Identidades Trigonométricas de Ángulo Mitad: Preguntas y Soluciones
Esta página muestra cómo calcular los valores exactos y aproximados de funciones trigonométricas que involucran
ángulos mitad utilizando las
fórmulas de ángulo mitad.
Los ejemplos resueltos van seguidos de
ejercicios prácticos y sus
soluciones completas.
Repaso de las Fórmulas de Ángulo Mitad
Las identidades de ángulo mitad son:
\[
\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}
\]
\[
\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}
\]
\[
\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}
\]
\[
\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}
\qquad
\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}
\]
Notas
- El signo ± depende del cuadrante en el que se encuentre \( \frac{\theta}{2} \).
- Existen tres fórmulas equivalentes para \( \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) \).
Ejemplos con Soluciones
Ejemplo 1
Dado \( \cos\theta=-0.9 \) y \( \theta \) se encuentra en el Cuadrante III:
- Determina el cuadrante de \( \frac{\theta}{2} \) y los signos de
\( \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \) y
\( \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \).
- Encuentra \( \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \).
- Encuentra \( \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \).
Solución
Dado que \( \theta \) está en el Cuadrante III:
\[
\pi<\theta<\frac{3\pi}{2}
\quad\Rightarrow\quad
\frac{\pi}{2}<\frac{\theta}{2}<\frac{3\pi}{4}
\]
Por lo tanto, \( \frac{\theta}{2} \) se encuentra en el Cuadrante II, así que
\( \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)>0 \) y
\( \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)<0 \).
b) Calcula \( \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \)
\[
\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)
=\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}
=\sqrt{\frac{1+0.9}{2}}
=\sqrt{\frac{19}{20}}
\approx0.97467
\]
c) Calcula \( \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \)
\[
\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)
=-\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}
=-\sqrt{\frac{0.1}{2}}
=-\frac{\sqrt{5}}{10}
\approx-0.22360
\]
Ejemplo 2
Dado \( \tan\theta=-4 \) y \( \theta \) se encuentra en el Cuadrante II,
encuentra \( \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) \).
Solución
\[
\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}
\]
Usando un triángulo de referencia con cateto opuesto 4 y cateto adyacente 1:
\[
\sin\theta=\frac{4}{\sqrt{17}},\quad
\cos\theta=-\frac{1}{\sqrt{17}}
\]
\[
\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)
=\frac{4}{\sqrt{17}-1}
\approx1.28077
\]
Ejemplo 3
Dado \( \sin\theta=-0.2 \) y \( \theta \) se encuentra en el Cuadrante IV:
- Determina los signos de
\( \sec\left(\frac{\theta}{2}\right) \),
\( \csc\left(\frac{\theta}{2}\right) \),
y \( \cot\left(\frac{\theta}{2}\right) \).
- Encuentra \( \sec\left(\frac{\theta}{2}\right) \).
- Encuentra \( \csc\left(\frac{\theta}{2}\right) \).
- Encuentra \( \cot\left(\frac{\theta}{2}\right) \).
Solución
\[
\frac{3\pi}{4}<\frac{\theta}{2}<\pi
\]
Así que \( \frac{\theta}{2} \) está en el Cuadrante II.
\[
\cos\theta=\sqrt{1-\sin^2\theta}=\sqrt{0.96}
\]
\[
\sec\left(\frac{\theta}{2}\right)
=-\sqrt{\frac{2}{1+\sqrt{0.96}}}
\approx-1.00508
\]
\[
\csc\left(\frac{\theta}{2}\right)
=\sqrt{\frac{2}{1-\sqrt{0.96}}}
\approx9.94936
\]
\[
\cot\left(\frac{\theta}{2}\right)
=-\sqrt{\frac{1+\sqrt{0.96}}{1-\sqrt{0.96}}}
\approx-9.89897
\]
Ejercicios
- Dado \( \tan\theta=4 \) en el Cuadrante III, encuentra
\( \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \).
- Dado \( \csc\theta=-5 \) en el Cuadrante IV, encuentra
\( \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) \).
Soluciones a los Ejercicios
Soluciones a los Ejercicios Anteriores
-
Usa la fórmula dada en A arriba para escribir
\[ \qquad \sin \left(\dfrac{\theta}{2} \right) = \pm \sqrt {\dfrac{1 - \cos \theta} {2}} \]
Necesitamos encontrar el cuadrante de \( \dfrac{\theta}{2} \) para seleccionar el + o - en la fórmula y también necesitamos determinar \( \cos \theta \).
\( \theta \) está en el cuadrante 3 (dado) puede escribirse usando una desigualdad como
\[ \qquad \pi \lt \theta \lt \dfrac{3 \pi}{2} \]
Divide todos los términos de la desigualdad anterior por \( 2 \) para obtener
\[ \qquad \dfrac{\pi}{2} \lt \dfrac{ \theta}{2} \lt \dfrac{3 \pi}{4} \]
Lo anterior significa que \( \dfrac{ \theta}{2} \) está en el cuadrante 2 y por lo tanto \( \sin \left(\dfrac{\theta}{2} \right) \) es positivo y está dado por
\[ \qquad \sin \left(\dfrac{\theta}{2} \right) = \sqrt {\dfrac{1 - \cos \theta} {2}} \quad (I) \]
Dado que \( \qquad \tan \theta = 4 \), podemos escribir
\[ \qquad \tan(\theta) = 4 = \dfrac{4}{1} = \dfrac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Cateto Adyacente}} \] y escribir que
\[ \text{Cateto Opuesto} = 4 \) y \( \text{Cateto Adyacente} = 1 \]
Calcula la Hipotenusa del triángulo rectángulo usando el teorema de Pitágoras
\[ \qquad \text{Hipotenusa} = \sqrt { \text{Cateto Adyacente}^2 + \text{Cateto Opuesto}^2 } = \sqrt{1^2+4^2} = \sqrt{17} \]
Ahora determinamos \( \cos \theta \)
\[ \qquad |\cos \theta| = \dfrac{\text{Cateto Adyacente}}{\text{Hipotenusa}} = \dfrac{1}{ \sqrt{17} } \]
Dado que \( \theta \) está en el cuadrante 3, \( \cos \theta \) es negativo y por lo tanto
\[ \cos \theta = - \dfrac{1}{ \sqrt{17}} \]
Sustituye el valor de \( \cos \theta \) en \( (I) \) para obtener
\[ \qquad \sin \left(\dfrac{\theta}{2} \right) = \sqrt {\dfrac{1 + \dfrac{1}{ \sqrt{17}}} {2}} \approx 0.78820 \]
-
Dado \( \csc \theta = - 5 \), escribimos
\[ \csc \theta = \dfrac{1}{\sin \theta} = - 5 \] por lo tanto
\[ \sin \theta = - \dfrac{1}{5} \]
Usa la identidad \( \cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta \) para calcular \( \cos \theta \)
\[ \cos \theta = \pm \sqrt {1 - \sin^2 \theta} \]
Dado que \( \theta \) está en el cuadrante 4 (dado), \( \cos \theta \) es positivo y por lo tanto
\[ \cos \theta = \sqrt {1 - \left( - \dfrac{1}{5} \right)^2 } = \dfrac{2\sqrt{6}}{5} \]
Ahora usamos la fórmula C2 dada arriba para escribir
\[ \quad \tan \left(\dfrac{\theta}{2} \right) = \dfrac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \]
Sustituye \( \sin \theta \) y \( \cos \theta \) por sus valores para obtener
\[ \quad \tan \left(\dfrac{\theta}{2} \right) = \dfrac{- \dfrac{1}{5}}{1 + \dfrac{2\sqrt{6}}{5}} \]
Que puede simplificarse a
\[ \quad \tan \left(\dfrac{\theta}{2} \right) = -\dfrac{1}{5+2\sqrt{6}} \approx -0.10102 \]
Más Referencias