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Unten ist ein Kreis dargestellt, dessen Mittelpunkt C durch seine Koordinaten C(h,k) gegeben ist. Per Definition haben alle Punkte M(x,y) auf dem Kreis den gleichen Abstand vom Mittelpunkt. Mit anderen Worten: Ein Kreis mit dem Mittelpunkt C ist die Menge aller Punkte, die den gleichen Abstand vom Punkt C haben. Dieser Abstand zwischen C und einem beliebigen Punkt auf dem Kreis wird als Radius bezeichnet und hat in der folgenden Grafik die Länge r .
Der Abstand vom Mittelpunkt C(h,k) zu einem Punkt M(x,y) auf dem Kreis ist gegeben durch
Um die Gleichung zu finden, verwenden wir die Definition, um zu schreiben, dass der Abstand CM gleich dem Radius r ist
Das Arbeiten mit der Quadratwurzel bringt zusätzliche Schwierigkeiten mit sich, die vermieden werden können. Die Quadratwurzel in der obigen Gleichung kann durch Quadrieren beider Seiten der Gleichung eliminiert werden.
Vereinfachen Sie, um die Standardgleichung eines Kreises mit Mittelpunkt C(h,k) und Radius r
\( \) \( \) \( \) \( \)
\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \]
Beispiel 1
Finden Sie die Standardgleichung des Kreises mit Mittelpunkt C(2,5) und Radius r = 2
Lösung zu Beispiel 1
Bei gegebenem Mittelpunkt und Radius lautet die Standardgleichung des Kreises wie folgt:
\( (x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 2^2 \)
Um herauszufinden, ob ein gegebener Punkt auf einem Kreis, innerhalb eines Kreises oder außerhalb eines Kreises liegt, vergleichen wir das Quadrat des Abstands vom Mittelpunkt des Kreises zum gegebenen Punkt mit dem Quadrat des Radius. Wir verwenden das Quadrat des Abstands anstelle des Abstands, um die Verwendung der Quadratwurzel zu vermeiden.
Für einen Kreis mit Mittelpunkt \( C(h,k) \) und Radius \( r \), Punkt \( P \) mit Koordinaten \( (x_0 , y_0) \)
1) liegt auf dem Kreis, wenn folgende Gleichung erfüllt ist:
\[ (x_0 - h)^2 + (y_0 - k)^2 = r^2 \]
2) liegt innerhalb des Kreises, wenn die folgende Ungleichung erfüllt ist:
\[ (x_0 - h)^2 + (y_0 - k)^2 \lt r^2 \]
3) liegt außerhalb des Kreises, wenn die folgende Ungleichung erfüllt ist:
\[ (x_0 - h)^2 + (y_0 - k)^2 \gt r^2 \]
Beispiel 2
Gleichung eines Kreises und Punkten innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis
Welcher der folgenden Punkte \( P_1(1,5) \) , \( P_2(2,3) \) und \( P_3(4,7) \) liegt innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis aus Beispiel 1?
Lösung zu Beispiel 2
Der Mittelpunkt des Kreises in Beispiel 1 liegt bei \( C(2,5) \) und hat den Radius \( r = 2 \)
Ermitteln Sie das Quadrat des Abstands vom Mittelpunkt des Kreises zu jedem der angegebenen Punkte und vergleichen Sie es mit dem Quadrat des Radius
Das Quadrat des Abstands von \( C \) zu \( P_1 \) ist gegeben durch: \( (2-1)^2 + (5-5)^2 = 1\), was kleiner ist als \( r^2 = 4\). Daher liegt der Punkt \( P_1 \) innerhalb des Kreises.
Das Quadrat des Abstands von \( C \) zu \( P_2 \) ist gegeben durch: \( (2-2)^2 + (5-3)^2 = 4\), was gleich \( r^2 = 4\). Daher liegt der Punkt \( P_1 \) auf dem Kreis.
Das Quadrat des Abstands von \( C \) zu \( P_3 \) ist gegeben durch: \( (2-4)^2 + (5-7)^2 = 8\), das größer ist als \( r^2 = 4\). Daher liegt der Punkt \( P_3 \) außerhalb des Kreises.
Der Kreis und die drei Punkte sind unten dargestellt und wir können die oben gefundene Antwort leicht überprüfen.
Eine der wichtigen Eigenschaften einer Tangente an einen Kreis besteht darin, dass sie senkrecht zur Linie durch den Mittelpunkt \( C \) und den Tangentialpunkt \( M \) verläuft, wie unten gezeigt.
Beispiel 3 Gleichung eines Kreises und Punkten innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis
Finden Sie die Gleichung der Tangente an den Kreis mit der Gleichung \( (x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 5 \) am Punkt \( M(-4 , 3) \).
Lösung zu Beispiel 3
Wenn wir die angegebene Gleichung mit der oben angegebenen allgemeinen Standardgleichung vergleichen, schließen wir, dass der Mittelpunkt bei \( C(-2,2) \) liegt.
Die Steigung \( m_1 \) der Geraden durch \( C M \) ist gegeben durch
\( m_1 = \dfrac{3-2}{-4-(-2)} = -\dfrac{1}{2} \)
Sei \( m_2 \) die Steigung der Tangente. Da die Tangente und \( C M \) senkrecht zueinander stehen, hängen die Steigungen \( m_1 \) und \( m_2 \) zusammen
\( m_1 \times m_2 = -1 \)
was gibt
\( (-\dfrac{1}{2}) \times m_2 = -1 \)
Lösen Sie nach \( m_2 \) auf, um zu erhalten
\( m_2 = 2 \)
Wir kennen jetzt die Steigung \( m_2 \) und \( M(-4,3) \) den Tangentenpunkt, durch den die Tangente verläuft. Wir verwenden die Punktsteigungsformel, um die Gleichung der Tangente an die gegebene Linie zu finden Kreis
\( y - 3 = 2 (x - (-4)) \)
\( y = 2 x + 11 \)
Zeichnen Sie als Übung den gegebenen Kreis und die Gleichung der oben gefundenen Tangente auf und überprüfen Sie grafisch, ob sie den Punkt (-4,3) tangieren.
Beginnen wir mit der Standardgleichung eines Kreises
\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)
Expandieren
\( x^2 - 2 h x + h^2 + y^2 - 2 k y + k^2 = r^2 \)
Lassen
\( A = - 2 h\), \( B = - 2 k \) und \( C = h^2 + k^2 - r^2\)
Setzen Sie die erweiterte Gleichung ein, um die allgemeine Form der Kreisgleichung zu erhalten.
\( x^2 + y^2 + A x + B y + C = 0 \)
Beispiel 4 Finden Sie die Gleichung eines Kreises mit drei Punkten
Finden Sie die Kreisgleichung durch die Punkte \( P_1(6,4) \), \( P_2(-1,5) \) und \( P_3(2,-4) \).
Lösung zu Beispiel 4
Die Koordinaten eines Punktes auf einem Kreis müssen die Kreisgleichung erfüllen. Wir schreiben, dass die Koordinaten jedes der gegebenen Punkte die Kreisgleichung in der allgemeinen Form erfüllen: \( x^2 + y^2 + A x + B y + C = 0 \).
Punkt \( P_1(6,4) \) liegt auf dem Kreis; Ersetzen Sie \( x \) durch \( 6 \) und \( y \) durch \( 4 \) in der Gleichung, daher: \( 6^2 + 4^2 + 6 A + 4 B + C = 0 \)
Punkt \( P_2(-1,5) \) liegt auf dem Kreis; Ersetzen Sie \( x \) durch \( -1 \) und \( y \) durch \( 5 \) in der Gleichung, also: \( (-1)^2 + 5^2 - A + 5 B + C = 0 \)
Punkt \( P_3(2,-4) \) liegt auf dem Kreis; Ersetzen Sie \( x \) durch \( 2 \) und \( y \) durch \( -4 \) in der Gleichung, also: \( 2^2 + (-4)^2 + 2 A - 4 B + C = 0 \)
Lösen Sie für (A,B,C) das oben erhaltene und unten in Standardform gezeigte Gleichungssystem
\( \begin{cases} 6 A + 4 B + C = -52\\ - A + 5 B + C = - 26 \\ 2 A - 4 B + C = -20 \end{cases} \)
Verwenden Sie eine beliebige Methode, um die Lösung zu erhalten
\( A = -4\) , \( B = -2 \), \( C = -20 \)
Wir ersetzen nun \( A \), \( B \) und \( C \) durch ihre Werte und schreiben die Kreisgleichung wie folgt:
\( x^2 + y^2 - 4 x - 2 y - 20 = 0 \)
Der oben gefundene Kreis und die drei Punkte sind in der Grafik unten dargestellt.
Beispiel 5 Schreiben Sie die allgemeine Kreisgleichung in die Standardform um.
Schreiben Sie die Gleichung des durch \( x^2 + y^2 + 6x - 2y + 5 = 0 \) gegebenen Kreises neu und ermitteln Sie dessen Mittelpunkt und Radius.
Lösung zu Beispiel 5
Setzen Sie in Klammern die Terme in \( x\) und \( x^2 \) zusammen und die Terme in \( y \) und \( y^2\) zusammen
\( (x^2 + 6x) + (y^2 - 2y) + 5 = 0 \)
Vervollständigen Sie das Quadrat jedes Binomials innerhalb der Parehthesen
\( (x^2 + 3)^2 - 3^2 + (y^2 - 1)^2 - (-1)^2 + 5 = 0 \)
Schreiben Sie in Standardform
\( (x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 5 \)
Vergleichen Sie die obige Gleichung mit der Standardgleichung \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\) und identifizieren Sie die Koordinaten \( h \) und \( k \) des Mittelpunkts von der Kreis und der Radius \( r \).
\( h = - 3\) , \( k = 1\) und \( r^2 = 5 \)
Der Mittelpunkt des Kreises hat die Koordinaten \( (-3 , 1) \) und den Radius \( r = \sqrt 5 \)
Dies ist eine HTML5-App, die dabei hilft, die Gleichung eines Kreises und die Eigenschaften des Kreises zu erkunden.
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