Ecuación de una Recta que Pasa por un Punto y es Paralela a un Vector en 3D

Una recta en el espacio tridimensional está determinada de forma única por un punto \(P(x_0, y_0, z_0)\) y un vector director \(\vec{v} = \langle a, b, c \rangle\). A continuación se presentan las tres formas equivalentes de su ecuación: Forma vectorial, Forma paramétrica y Forma simétrica. Usa la calculadora interactiva para generar ejemplos aleatorios, o ingresa tu propio punto y vector, y luego observa la solución paso a paso.

Forma vectorial: \( \mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + t \mathbf{v} \)   →   \( \langle x,y,z \rangle = \langle x_0, y_0, z_0 \rangle + t \langle a,b,c \rangle,\; t\in\mathbb{R} \)

Forma paramétrica: \( x = x_0 + a t,\; y = y_0 + b t,\; z = z_0 + c t,\; t\in\mathbb{R} \)

Forma simétrica (si \(a,b,c \neq 0\)): \( \dfrac{x - x_0}{a} = \dfrac{y - y_0}{b} = \dfrac{z - z_0}{c} \). Si algún componente del director es cero, la forma simétrica se ajusta (ej. \(x = x_0\) constante).

Solucionador de Ecuación de la Recta en 3D

Punto \( P(x_p, y_p, z_p) \) + Dirección \( \vec{v} = \langle v_x, v_y, v_z \rangle \) → Formas vectorial, paramétrica y simétrica
Coordenadas del Punto (por donde pasa la recta)
Vector Director \( \vec{v} \) (paralelo a la recta)
* El vector director debe tener al menos un componente no nulo.
✨ Solución Paso a Paso ✨
PASO 1: Forma Vectorial
La ecuación vectorial de una recta se obtiene a partir del vector de posición \( \vec{r}_0 \) del punto dado y del vector director \( \vec{v} \). Al variar el parámetro \( t \), el punto \( \vec{r}(t) = \vec{r}_0 + t\vec{v} \) recorre toda la recta.
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PASO 2: Forma Paramétrica
Igualando las componentes de la ecuación vectorial, obtenemos tres ecuaciones escalares. Cada coordenada se expresa linealmente en términos del parámetro \( t \). Esta forma es útil para graficar puntos.
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PASO 3: Forma Simétrica
Eliminamos el parámetro \( t \) de las ecuaciones paramétricas. Despejamos \( t \) de cada componente no nula y los igualamos. Si un componente del director es cero, la coordenada correspondiente permanece constante (ej. \( x = x_0 \)).
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Recta 3D que pasa por el punto P y es paralela al vector v

Recta que pasa por el punto \(P\) y es paralela a \(\vec{v}\)

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