Simplificar Expresiones Trigonométricas - Preguntas Con Respuestas
Utiliza identidades y fórmulas trigonométricas para simplificar expresiones trigonométricas. Las identidades y fórmulas trigonométricas en este sitio pueden ser útiles para resolver las preguntas a continuación.
Pregunta 1:
Simplifica la siguiente expresión trigonométrica:
\(\csc(x) \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)\)
Solución a la Pregunta 1:
- Usa la identidad \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos(x)\) y simplifica:
\[
\csc(x) \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \csc(x) \cos(x) = \cot(x)
\]
Pregunta 2:
Simplifica:
\[
\dfrac{\sin^4 x - \cos^4 x}{\sin^2 x - \cos^2 x}
\]
Solución a la Pregunta 2:
- Factoriza el numerador:
\[
\dfrac{(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x - \cos^2 x}
\]
- Simplifica usando \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\):
\[
\dfrac{(\sin^2 x + \cos^2 x)}{1} = 1
\]
Pregunta 3:
Simplifica:
\[
\dfrac{\sec(x) \sin^2 x}{1 + \sec(x)}
\]
Solución a la Pregunta 3:
- Sustituye \(\sec(x) = \dfrac{1}{\cos(x)}\):
\[
\dfrac{\sin^2 x}{\cos x (1 + \sec(x))} = \dfrac{\sin^2 x}{\cos x + 1}
\]
- Usa \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\), factoriza y simplifica:
\[
\dfrac{1 - \cos^2 x}{\cos x + 1} = \dfrac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{\cos x + 1} = 1 - \cos x
\]
Pregunta 4:
Simplifica:
\[ \sin(-x) \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) \]
Solución a la Pregunta 4:
- Usa \(\sin(-x) = -\sin x\) y \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x\):
\[
\sin(-x) \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = -\sin x \cdot \sin x = -\sin^2 x
\]
Pregunta 5:
Simplifica:
\(\sin^2 x - \cos^2 x \sin^2 x\)
Solución a la Pregunta 5:
- Factoriza \(\sin^2 x\):
\[
\sin^2 x - \cos^2 x \sin^2 x = \sin^2 x (1 - \cos^2 x) = \sin^4 x
\]
Pregunta 6:
Simplifica:
\(\tan^4 x + 2 \tan^2 x + 1\)
Solución a la Pregunta 6:
- Escribe como un cuadrado:
\[
\tan^4 x + 2 \tan^2 x + 1 = (\tan^2 x + 1)^2
\]
- Usa \(\tan^2 x + 1 = \sec^2 x\):
\[
(\sec^2 x)^2 = \sec^4 x
\]
Pregunta 7:
Suma y simplifica:
\(\dfrac{1}{1 + \cos x} + \dfrac{1}{1 - \cos x}\)
Solución a la Pregunta 7:
- Usa un denominador común:
\[
\dfrac{1}{1 + \cos x} + \dfrac{1}{1 - \cos x} = \dfrac{1 - \cos x + 1 + \cos x}{(1 + \cos x)(1 - \cos x)} \]
Simplifica el numerador y expande el denominador y simplifícalo.
\[ = \dfrac{2}{1 - \cos^2 x} = \dfrac{2}{\sin^2 x} = 2 \csc^2 x
\]
Pregunta 8:
Simplifica \(\sqrt{4 - 4 \sin^2 x}\) para \(\dfrac{\pi}{2} < x < \pi\)
Solución a la Pregunta 8:
- Factoriza y usa \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\):
\[
\sqrt{4 - 4 \sin^2 x} = \sqrt{4 (1 - \sin^2 x)} = 2 \sqrt{\cos^2 x} = 2 |\cos x|
\]
- Dado que \(\dfrac{\pi}{2} < x < \pi\), \(\cos x < 0\), entonces
\[
\sqrt{4 - 4 \sin^2 x} = -2 \cos x
\]
Pregunta 9:
Simplifica:
\(\dfrac{1 - \sin^4 x}{1 + \sin^2 x}\)
Solución a la Pregunta 9:
- Factoriza el numerador:
\[
\dfrac{1 - \sin^4 x}{1 + \sin^2 x} = \dfrac{(1 - \sin^2 x)(1 + \sin^2 x)}{1 + \sin^2 x} \] y simplifica \[ = 1 - \sin^2 x = \cos^2 x
\]
Pregunta 10:
Suma y simplifica:
\( \dfrac{1}{1 + \sin x} + \dfrac{1}{1 - \sin x} \)
Solución a la Pregunta 10:
- Usa un denominador común:
\[
\dfrac{1}{1 + \sin x} + \dfrac{1}{1 - \sin x} = \dfrac{1 - \sin x + 1 + \sin x}{(1 + \sin x)(1 - \sin x)} \] y simplifica \[ = \dfrac{2}{1 - \sin^2 x} = \dfrac{2}{\cos^2 x} = 2 \sec^2 x
\]
Pregunta 11:
Simplifica:
\(\cos x - \cos x \sin^2 x\)
Solución a la Pregunta 11:
- Factoriza \(\cos x\):
\[
\cos x - \cos x \sin^2 x = \cos x (1 - \sin^2 x) = \cos^3 x
\]
Pregunta 12:
Simplifica:
\(\tan^2 x \cos^2 x + \cot^2 x \sin^2 x\)
Solución a la Pregunta 12:
- Usa \(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\) y \(\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}\):
\[
\tan^2 x \cos^2 x + \cot^2 x \sin^2 x = \left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)^2 \cos^2 x + \left(\dfrac{\cos x}{\sin x}\right)^2 \sin^2 x
\]
- Simplifica:
\[
\sin^2 x + \cos^2 x = 1
\]
Pregunta 13:
Simplifica:
\(\sec\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) - \tan\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)\)
Solución a la Pregunta 13:
- Usa las identidades \(\sec\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \csc x\), \(\tan\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cot x\), y \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x\):
\[
\sec\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) - \tan\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \csc x - \cot x \cos x
\]
\[
= \dfrac{1}{\sin x} - \dfrac{\cos^2 x}{\sin x} = \dfrac{1 - \cos^2 x}{\sin x} = \dfrac{\sin^2 x}{\sin x} = \sin x
\]
Más preguntas de trigonometría con soluciones y respuestas en este sitio.