Valores Exactos de Funciones Trigonométricas – Preguntas Con Respuestas

Encuentra valores exactos de funciones trigonométricas sin usar calculadora. Se presentan preguntas con soluciones completas y respuestas. Las identidades y fórmulas trigonométricas en este sitio pueden usarse para resolver las preguntas a continuación.

Supongamos que queremos encontrar el valor exacto de \( f(x) \), donde \( f \) es cualquiera de las seis funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Para encontrar el valor exacto de \( f(x) \), sugerimos los siguientes pasos:

1. Si el ángulo \( x \) es negativo, primero usamos una identidad para ángulos negativos como \[ \sin(-x) = -\sin(x), \qquad \cos(-x) = \cos(x) \] e identidades similares para las otras funciones trigonométricas.
2. A continuación, localizamos el lado terminal del ángulo en cuestión, ya sea directamente o usando un ángulo coterminal positivo, lo que nos permite determinar el signo de la función trigonométrica.
3. Luego encontramos el ángulo de referencia \( T_r \) correspondiente al ángulo en cuestión y usamos el hecho de que \[ f(x) = \pm f(T_r) \] donde el signo \( + \) o \( - \) está determinado por el cuadrante encontrado en el paso anterior. Si el ángulo (o su ángulo coterminal) se encuentra en el Cuadrante I, este paso no es necesario.

Pregunta 1

Encuentra el valor exacto de \[ \sin\!\left(-\frac{\pi}{3}\right). \]

Solución a la Pregunta 1:

• Usa la identidad para ángulos negativos para escribir \[ \sin\!\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right). \]
• El ángulo \( \frac{\pi}{3} \) se encuentra en el Cuadrante I, por lo que no es necesario usar un ángulo coterminal o un ángulo de referencia. El valor se evalúa directamente: \[ \sin\!\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}. \]

Pregunta 2

Encuentra el valor exacto de \[ \cos(-390^\circ). \]

Solución a la Pregunta 2:

• Usamos la identidad \( \cos(-x) = \cos(x) \) para escribir \[ \cos(-390^\circ) = \cos(390^\circ). \]
• Dado que \( 390^\circ \) es mayor que \( 360^\circ \), encontramos un ángulo coterminal positivo \( t \), menor que \( 360^\circ \), de la siguiente manera: \[ t = 390^\circ - 360^\circ = 30^\circ. \]
• Debido a que \( 390^\circ \) y \( 30^\circ \) son ángulos coterminales, podemos escribir \[ \cos(390^\circ) = \cos(30^\circ). \]
• Finalmente, \[ \cos(-390^\circ) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}. \] No es necesario usar un ángulo de referencia ya que \( 30^\circ \) se encuentra en el Cuadrante I.

Pregunta 3

Encuentra el valor exacto de \[ \sec\!\left(\frac{3\pi}{4}\right). \]

Solución a la Pregunta 3:

• El ángulo \( \frac{3\pi}{4} \) tiene su lado terminal en el Cuadrante II. En el Cuadrante II, la función secante es negativa. Por lo tanto, \[ \sec\!\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\sec(T_r). \]
• El ángulo de referencia \( T_r \) correspondiente a \( \frac{3\pi}{4} \) es \[ T_r = \pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{4}. \]
• Por lo tanto, \[ \sec\!\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\sec\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}. \]

Pregunta 4

Encuentra el valor exacto de \[ \cot(840^\circ). \]

Solución a la Pregunta 4:

• El ángulo \( 840^\circ \) es positivo y mayor que \( 360^\circ \), por lo que primero encontramos un ángulo coterminal: \[ t = 840^\circ - 2(360^\circ) = 120^\circ. \]
• Por lo tanto, podemos escribir \[ \cot(840^\circ) = \cot(120^\circ). \]
• El ángulo \( 120^\circ \) se encuentra en el Cuadrante II, donde la función cotangente es negativa. Por lo tanto, \[ \cot(120^\circ) = -\cot(T_r). \]
• El ángulo de referencia correspondiente a \( 120^\circ \) es \[ T_r = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ. \]
• Finalmente, \[ \cot(840^\circ) = -\cot(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}. \]

Pregunta 5

Encuentra el valor exacto de \[ \csc\!\left(-\frac{7\pi}{4}\right). \]

Solución a la Pregunta 5:

• Usando la identidad de ángulo negativo, tenemos \[ \csc\!\left(-\frac{7\pi}{4}\right) = -\csc\!\left(\frac{7\pi}{4}\right). \]
• El lado terminal de \( \frac{7\pi}{4} \) se encuentra en el Cuadrante IV, donde la función cosecante es negativa. El ángulo de referencia es \[ T_r = 2\pi - \frac{7\pi}{4} = \frac{\pi}{4}. \]
• Por lo tanto, \[ \csc\!\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -\csc\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}. \]
• Sustituyendo esto en la identidad de ángulo negativo se obtiene \[ \csc\!\left(-\frac{7\pi}{4}\right) = \sqrt{2}. \]

Pregunta 6

Encuentra el valor exacto de \[ \cot\!\left(\frac{121\pi}{3}\right). \]

Solución a la Pregunta 6:

• Primero nota que \[ \frac{121\pi}{3} = \frac{120\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 40\pi + \frac{\pi}{3}. \]
• Se obtiene un ángulo coterminal positivo restando múltiplos de \( 2\pi \): \[ \frac{121\pi}{3} - 20(2\pi) = \frac{\pi}{3}. \]
• El ángulo coterminal \( \frac{\pi}{3} \) se encuentra en el Cuadrante I, por lo que no se requiere un ángulo de referencia: \[ \cot\!\left(\frac{121\pi}{3}\right) = \cot\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}. \]

Pregunta 7

Encuentra el valor exacto de \[ \sec(-3810^\circ). \]

Solución a la Pregunta 7:

• Usando la identidad de ángulo negativo: \[ \sec(-3810^\circ) = \sec(3810^\circ). \]
• Nota que \[ 3810^\circ = 3600^\circ + 210^\circ. \]
• Por lo tanto, un ángulo coterminal es \[ t = 3810^\circ - 10(360^\circ) = 210^\circ. \]
• El ángulo \( 210^\circ \) se encuentra en el Cuadrante III, donde la función secante es negativa. Por lo tanto, \[ \sec(3810^\circ) = -\sec(T_r). \]
• El ángulo de referencia es \[ T_r = 210^\circ - 180^\circ = 30^\circ. \]
• Por lo tanto, \[ \sec(-3810^\circ) = -\sec(30^\circ) = -\frac{2}{\sqrt{3}}. \]

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