Ecuación de un Plano por Tres Puntos | Calculadora 3D Paso a Paso

Un plano en el espacio 3D está determinado de forma única por tres puntos no colineales \( P(x_1,y_1,z_1) \), \( Q(x_2,y_2,z_2) \) y \( R(x_3,y_3,z_3) \).

El vector normal \( \vec{n} \) al plano viene dado por el producto cruz \( \vec{n} = \overrightarrow{PR} \times \overrightarrow{PQ} \). Para cualquier punto \( M(x,y,z) \) en el plano, la condición del producto punto \( \vec{n} \cdot \overrightarrow{PM} = 0 \) produce la ecuación cartesiana \( ax + by + cz = d \).

\( \vec{n} = \langle a, b, c \rangle = \overrightarrow{PR} \times \overrightarrow{PQ} \), \( d = a x_1 + b y_1 + c z_1 \)

✨ La ecuación final se simplifica dividiendo todos los coeficientes (a, b, c, d) por su máximo común divisor (MCD) para obtener la forma entera más simple.

✧ Solucionador de Plano con Tres Puntos ✧

Ingrese las coordenadas de los puntos P, Q y R

📍 Punto \( P(x_1, y_1, z_1) \)

📍 Punto \( Q(x_2, y_2, z_2) \)

📍 Punto \( R(x_3, y_3, z_3) \)

📐 Ecuación del Plano (Forma Cartesiana - Simplificada)

\( -10x - 8y + 17z = 89 \)

📖 Solución Paso a Paso

PASO 1: Encontrar los vectores PR y PQ, luego calcular el vector normal \( \vec{n} = \overrightarrow{PR} \times \overrightarrow{PQ} \)

PASO 2: Escribir las componentes del vector \( \overrightarrow{PM} \)

PASO 3: Condición de ortogonalidad \( \vec{n} \cdot \overrightarrow{PM} = 0 \)

PASO 4: Expandir, simplificar y dividir por el MCD para obtener la forma más simple \( ax + by + cz = d \)

💡 Interpretación Geométrica

El producto cruz \( \overrightarrow{PR} \times \overrightarrow{PQ} \) produce un vector ortogonal tanto a PR como a PQ, por lo tanto perpendicular al plano que contiene a P, Q, R. La condición del producto punto asegura que cada punto M en el plano satisfaga la ortogonalidad con este vector normal.