Resolver ecuaciones trigonométricas simples

Esta página contiene preguntas de opción múltiple sobre la resolución de ecuaciones trigonométricas simples. Cada pregunta va seguida de su respuesta correcta y una explicación clara para ayudarte a comprender el razonamiento detrás de la solución.

Preguntas

Pregunta 1

Si \(0 < t < 2\pi\) tal que \[ \sin t = \frac{\sqrt{2}}{2} \] y \(\cot t < 0\), encuentra \(t\).

a) \(\pi/4\)
b) \(5\pi/4\)
c) \(7\pi/4\)
d) \(3\pi/4\)

Pregunta 2

Si \(0 < t < 2\pi\) y \[ \sin t = -1 \] encuentra \(t\).

a) \(\pi/2\)
b) \(3\pi/2\)
c) \(5\pi/4\)
d) \(\pi\)

Pregunta 3

Si \(-2\pi < t < 0\) y \[ \sin t = -\frac{1}{2} \] encuentra \(t\).

a) \(-5\pi/6\)
b) \(-7\pi/6\)
c) \(-5\pi/4\)
d) \(-5\pi/3\)

Pregunta 4

Si \(0 < \alpha < \pi\) y \[ \cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] encuentra \(\alpha\).

a) \(\pi/6\)
b) \(-\pi/6\)
c) \(7\pi/6\)
d) \(5\pi/6\)

Pregunta 5

Encuentra todos los valores de \(t\) tales que \[ \sin t = 0 \]

a) \(t = k\pi/2\)
b) \(t = k\pi/4\)
c) \(t = k\pi\)
d) \(t = 2k\pi\), donde \(k \in \mathbb{Z}\)

Pregunta 6

Encuentra todos los valores de \(t\) tales que \[ \cos(\pi t) = 1 \]

a) \(t = 2k\pi\)
b) \(t = 2k\)
c) \(t = k\)
d) \(t = k\pi\), donde \(k \in \mathbb{Z}\)

Pregunta 7

Encuentra todos los ángulos \(\theta\) tales que \(-2\pi < \theta < 2\pi\) y \[ \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

a) \(\{-7\pi/4, -\pi/4, \pi/4, 7\pi/4\}\)
b) \(\{-\pi/4, -3\pi/4, \pi/4, 3\pi/4\}\)
c) \(\{-5\pi/4, \pi/4, 3\pi/4\}\)
d) \(\{\pi/4, 3\pi/4\}\)

Respuestas y explicaciones

1. d) \(3\pi/4\)
   La ecuación \(\sin t = \sqrt{2}/2\) se satisface en \(t = \pi/4\) y \(3\pi/4\). Dado que \(\cot t < 0\), el seno y el coseno deben tener signos opuestos, lo que ocurre en el segundo cuadrante. Por lo tanto, \(t = 3\pi/4\).
2. b) \(3\pi/2\)
   La función seno alcanza \(-1\) en el ángulo \(t = 3\pi/2\) dentro del intervalo \((0, 2\pi)\).
3. a) \(-5\pi/6\)
   El ángulo de referencia para \(\sin t = 1/2\) es \(\pi/6\). Dado que el seno es negativo y \(t\) se encuentra entre \(-2\pi\) y \(0\), el ángulo correcto es \(-5\pi/6\).
4. d) \(5\pi/6\)
   El valor del coseno \(-\sqrt{3}/2\) ocurre en el segundo cuadrante con un ángulo de referencia \(\pi/6\). Así, \(\alpha = \pi - \pi/6 = 5\pi/6\).
5. c) \(t = k\pi\)
   La función seno es cero en todos los múltiplos enteros de \(\pi\). Por lo tanto, la solución general es \(t = k\pi\), donde \(k\) es cualquier entero.
6. b) \(t = 2k\)
   La función coseno es igual a 1 cuando su argumento es un múltiplo par de \(\pi\). Dado que \(\cos(\pi t) = 1\), debemos tener \(\pi t = 2k\pi\), lo que da \(t = 2k\).
7. a)
   La ecuación \(\cos \theta = \sqrt{2}/2\) tiene un ángulo de referencia \(\pi/4\) en los cuadrantes I y IV. Incluyendo todos esos ángulos en \((-2\pi, 2\pi)\) se obtiene \(-7\pi/4, -\pi/4, \pi/4, 7\pi/4\).

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