóvil seleccionado al azar tenga una velocidad mayor a 100 km/h es igual a 0,1587

  3. Sea x la variable aleatoria que representa el tiempo. Tiene una media de 50 y una desviación estándar de 15. Tenemos que encontrar la probabilidad de que x esté entre 50 y 70 o P( 50< x < 70)
    Para x = 50, z = (50 - 50) / 15 = 0
    Para x = 70, z = (70 - 50) / 15 = 1,33 (redondeado a 2 decimales)
    P( 50< x < 70) = P( 0< z < 1,33) = [área a la izquierda de z = 1,33] - [área a la izquierda de z = 0]
    = 0,9082 - 0,5 = 0,4082
    La probabilidad de que la computadora de John tenga una duración de tiempo entre 50 y 70 horas es igual a 0,4082.

  4. Sea x la variable aleatoria que representa las puntuaciones. x tiene una distribución normal con una media de 500 y una desviación estándar de 100. El área total bajo la curva normal representa el número total de estudiantes que tomaron la prueba. Si multiplicamos los valores de las áreas bajo la curva por 100 obtenemos porcentajes.
    Para x = 585, z = (585 - 500) / 100 = 0,85
    La proporción P de estudiantes que obtuvieron puntuaciones inferiores a 585 está dada por
    P = [área a la izquierda de z = 0,85] = 0,8023 = 80,23%
    Tom obtuvo una puntuación mejor que el 80,23% de los estudiantes que tomaron el examen y será admitido en esta Universidad.

  5. a) P(4,98 < x < 5,02) = P(-1 < z < 1)
    = 0,6826
    b) P(4,96 < x < 5,04) = P(-2 < z < 2)
    = 0,9544

  6. a) P(x < 7) = P(z < -2,5)
    = 0,0062
    b) P(7 < x < 12) = P(-2,5 < z < 0)
    = 0,4938

  7. a) P(x < 19,5) = P(z < -0,25)
    = 0,4013
    b) P(20 < x < 22) = P(0 < z < 1)
    = 0,3413

  8. a) Para x = 80, z = 1
    El área a la derecha (superior a) z = 1 es igual a 0,1586 = 15,87% obtuvo más de 80.
    b) Para x = 60, z = -1
    El área a la derecha de z = -1 es igual a 0,8413 = 84,13% debería pasar la prueba.
    c) 100% - 84,13% = 15,87% no aprobarán la prueba.

  9. a) Para x = 40000, z = -0,5
    El área a la izquierda (menor que) de z = -0,5 es igual a 0,3085 = 30,85 % ganando menos de $40 000.
    b) Para x = 45000, z = -0,25 y para x = 65000, z = 0,75
    El área entre z = -0,25 y z = 0,75 es igual a 0,3720 = 37,20 ganando entre $45 000 y $65 000.
    c) Para x = 70000, z = 1
    El área a la derecha (arriba) de z = 1 es igual a 0,1586 = 15,86% ganando más de $70.000.

Más referencias y enlaces
  1. Definición de distribución normal
  2. estadísticas y probabilidades elementales
  3. Página de inicio
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