Problemas de Estadística y Probabilidad con Soluciones

Se presentan problemas de estadística y probabilidad. Las soluciones se encuentran al final de la página.

  1. Dado el conjunto de datos:

    \[4, 10, 7, 7, 6, 9, 3, 8, 9\]

    Encuentra:

    1. la moda
    2. la mediana
    3. la media
    4. la desviación estándar muestral
    5. Si reemplazamos el valor 6 por 24, ¿la desviación estándar aumentará, disminuirá o se mantendrá igual?

  2. Encuentra \(x\) e \(y\) para que el conjunto de datos ordenado tenga una media de 42 y una mediana de 35:

    \[17, 22, 26, 29, 34, x, 42, 67, 70, y\]

  3. Dado el conjunto de datos:

    \[62, 65, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 96, 101\]

    Encuentra:

    1. la mediana
    2. el primer cuartil
    3. el tercer cuartil
    4. el rango intercuartil (IQR)

  4. Las calificaciones de 7 estudiantes son:

    \[70, 66, 72, 96, 46, 90, 50\]

    Encuentra:

    1. la media
    2. la desviación estándar muestral

  5. Veinticuatro personas se hicieron un análisis de sangre con los siguientes resultados:

    \[A, B, B, AB, AB, B, O, O, AB, O, B, A\]

    \[AB, A, O, O, AB, B, O, A, AB, O, B, A\]

    1. Construye una tabla de frecuencias para los datos
    2. Si se selecciona una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que su grupo sanguíneo no sea O?

  6. Al lanzar un dado y una moneda, encuentra la probabilidad de obtener:

    1. Cruz y un número par
    2. Un número mayor que 3
    3. Cara o un número impar

  7. Una caja contiene bolas rojas y verdes. El número de bolas verdes es \(\frac{1}{3}\) del número de bolas rojas. Si se toma una bola al azar de la caja, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja?

  8. La distribución de probabilidad de una variable aleatoria \(X\) es:

    \(x\)\(P(X = x)\)
    00.24
    10.38
    20.20
    30.13
    40.05

    Encuentra la media \(\mu\) y la desviación estándar \(\sigma\) de \(X\).

  9. Se va a formar un comité de 6 personas a partir de 20 personas, con el doble de mujeres que de hombres. ¿De cuántas maneras puede formarse si hay 12 hombres?

  10. Calcula la media \(\mu\) de los datos discretos:

    \(x\)123456
    \(f\)2610622

  11. Las calificaciones de un estudiante en cinco pruebas son \(36\%\), \(78\%\), \(67\%\), \(88\%\) y \(98\%\). Los pesos respectivos son 1, 2, 2, 3, 3. Encuentra la media ponderada \(\mu\).

  12. En un grupo de 40 personas, 10 están sanas y las 30 restantes tienen presión arterial alta, colesterol alto o ambos. Si 15 tienen presión arterial alta y 25 tienen colesterol alto:

    1. ¿Cuántas personas tienen ambas condiciones?
    2. Si se selecciona una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que:
      1. Tenga presión arterial alta (evento \(A\))?
      2. Tenga colesterol alto (evento \(B\))?
      3. Tenga ambas condiciones (evento \(A \cap B\))?
      4. Tenga al menos una de las condiciones (evento \(A \cup B\))?
    3. Verifica: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)

  13. Se forma un comité de 5 personas al azar a partir de 10 mujeres y 6 hombres. Encuentra la probabilidad de que el comité tenga:

    1. 3 mujeres y 2 hombres
    2. 4 mujeres y 1 hombre
    3. 5 mujeres
    4. Al menos 3 mujeres

  14. En una escuela, el \(60\%\) de los alumnos tienen acceso a internet en casa. Se elige al azar un grupo de 8 estudiantes. Encuentra la probabilidad de que:

    1. Exactamente 5 tengan acceso
    2. Al menos 6 tengan acceso

  15. Las calificaciones de 1000 estudiantes se distribuyen normalmente con media \(\mu = 70\) y desviación estándar \(\sigma = 10\). Se selecciona un estudiante al azar. Encuentra:

    1. \(P(\text{calificación} > 80)\)
    2. \(P(\text{calificación} < 50)\)
    3. \(P(50 < \text{calificación} < 80)\)
    4. Aproximadamente, ¿cuántos estudiantes tienen calificación > 80?

  16. En un país, se reciclaron 500 millones de toneladas de basura. El gráfico muestra la distribución (en millones de toneladas).

    reciclaje de productos en millones de toneladas
    1. ¿Cuántas toneladas de hierro/acero se reciclaron?
    2. ¿Qué porcentaje de la basura reciclada fue vidrio?

Soluciones

    1. Moda: 7 y 9 (bimodal)
    2. Datos ordenados: \(3, 4, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 10\) → Mediana = 7
    3. Media: \(\bar{x} = \frac{3+4+6+7+7+8+9+9+10}{9} = 7\)
    4. Desviación estándar muestral: \[ s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}} = \sqrt{\frac{44}{8}} \approx 2.35 \]
    5. La desviación estándar aumentará porque 24 está más alejado de la media que 6.
  2. \(x = 36\), \(y = 77\)
    1. Mediana = 75
    2. Primer cuartil \(Q_1 = 69\)
    3. Tercer cuartil \(Q_3 = 81\)
    4. Rango intercuartil IQR = \(Q_3 - Q_1 = 12\)
    1. Media = 70
    2. Desviación estándar muestral \(s \approx 18.6\)
    1. Grupo SanguíneoFrecuencia
      A5
      B6
      AB6
      O7
    2. \(P(\text{no O}) = 1 - \frac{7}{24} = \frac{17}{24} \approx 0.71\)
  6. El espacio muestral tiene \(6 \times 2 = 12\) resultados igualmente probables.
    1. \(P(\text{Cruz y par}) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\)
    2. \(P(\text{número} > 3) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\)
    3. \(P(\text{Cara o impar}) = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}\)
  7. Sea \(R\) = número de bolas rojas, \(G = \frac{1}{3}R\). Total de bolas = \(R + \frac{1}{3}R = \frac{4}{3}R\). \(P(\text{roja}) = \frac{R}{\frac{4}{3}R} = \frac{3}{4}\)
  8. \[ \mu = \sum x \cdot P(X=x) = 0(0.24) + 1(0.38) + 2(0.20) + 3(0.13) + 4(0.05) = 1.37 \] \[ \sigma = \sqrt{\sum (x - \mu)^2 P(X=x)} \approx 1.13 \]
  9. Comité: 4 mujeres, 2 hombres. Número de formas: \(\binom{8}{4} \times \binom{12}{2} = 70 \times 66 = 4620\)
  10. \[ \mu = \frac{\sum x_i f_i}{\sum f_i} = \frac{1(2)+2(6)+3(10)+4(6)+5(2)+6(2)}{28} \approx 3.21 \]
  11. \[ \text{Media ponderada} = \frac{36(1)+78(2)+67(2)+88(3)+98(3)}{1+2+2+3+3} = \frac{884}{11} = 80\% \]
    1. Sea \(x\) = número con ambas condiciones. Entonces \((15-x)+(25-x)+x=30\) → \(x=10\)
      1. \(P(A) = \frac{15}{40} = 0.375\)
      2. \(P(B) = \frac{25}{40} = 0.625\)
      3. \(P(A \cap B) = \frac{10}{40} = 0.25\)
      4. \(P(A \cup B) = \frac{30}{40} = 0.75\)
    3. \(P(A)+P(B)-P(A \cap B) = 0.375+0.625-0.25 = 0.75 = P(A \cup B)\)
  13. Total de formas: \(\binom{16}{5}\)
    1. \(P(3M,2H) = \frac{\binom{10}{3}\binom{6}{2}}{\binom{16}{5}} \approx 0.4121\)
    2. \(P(4M,1H) = \frac{\binom{10}{4}\binom{6}{1}}{\binom{16}{5}} \approx 0.2885\)
    3. \(P(5M) = \frac{\binom{10}{5}\binom{6}{0}}{\binom{16}{5}} \approx 0.0577\)
    4. \(P(\text{al menos }3M) = 0.4121+0.2885+0.0577 \approx 0.7582\)
  14. Distribución binomial con \(n=8\), \(p=0.6\)
    1. \(P(X=5) = \binom{8}{5}(0.6)^5(0.4)^3 \approx 0.2787\)
    2. \(P(X \geq 6) = P(X=6)+P(X=7)+P(X=8) \approx 0.3154\)
    1. \(z = \frac{80-70}{10} = 1\), \(P(Z > 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587\)
    2. \(z = \frac{50-70}{10} = -2\), \(P(Z < -2) = 0.0228\)
    3. \(P(50 < X < 80) = 0.8413 - 0.0228 = 0.8185\)
    4. Aproximadamente \(0.1587 \times 1000 \approx 159\) estudiantes
    1. Hierro/Acero = \(500 - (170+90+60+50) = 130\) millones de toneladas
    2. Porcentaje de vidrio = \(\frac{60}{500} \times 100\% = 12\%\)

Más Referencias y Enlaces

Estadística Elemental y Probabilidades
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