Funciones Seno: Máximo y Mínimo – Problemas

Este tutorial explica la relación entre la amplitud, el desplazamiento vertical y los valores máximo y mínimo de la función seno.

Problema 1

La función \( F \) es una función seno definida por

\[ F(x) = a\sin(bx + c) + d, \]

con \( a > 0 \).

  1. Demuestra que el valor máximo \( F_{\max} \) y el valor mínimo \( F_{\min} \) de \( F(x) \) son \[ F_{\max} = d + a, \qquad F_{\min} = d - a. \]
  2. Demuestra que \[ d = \frac{F_{\max} + F_{\min}}{2}. \]
  3. Demuestra que \[ a = \frac{F_{\max} - F_{\min}}{2}. \]

Solución al Problema 1

  1. Comenzamos usando el hecho de que \[ -1 \le \sin(bx + c) \le 1. \]
  2. Multiplicamos todos los términos de la desigualdad doble anterior por \( a \): \[ -a \le a\sin(bx + c) \le a. \]
  3. Sumamos \( d \) a todos los términos de la desigualdad: \[ d - a \le a\sin(bx + c) + d \le d + a. \]
  4. Dado que \( a\sin(bx + c) + d = F(x) \), obtenemos \[ d - a \le F(x) \le d + a. \]
  5. Por lo tanto, los valores mínimo y máximo de \( F(x) \) son \[ F_{\min} = d - a, \qquad F_{\max} = d + a. \]
  6. Sumamos las ecuaciones \( F_{\max} = d + a \) y \( F_{\min} = d - a \): \[ F_{\max} + F_{\min} = 2d. \]
  7. Dividimos ambos lados entre 2 para obtener \[ d = \frac{F_{\max} + F_{\min}}{2}. \]
  8. Sumamos las ecuaciones \( F_{\max} = d + a \) y \( -F_{\min} = -d + a \): \[ F_{\max} - F_{\min} = 2a. \]
  9. Dividimos ambos lados entre 2 para obtener \[ a = \frac{F_{\max} - F_{\min}}{2}. \]

Problema 2

La gráfica de la función seno \( F \) definida por

\[ F(x) = a\sin(x) + d, \]

con \( a > 0 \), se muestra a continuación.

Usa la gráfica y los resultados del Problema 1 para encontrar \( a \) y \( d \).

Gráfica de una función seno que muestra los valores máximo y mínimo

Solución al Problema 2

  1. De la gráfica, el valor máximo es \( F_{\max} = 6 \) y el valor mínimo es \( F_{\min} = -2 \).
  2. Usando las fórmulas del Problema 1: \[ d = \frac{F_{\max} + F_{\min}}{2} = \frac{6 + (-2)}{2} = 2, \] y \[ a = \frac{F_{\max} - F_{\min}}{2} = \frac{6 - (-2)}{2} = 4. \]

Problema 3

Encuentra \( a \), \( b \) y \( c \) incluidos en la definición de la función seno \( f \) dada por

\[ f(x) = a \sin(bx + c) \]

tal que el valor máximo de \( f(x) \) sea 6, \( f(0) = 6 \), y el período de la gráfica de la función \( f \) sea igual a \( \pi \). Las constantes \( a \), \( b \) y \( c \) son positivas y \( c < 2\pi \).

Solución al Problema 3

  1. El valor máximo de 6 nos da la amplitud

    \[ |a| = 6 \]
  2. Resuelve la ecuación anterior para \( a \) y selecciona el valor positivo.

    \[ a = 6 \]
  3. El período se puede usar para encontrar \( b \) usando

    \[ \text{Período} = \frac{2\pi}{|b|} = \pi \]
  4. Resuelve para \( |b| \)

    \[ |b| = 2 \]
  5. Resuelve para \( b \) y selecciona el valor positivo

    \[ b = 2 \]
  6. Sustituye 6 por \( a \) en la fórmula de la función y usa \( f(0) = 6 \) para escribir una ecuación en \( c \).

    \[ 6 = 6 \sin(2 \cdot 0 + c) \]
  7. Lo que da

    \[ \sin(c) = 1 \]
  8. Resuelve para \( c \)

    \[ c = \frac{\pi}{2} + k(2\pi), \quad \text{donde } k \text{ es un entero} \]
    Hay un número infinito de soluciones para \( c \).
  9. Selecciona \( k = 0 \) ya que es el único valor que da \( 0 < c < 2\pi \), lo que da

    \[ c = \frac{\pi}{2} \]
  10. La función \( f \) está dada por

    \[ f(x) = 6 \sin\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) \]
  11. Para verificar, se muestra a continuación parte de la gráfica de \( f \). Comprueba el período, verifica que \( f(0) = 6 \) y confirma que el valor máximo de \( f(x) \) es 6.

    Gráfica que muestra la función seno con amplitud 6 y período pi

Más Referencias y Enlaces

Problemas de Trigonometría

Emparejar Funciones Seno con sus Gráficas