Explora problemas y aplicaciones del mundo real de las distribuciones normales, completos con soluciones detalladas. Para verificar tus respuestas, puedes usar nuestra calculadora de probabilidad normal en línea o nuestra calculadora de probabilidad normal inversa.
Nota: En este contexto, "área" se refiere al área bajo la curva normal estándar, y \( z \) representa el puntaje z, definido como:
\[ z = \dfrac{x - \mu}{\sigma} \]\( X \) es una variable distribuida normalmente con media \( \mu = 30 \) y desviación estándar \( \sigma = 4 \). Encuentra las probabilidades
a) \( P(X \lt 40)\)
b) \( P(X \gt 21)\)
c) \( P(30 \lt X \lt 35) \)
a) Para \( x = 40\) , el valor z \[ z = \dfrac {x - \mu}{\sigma } = \dfrac{40 - 30}{4} = 2.5 \] Por lo tanto \[ P(x \lt 40) = P(z \lt 2.5) = \text{área a la izquierda de} \; 2.5 = 0.9938\]
b) Para \( x = 21\), \[ z = \dfrac{21 - 30}{4} = -2.25 \] Por lo tanto \[ P(x \gt 21) = P(z \gt -2.25) \] \[ = \text{área total} - \text{área a la izquierda de} -2.25 \] \[ = 1 - 0.0122 = 0.9878 \]
c) Para \( x = 30 \) , \[ z = \dfrac{30 - 30}{4} = 0 \] y para \( x = 35 \), \[ z = \dfrac {35-30}{4} = 1.25\] Por lo tanto \[ P(30 \lt x \lt 35) = P(0 \lt z \lt 1.25) \] \[ = \text{área a la izquierda de} z = 1.25] - \text{área a la izquierda de} 0 \] \[ = 0.8944 - 0.5 = 0.3944 \]
Una unidad de radar se utiliza para medir las velocidades de los automóviles en una autopista. Las velocidades se distribuyen normalmente con una media de \( 90 \) km/hr y una desviación estándar de \( 10 \) km/hr. ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil elegido al azar viaje a más de \( 100 \) km/hr?
Sea \( x \) la variable aleatoria que representa la velocidad de los automóviles. \( x \) tiene una media \( \mu = 90 \) y una desviación estándar \(\sigma = 10\).
Tenemos que encontrar la probabilidad de que \( x \) sea mayor que \( 100 \) o \( P(x \gt 100) \)
Para \( x = 100\) , \[ z = \dfrac{100 - 90}{10} = 1 \] Por lo tanto \[ P(x \gt 90) = P(z \gt 1) \] \[ = \text{área total} - \text{área a la izquierda de z = } 1 \] \[ = 1 - 0.8413 = 0.1587 \] La probabilidad de que un automóvil seleccionado al azar tenga una velocidad mayor a 100 km/hr es igual a 0.1587
Para ciertos tipos de computadoras, el tiempo entre cargas de la batería se distribuye normalmente con una media de \( 50 \) horas y una desviación estándar de \( 15 \) horas. Juan posee una de estas computadoras y quiere saber la probabilidad de que el tiempo entre cargas esté entre \( 50 \) y \( 70 \) horas.
Sea \( x \) la variable aleatoria que representa la longitud del tiempo que tiene una media de \( 50 \) y una desviación estándar de \( 15 \).
Tenemos que encontrar la probabilidad de que \( x \) esté entre \( 50 \) y \( 70 \) o \( P( 50 \lt x \lt 70) \) Para x = 50 , \[ z = \dfrac{50 - 50}{15} = 0 \] Para x = 70 , \[ z = \dfrac{70-50}{15} = 1.3333 \quad \text{(redondeado a 4 decimales)} \] \[ P( 50 \lt x \lt 70) = P( 0 \lt z \lt 1.3333) \] \[ = \text{área a la izquierda de z =} 1.3333] - \text{área a la izquierda de z} = 0] \] \[ = 0.9088 - 0.5 = 0.4088 \] La probabilidad de que la computadora de Juan tenga un tiempo entre \( 50 \) y \( 70 \) horas es igual a \( 0.4088\).
El ingreso a cierta Universidad está determinado por un examen nacional. Los puntajes en este examen se distribuyen normalmente con una media de \( 500 \) y una desviación estándar de \( 100 \). Tomás quiere ser admitido en esta universidad y sabe que debe puntuar mejor que al menos el \( 70\% \) de los estudiantes que tomaron el examen. Tomás toma el examen y obtiene \( 585 \) puntos. ¿Será admitido en esta universidad?
Sea \( x \) la variable aleatoria que representa los puntajes del examen. \( x \) se distribuye normalmente con una media de \( 500 \) y una desviación estándar de \( 100\).
El área total bajo la curva normal representa el número total de estudiantes que tomaron el examen. Si multiplicamos los valores de las áreas bajo la curva por 100, obtenemos porcentajes. Para \( x = 585 \) , \[ z = \dfrac{585 - 500}{100} = 0.85 \] La proporción \( P \) de estudiantes que puntuaron por debajo de \( 585 \) está dada por \[ P = \text{área a la izquierda de z =} = 0.85 = 80.23\% \] Tomás puntuó mejor que el \( 80.23\% \) de los estudiantes que tomaron el examen y será admitido en esta Universidad.
La longitud de componentes similares producidos por una compañía se aproxima mediante un modelo de distribución normal con una media de 5 cm y una desviación estándar de \( 0.02 \) cm. Si se elige un componente al azar
a) ¿cuál es la probabilidad de que la longitud de este componente esté entre \( 4.98 \) y \( 5.02 \) cm?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la longitud de este componente esté entre \( 4.96 \) y \( 5.04 \) cm?
a)
Necesitamos calcular \[ P(4.98 \lt x \lt 5.02) \] Para \( x = 4.98 \) \[ z = \dfrac{4.98 - 5}{0.02} = -1 \] Para \( x = 5.02 \) \[ z = \dfrac{5.02 - 5}{0.02} = 1 \] Por lo tanto \[ P(4.98 \lt x \lt 5.02) = P(-1 \lt z \lt 1 \] \[ = 0.6826 \] b) Necesitamos calcular \[ P(4.96 \lt x \lt 5.04) \] Calcula los puntajes z para \( x = 4.96 \) y \( x = 5.04 \) Para \( x = 4.96 \) \[ z = \dfrac{4.96 - 5}{0.02} = - 2 \] Para \( x = 5.04 \) \[ z = \dfrac{5.04 - 5}{0.02} = 2 \] Por lo tanto \[ P(4.96 \lt x \lt 5.04) = P(-2 \lt z \lt 2) \] \[ = 0.9544 \]
La vida útil de un instrumento producido por una máquina tiene una distribución normal con una media de \( 12 \) meses y una desviación estándar de \( 2 \) meses. Encuentra la probabilidad de que un instrumento producido por esta máquina dure
a) menos de 7 meses.
b) entre 7 y 12 meses.
a) Encuentra los puntajes z para \( x = 7 \), \[ z = \dfrac{7 - 12}{2} = 2.5 \] Por lo tanto \[ P(x \lt 7) = P(z \lt -2.5) = 0.0062\] b) Encuentra los puntajes z para x = 12, \[ z = \dfrac{12 - 12}{2} = 0 \] Por lo tanto \[ P(7 \lt x \lt 12) = P(-2.5 \lt z \lt 0) = 0.4938 \]
El tiempo que se tarda en ensamblar un automóvil en cierta planta es una variable aleatoria con una distribución normal con una media de \( 20 \) horas y una desviación estándar de \( 2 \) horas. ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil pueda ser ensamblado en esta planta en un período de tiempo
a) menor a 19.5 horas?
b) entre 20 y 22 horas?
a) Encuentra los puntajes z para \( x = 19.5\), \[ z = \dfrac{19.5 - 20}{2} = -0.25 \] \[ P(x < 19.5) = P(z < -0.25) \] \[ = 0.4013 \] b) Encuentra los puntajes z para \( x = 20\), \[ z = \dfrac{20 - 20}{2} = 0\] para \( x = 22\), \[ z = \dfrac{22 - 20}{2} = 1\] Por lo tanto \[ P(20 \lt x \lt 22) = P(0 \lt z \lt 1) = 0.3413 \]
Un gran grupo de estudiantes tomó un examen de Física y las calificaciones finales tienen una media de 70 y una desviación estándar de 10. Si podemos aproximar la distribución de estas calificaciones mediante una distribución normal, ¿qué porcentaje de los estudiantes
a) obtuvo más de \( 80 \) puntos?
b) Debería aprobar el examen (calificaciones mayores a \( 60 \))?
c) Debería reprobar el examen (calificaciones menores a \( 60 \))?
a) Encuentra los puntajes z para \( x = 80\), \[ z = \dfrac{80 - 70}{10} = 1 \] El área a la derecha (más de 80) = El área a la derecha de \( z = 1 \) y es igual a 0.1586
Por lo tanto, el \( 15.87 \% \) obtuvo más de \( 80 \).
b) Encuentra los puntajes z para \( x = 60\), \[ z = \dfrac{60 - 70}{10} = - 1 \] El área a la derecha (más de) 60 = El área a la derecha de \( z = -1 \) es igual a \( 0.8413 \) = 84.13% debería aprobar el examen. Por lo tanto, el porcentaje de estudiantes que debería aprobar el examen es \[ 84.13\% \] c) El porcentaje de estudiantes que debería reprobar el examen es igual al porcentaje total menos el porcentaje que aprueba: \[ 100\% - 84.13\% = 15.87\% \]
Los salarios anuales de los empleados en una gran empresa se distribuyen aproximadamente de forma normal con una media de \( \$ 50,000 \) y una desviación estándar de \( \$ 20,000 \).
a) ¿Qué porcentaje de personas gana menos de \( \$40,000 \)?
b) ¿Qué porcentaje de personas gana entre \( \$ 45,000 \) y \( \$ 65,000 \)?
c) ¿Qué porcentaje de personas gana más de \( \$ $70,000 \)?
a)
Encuentra los puntajes z para x = 40,000, z = -0.5 \[ z = \dfrac{40,000 - 50,000}{20000} = -0.5 \] El porcentaje de personas que ganan menos de 40,000 es el área a la izquierda de z = -0.5, igual a \[ 0.3085 = 30.85\% \]
b) Para \( x = 45,000 \) \[ z = \dfrac{45,000 - 50,000}{20000} = -0.25 \] Para \( x = 65,000 \) \[ z = \dfrac{65,000 - 50,000}{20000} = 0.75 \] El porcentaje de personas que ganan entre \( \$ 45,000 \) y \( \$ 65,000 \) es el área entre \( z = -0.25 \) y \( z = 0.75 \), igual a \[ 0.3720 = 37.20\% \]
c) Para x = 70000, \[ z = \dfrac{70,000 - 50,000}{20000} = 1 \] El porcentaje de personas que gana más de \( \$ 70,000 \) es El área a la derecha de z = 1, igual a \[ 0.1586 = 15.86\% \]