Problemas de Permutaciones y Combinaciones

Las permutaciones y combinaciones se utilizan para resolver problemas de conteo.

Factorial

Ejemplo 1:

Solución

Método (1): Listar todos los números posibles usando un diagrama de árbol.

Podemos formar 6 números usando 3 dígitos y sin repeticiones.

Método (2): Conteo directo.

Mira el diagrama de árbol anterior.

Tenemos 3 opciones para el primer dígito, 2 para el segundo y 1 para el tercero.

Usando el principio de conteo:

El número total de números de 3 dígitos es:

\[ 3 \times 2 \times 1 = 6 \]

Existe una notación especial para este producto: \( 3 \times 2 \times 1 = 3! \) y se lee "3 factorial".

En general, \( n! \) se lee "n factorial" y se define como:

\[ n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times ... \times 2 \times 1 \]

También definimos \( 0! = 1 \).

Ejemplo 2:

Solución

Tenemos 4 opciones para la primera letra, 3 para la segunda, 2 para la tercera y 1 para la cuarta. Por lo tanto:

\[ 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 4! = 24 \]

Permutaciones

Ejemplo 3:

Para el primer dígito tenemos 4 opciones, para el segundo 3 opciones (4 - 1 ya usado).

\[ 4 \times 3 = 12 \]

Este es un problema de ordenar 2 de 4 elementos en un orden específico. Eso se llama permutar.

En las permutaciones, el orden es importante (34 y 43 son diferentes).

La fórmula para permutar \( r \) elementos de un conjunto de \( n \) es:

\[ _{n}P_{r} = \dfrac{n!}{(n - r)!} \]

Ejemplo 4:

\( _{4}P_{2} \), \( _{6}P_{5} \), \( _{4}P_{4} \)

Solución

\[ _{4}P_{2} = \dfrac{4!}{(4 - 2)!} = \frac{24}{2} = 12 \]

\[ _{6}P_{5} = \dfrac{6!}{(6 - 5)!} = \dfrac{720}{1} = 720 \]

\[_{4}P_{4} = \dfrac{ 4! }{ (4 - 4)! } = \dfrac{4!}{0!} = 24 \]

Ejemplo 5:

Solución

Hay 4 letras. Formar palabras de 3 letras es equivalente a ordenar 3 de 4 letras, y el orden importa.

\[ _{4}P_{3} = \dfrac{4!}{(4 - 3)!} = \dfrac{24}{1} = 24 \]

Combinaciones

Ejemplo 6:

Solución

Necesitas dos puntos para trazar una recta. El orden no importa (AB es igual a BA).

Debemos seleccionar 2 puntos de 3. Si contamos como permutaciones, obtenemos 6 pares, pero cada recta se cuenta dos veces.

Rectas posibles: AB, AC, BC → 3 rectas.

Este es un problema de combinaciones:

\[ _{n}C_{r} = \dfrac{n!}{(n - r)! \; r!} \]

Ejemplo 7:

a) \( _{3}C_{2} \)

b) \( _{5}C_{5} \)

Solución

a) \( _{3}C_{2} = \dfrac{3!}{ (3 - 2)!2! } = \dfrac{6}{1 \times 2} = 3 \)

b) \( _{5}C_{5} = \dfrac{5!}{(5 - 5)! \; 5!} = \dfrac{5!}{0! \; 5!} = 1 \)

Ejemplo 8:

Solución

El orden de selección no importa, es una combinación:

\[ _{12}C_{5} = \dfrac{12!}{(12 - 5)! \; 5!} = 792 \]

Problemas con Soluciones

1. ¿Cuántos números de 4 dígitos podemos formar con los dígitos 3, 6, 7 y 8 sin repeticiones?
2. ¿Cuántos números de 3 dígitos podemos formar con los dígitos 2, 3, 4, 5 y 6 sin repeticiones?
3. ¿Cuántas palabras de 6 letras podemos formar con las letras de LIBERTY sin repeticiones?
4. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar 5 libros diferentes en un estante?
5. ¿De cuántas maneras se puede seleccionar un comité de 3 estudiantes de un grupo de 10?
6. ¿Cuántos triángulos se pueden formar con 6 puntos no colineales en un plano?
7. Se debe formar un comité con 3 niños y 4 niñas de un grupo de 10 niños y 12 niñas. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
8. En un país, las matrículas de autos tienen 4 dígitos (del 1 al 9, sin repetir) seguidos de 3 letras (sin repetir). ¿Cuántas matrículas se pueden formar?

Soluciones

1. \( 4! = 24 \)
2. \( _{5}P_{3} = 60 \)
3. \( _{7}P_{6} = 5 040 \)
4. \( 5! = 120 \)
5. \( _{10}C_{3} = 120 \)
6. \( _{6}C_{3} = 20 \)
7. \( _{10}C_{3} \times _{12}C_{4} = 59 400 \)
8. \( _{9}P_{4} \times _{26}P_{3} = 47 174 400 \)

Más referencias en estadística elemental y probabilidades.