Sean los vectores \( \vec {U} \) y \( \vec {V} \) definidos por sus componentes de la siguiente manera:
\( \vec {U} \; = \; \lt u_{x} , u_{y} , u_{z} \gt \)
\( \vec {V} \; = \; \lt v_{x} , v_{y} , v_{z} \gt \)
El producto escalar de los vectores \( \vec {U} \) y \( \vec {V} \) se define como:
\( \vec {U} \cdot \vec {V} = | \vec {U} | \cdot | \vec {U} | \cos \alpha \)
donde \( | \vec {U} | \) y \( | \vec {U} | \) son la magnitud de los vectores \( \vec {U} \) y \( \vec {V} \) respectivamente y \( \alpha \) es el ángulo entre los dos vectores.
y se puede demostrar que el producto escalar de los dos vectores \( \vec {U} \) y \( \vec {V} \) viene dado por una fórmula que involucra los componentes de los dos vectores de la siguiente manera:
\( \vec {U} \cdot \vec {V} = u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y + u_z \cdot v_z \)
por lo tanto, la fórmula para \( \cos \alpha \) viene dada por \[ \large \color{red} {\cos \alpha = \dfrac{u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y + u_z \cdot v_z }{| \vec {U} | \cdot | \vec {U} | } } \] Las magnitudes \( | \vec {U} | \) y \( | \vec {U} | \) están dadas por
\( | \vec {U} | = \sqrt {u_x^2 + u_y^2 + u_z^2 } \)
\( | \vec {V} | = \sqrt {v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 } \)
Utilice la función coseno inversa para expresar el ángulo \( \alpha \) formado por los dos vectores como \[ \large \color{red} {\alpha = \arccos \left (\dfrac{u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y + u_z \cdot v_z }{\sqrt {u_x^2 + u_y^2 + u_z^2 } \cdot \sqrt {v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 } } \right) } \]