Encontrar la Inversa de una Función Cúbica

Una función cúbica de la forma \( f(x) = a(px + q)^3 + r \) tiene una inversa que se puede encontrar resolviendo para \( x \) en términos de \( y \).

La función inversa está dada por:

\( f^{-1}(x) = \frac{1}{p} \left( \sqrt[3]{\frac{x - r}{a}} - q \right) \)

Todos los coeficientes se mantienen como fracciones exactas y las raíces cúbicas se simplifican cuando es posible.

✧ Inversa de una Función Cúbica ✧

Ingrese los coeficientes para f(x) = a(px + q)³ + r

Función: \( f(x) = a(px + q)^3 + r \)

\( f(x) = \) \( 2(x - 2)^3 + 3 \)

⚠️ Si p = 0, se establecerá en 1. Fracciones exactas y raíces cúbicas simplificadas.
📐 Función Inversa \( f^{-1}(x) \)
\( f^{-1}(x) = \sqrt[3]{\frac{x - 3}{2}} + 2 \)

📖 Solución Paso a Paso

PASO 1: Escribir la función como una ecuación reemplazando \( f(x) \) por \( y \)
\( y = 2(x - 2)^3 + 3 \)
PASO 2: Resolver para \( x \) en términos de \( y \)

\( y = 2(x - 2)^3 + 3 \)

\( y - 3 = 2(x - 2)^3 \)

\( \frac{y - 3}{2} = (x - 2)^3 \)

\( \sqrt[3]{\frac{y - 3}{2}} = x - 2 \)

\( x = \sqrt[3]{\frac{y - 3}{2}} + 2 \)

PASO 3: Intercambiar \( x \) y \( y \) para obtener la inversa
\( y = \sqrt[3]{\frac{x - 3}{2}} + 2 \)
PASO 4: Escribir la notación de la función inversa
\( f^{-1}(x) = \sqrt[3]{\frac{x - 3}{2}} + 2 \)
💡 Interpretación
La función inversa revierte el efecto de la función original. El dominio de \( f \) se convierte en el rango de \( f^{-1} \), y viceversa. Las funciones cúbicas son uno a uno, por lo que sus inversas también son funciones.
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