Se presenta una calculadora en línea que calcula el producto cruz de dos vectores, dadas sus componentes.
Sean \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\) dos vectores dados por sus 3 componentes como sigue \[ \mathbf{u} = \langle a,\, b,\, c \rangle \quad \text{y} \quad \mathbf{v} = \langle d,\, e,\, f \rangle. \] El producto cruz de los dos vectores \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\), dado arriba, es otro vector \(\mathbf{w}\) dado por \[ \mathbf{w} = \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \langle a,\, b,\, c \rangle \times \langle d,\, e,\, f \rangle = \langle x,\, y,\, z \rangle, \] con las componentes \(x\), \(y\) y \(z\) del vector \(\mathbf{w}\) dadas por: \[ \begin{aligned} x &= b \times f - c \times e, \\ y &= c \times d - a \times f, \\ z &= a \times e - b \times d. \end{aligned} \]
Sean \(\mathbf{u} = \langle 2,\, 2,\, 0 \rangle\) y \(\mathbf{v} = \langle 2,\, -2,\, 0 \rangle\). Entonces \(\mathbf{w} = \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \langle x,\, y,\, z \rangle\), donde \[ \begin{aligned} x &= 2 \times 0 - 0 \times (-2) = 0, \\ y &= 0 \times 2 - 2 \times 0 = 0, \\ z &= 2 \times (-2) - 2 \times 2 = -8. \end{aligned} \] Por lo tanto \[ \mathbf{w} = \langle 0,\, 0,\, -8 \rangle. \] A continuación se muestran las gráficas de los vectores \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) y \(\mathbf{w} = \mathbf{u} \times \mathbf{v}\).
1 - Ingrese las componentes de cada uno de los dos vectores \( \mathbf{u} \) y \( \mathbf{v} \) como números reales en forma decimal y presione "Calcular Producto Cruz". La respuesta es un vector \( \mathbf{w} \).
La calculadora solo acepta números reales.
El producto cruz de dos vectores tiene aplicaciones en matemáticas, física, ingeniería, ... A continuación se presentan algunos ejemplos.
Una de las fórmulas para hallar el área de un triángulo cuyos lados tienen longitudes \(|\mathbf{u}|\) y \(|\mathbf{v}|\) y un ángulo entre ellos igual a \(\theta\) es \[ \text{Área}_{\triangle} = \frac{1}{2}\,|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\,\sin(\theta). \] También se puede demostrar que \[ |\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\,\sin(\theta). \] Por lo tanto, podemos concluir que el área de un paralelogramo definido por los vectores \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\) es igual a la magnitud del producto cruz de \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\): \[ \text{Área}_{\text{paralelogramo}} = |\mathbf{u} \times \mathbf{v}|. \]
Cuando una partícula de carga \(q\) se mueve con una velocidad \(\mathbf{v}\) en un campo magnético \(\mathbf{B}\), una fuerza \(\mathbf{F}\) actúa sobre esta carga y está dada por \[ \mathbf{F} = q\,(\mathbf{v} \times \mathbf{B}). \] Aquí, \(q\) es un escalar, mientras que \(\mathbf{v}\) y \(\mathbf{B}\) son vectores; la expresión \(\mathbf{v} \times \mathbf{B}\) denota el producto cruz de \(\mathbf{v}\) y \(\mathbf{B}\).