Ecuación de un Plano por un Punto y Perpendicular a un Vector

Un plano en el espacio 3D está determinado únicamente por un punto \( P(x_0, y_0, z_0) \) y un vector normal \( \vec{n} = \langle a, b, c \rangle \) perpendicular al plano.

Para cualquier punto \( M(x,y,z) \) en el plano, el vector \( \overrightarrow{PM} = \langle x-x_0, y-y_0, z-z_0 \rangle \) satisface la condición de ortogonalidad:

\( \vec{n} \cdot \overrightarrow{PM} = a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0 \)

Esto se expande a la ecuación cartesiana \( ax + by + cz = d \), donde \( d = a x_0 + b y_0 + c z_0 \).

Solucionador de Ecuaciones del Plano

Ingrese las coordenadas del punto y los componentes del vector normal

Punto \( P(x_0, y_0, z_0) \)

Vector Normal \( \vec{n} = \langle n_x, n_y, n_z \rangle \)

⚠️ El vector normal no puede ser cero

Ecuación del Plano (Forma Cartesiana)

\( 3x - y + 2z = 19 \)

Solución Paso a Paso

PASO 1: Componentes del vector \( \overrightarrow{PM} \)

\( \overrightarrow{PM} = \langle x - 2,\; y + 3,\; z - 5 \rangle \)

PASO 2: Condición de ortogonalidad \( \vec{n} \cdot \overrightarrow{PM} = 0 \)

\( \langle 3,-1,2 \rangle \cdot \langle x-2,\; y+3,\; z-5 \rangle = 0 \)

PASO 3: Expandir y simplificar → \( ax + by + cz = d \)

\( 3(x-2) -1(y+3) + 2(z-5) = 0 \) → \( 3x - y + 2z = 19 \)

Interpretación Geométrica

El vector normal \( \vec{n} \) es perpendicular a todo vector director que se encuentre en el plano. La condición del producto punto asegura que todos los puntos \( M \) satisfacen la ortogonalidad.