Wie löst man |x| = k?

Teilen Sie die Gleichung in x = k oder x = -k auf.

Betragsgleichungen und Ungleichungen: 10 gelöste Aufgaben

Das Lösen von Betragsgleichungen und Ungleichungen ist eine Kernkompetenz in der Algebra. Da der Betrag $|x|$ den Abstand zur Null darstellt, erfordern die meisten Aufgaben die Untersuchung von zwei verschiedenen Fällen.

Brauchen Sie eine Auffrischung? Schauen Sie sich unser Tutorial zum absoluten Betrag an, bevor Sie sich in die untenstehenden Aufgaben stürzen.

Aufgabentyp	Algebraische Äquivalenz
Gleichungen	\( \|x\| = k \iff x = k \text{ oder } x = -k \)
Ungleichungen (<)	\( \|x\| \lt k \iff -k \lt x \lt k \)
Ungleichungen (>)	\( \|x\| \gt k \iff x \gt k \text{ oder } x \lt -k \)

Teil 1: Betragsgleichungen

Frage 1: Lösen Sie $ 2|-2x - 2| - 3 = 13 $

1. Isolieren Sie den Betrag: Addieren Sie 3, dann teilen Sie durch 2:

\[ | - 2 x - 2| = 8 \]

2. Wenden Sie die Regel $ x = k $ oder $ x = -k $ an:

$ -2x - 2 = 8 \implies -2x = 10 \implies x = -5 $
$ -2x - 2 = -8 \implies -2x = -6 \implies x = 3 $

Lösungsmenge: $ \{-5, 3\} $

Frage 2: Lösen Sie $ |x - 1| = 2x + 1 $

Fall A: $ x - 1 \ge 0 \implies x - 1 = 2x + 1 \implies x = -2 $. (Erfüllt nicht $ x \ge 1 $)

Fall B: $ x - 1 \lt 0 \implies -(x - 1) = 2x + 1 \implies x = 0 $. (Erfüllt $ x \lt 1 $)

Überprüfung: Bei $ x=0 $, $ |0-1| = 2(0)+1 \implies 1 = 1 $. (Wahr)

Lösungsmenge: $ \{0\} $

Frage 3: Lösen Sie $ |2x - 1| = x^2 $

Fall 1: $ 2x - 1 = x^2 \implies x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0 \implies x = 1 $

Fall 2: $ 2x - 1 = -x^2 \implies x^2 + 2x - 1 = 0 $

\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = -1 \pm \sqrt{2} \]

Lösungsmenge: $ \{1, -1-\sqrt{2}, -1+\sqrt{2}\} $

Frage 4: Lösen Sie $ -2|x + 1| - 2 = 4 $

\[ -2|x + 1| = 6 \implies |x + 1| = -3 \]

Schlussfolgerung: Keine Lösung, da der absolute Betrag nicht negativ sein kann.

Frage 5: Lösen Sie $ |x - 1| = |x^2 - 2x + 1| $

Identität: $ x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 $. Sei $ u = |x - 1| $:

\[ u = u^2 \implies u(u - 1) = 0 \]

Lösungsmenge: $ \{0, 1, 2\} $

Teil 2: Betragsungleichungen

Frage 6: Lösen Sie $ |x + 2| \lt 3 $

\[ -3 \lt x + 2 \lt 3 \implies -5 \lt x \lt 1 \]

Intervall: $ (-5, 1) $

Frage 7: Lösen Sie $ -3|-2x + 4| \le 4 $

\[ |-2x + 4| \ge -\frac{4}{3} \]

Gilt für alle reellen Zahlen. Lösung: $ (-\infty, \infty) $

Frage 8: Lösen Sie $ |-2x - 4| \gt 9 $

$ -2x - 4 \gt 9 \implies x \lt -6.5 $
$ -2x - 4 \lt -9 \implies x \gt 2.5 $

Intervall: $ (-\infty, -6.5) \cup (2.5, \infty) $

Frage 9: Lösen Sie $ |x + 1| \le |x^2 + 2x + 1| $

Lösungsmenge: $ (-\infty , -2] \cup \{-1\} \cup [0 , \infty) $

Frage 10: Lösen Sie $ x + 2 \lt |x^2 - 4| $

Fall 1 (|x| ≥ 2): $ (-\infty, -2) \cup (3, \infty) $

Fall 2 (|x| < 2): $ (-2, 1) $

Kombiniert: $ (-\infty, -2) \cup (-2, 1) \cup (3, \infty) $

Betragsgleichungen und Ungleichungen

Grundregeln & Äquivalenzen

Teil 1: Betragsgleichungen

Teil 2: Betragsungleichungen

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