Problemas de Trigonometría de Ángulo Doble con Soluciones

Esta página explica cómo encontrar los valores exactos y aproximados de funciones trigonométricas que involucran ángulos dobles utilizando las fórmulas de ángulo doble. Se incluyen ejemplos completamente resueltos y ejercicios con soluciones.

Repaso de las Fórmulas de Ángulo Doble

Las identidades de ángulo doble son:

Ejemplos con Soluciones Paso a Paso

Ejemplo 1

Dado \(\sin\theta = 0.4\) y \(\theta\) está en el Cuadrante II, encuentre los valores exactos y aproximados de:

  1. \(\sin(2\theta)\)
  2. \(\cos(2\theta)\)

Solución

a) Usando \(\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta\), primero debemos encontrar \(\cos\theta\).

De la identidad \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\),

\[ \cos\theta = \pm\sqrt{1 - \sin^2\theta} \]

Como \(\theta\) está en el Cuadrante II, \(\cos\theta\) es negativo:

\[ \cos\theta = -\sqrt{1 - 0.4^2} = -\sqrt{0.84} \]

Sustituya:

\[ \sin(2\theta) = 2(0.4)(-\sqrt{0.84}) = -0.16\sqrt{21} \approx -0.7332 \]

b) Usando \(\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta\):

\[ \cos(2\theta) = 1 - 2(0.4)^2 = 0.68 \]

Ejemplo 2

Dado \(\tan\theta = 5\) y \(\theta\) está en el Cuadrante III, encuentre \(\sin(2\theta)\).

Solución

Interprete \(\tan\theta = \dfrac{5}{1}\) como un triángulo rectángulo con:

La hipotenusa es:

\[ \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{26} \]

En el Cuadrante III, tanto el seno como el coseno son negativos:

\[ \sin\theta = -\frac{5}{\sqrt{26}}, \quad \cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{26}} \]

Ahora aplique la fórmula de ángulo doble:

\[ \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta = 2\left(-\frac{5}{\sqrt{26}}\right)\left(-\frac{1}{\sqrt{26}}\right) = \frac{5}{13} \approx 0.3846 \]

Ejemplo 3

Dado \(\cos\theta = 0.8\) y \(\theta\) está en el Cuadrante IV, encuentre:

  1. \(\sec(2\theta)\)
  2. \(\csc(2\theta)\)
  3. \(\cot(2\theta)\)

Solución

a)

\[ \sec(2\theta) = \frac{1}{\cos(2\theta)} =\frac{1}{2\cos^2\theta - 1} = \frac{1}{2(0.8)^2 - 1} = \frac{1}{0.28} \approx 3.5714 \]

b)

Primero encuentre \(\sin\theta\):

\[ \sin\theta = -\sqrt{1 - 0.8^2} = -0.6 \] \[ \csc(2\theta) = \frac{1}{\sin(2\theta)} = \frac{1}{2\sin\theta\cos\theta} = \frac{1}{2(0.8)(-0.6)} \approx -1.0417 \]

c)

\[ \cot(2\theta) = \frac{\cos(2\theta)}{\sin(2\theta)} = \frac{\csc(2\theta)}{\sec(2\theta)} = -\frac{7}{24} \approx -0.2917 \]

Ejercicios

  1. Dado \(\cos\theta = -0.2\) en el Cuadrante II, encuentre \(\tan(2\theta)\).
  2. Dado \(\cot\theta = 4\) en el Cuadrante III, encuentre \(\sin(2\theta)\).
  3. Dado \(\sec\theta = -4\) en el Cuadrante III, encuentre \(\sec(2\theta)\).

Soluciones a los Ejercicios


  1. La fórmula C dada anteriormente se escribe como \[ \qquad \tan(2 \theta) = \dfrac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} \quad (I) \] \[ \sin \theta = \sqrt{1-(-0.2)^2} = \sqrt{ 0.96} \] . \[ \tan \theta = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} = \dfrac{\sqrt{0.96}}{-0.2} = - \sqrt{24} \] Sustituya \( \tan \theta = - \sqrt{24} \) en \( (I) \) \[ \qquad \tan(2 \theta) = \dfrac{2 (- \sqrt{24})}{-23} = \dfrac{4\sqrt{6}}{23} \approx 0.42599 \]

  2. Usemos la definición de \( \cot(\theta) \) en un triángulo rectángulo \[ \qquad \cot(\theta) = \dfrac{\text{Lado Adyacente}}{\text{ Lado Opuesto}} \] Dado que \( \qquad \cot(\theta) = 4 \), podemos escribir \[ \qquad \cot(\theta) = \dfrac{4}{1} = \dfrac{\text{Lado Adyacente}}{\text{Lado Opuesto}}\] y escribir que \[ \text{Lado Adyacente} = 4 \quad \text{y} \quad \text{Lado Opuesto} = 1 \] Calcule la hipotenusa del triángulo rectángulo usando el teorema de Pitágoras \[ \qquad \text{Hipotenusa} = \sqrt { \text{Lado Adyacente }^2 + \text{Lado Opuesto}^2 } = \sqrt{4^2+1^2} = \sqrt{17} \] En el cuadrante \( 3 \), \( \sin (\theta) \) y \( \cos (\theta) \) son negativos y usando la definición de \( \sin (\theta) \) y \( \cos(\theta) \), tenemos \[ \sin (\theta) = - \dfrac{\text{Lado Opuesto}}{\text{Hipotenusa}} = - \dfrac{1}{\sqrt{17}} \] \[ \cos (\theta) = - \dfrac{\text{Lado Adyacente}}{\text{Hipotenusa}} = - \dfrac{4}{\sqrt{17}} \] Sustituya en la fórmula \( \qquad \sin(2 \theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta) \) en A anterior, para obtener \[ \qquad \sin(2 \theta) = 2 (- \dfrac{1}{\sqrt{17}}) (- \dfrac{4}{\sqrt{17}}) = \dfrac{8}{17} \approx 0.47058 \]

  3. Dado \( \sec \theta = -4 \) y \( \sec \theta = \dfrac{1}{\cos \theta}\), tenemos \[ \dfrac{1}{\cos \theta} = - 4\] Resuelva para \( \cos \theta \) \[ \cos \theta = - \dfrac{1}{4}\] Se nos pide calcular \( \sec (2 \theta) \) que viene dado por \[ \sec (2 \theta) = \dfrac{1}{\cos (2 \theta)} \] Use la fórmula B, dada anteriormente, para escribir \[ \sec (2 \theta) = \dfrac{1}{ 2 \cos^2(\theta) - 1 } \] Sustituya \( \cos \theta \) por su valor encontrado arriba, \[ \sec (2 \theta) = \dfrac{1}{ 2 \left(- \dfrac{1}{4} \right)^2 - 1 } = - \dfrac{8}{7} \approx -1.14285 \]

Más Referencias