Ableitungsregeln von Funktionen in der Analysis
Die grundlegenden Regeln der Differentialrechnung von Funktionen in der Analysis werden zusammen mit mehreren Beispielen vorgestellt.
1 - Ableitung einer konstanten Funktion.
Die Ableitung von \( f(x) = c \), wobei c eine Konstante ist, ist gegeben durch
\[ \Large \color{red}{ f '(x) = 0 } \]
Beispiel
Gegeben \( f(x) = - 10 \), daher \[ f '(x) = 0 \]
2 - Ableitung einer Potenzfunktion (Potenzregel).
Die Ableitung von \( f(x) = x^r \), wobei \( r \) eine konstante reelle Zahl ist, ist gegeben durch
\[ \Large \color{red}{ f '(x) = r \; x^{r-1} } \]
Beispiel
Gegeben \( f(x) = x^{-2} \) ,
daher \[ f '(x) = -2 x^{-2-1} = \dfrac{-2}{x^3} \]
3 - Ableitung einer Funktion multipliziert mit einer Konstanten.
Die Ableitung von \( f(x) = c \; g(x) \), wobei \( c \) eine Konstante ist, ist gegeben durch
\[ \Large \color{red}{ f '(x) = c \; g '(x) } \]
Beispiel
Gegeben \( f(x) = 3 \; x^3 \) ,
sei \( c = 3 \) und \( g(x) = x^3 \), daher \( f(x) = c \; g(x) \)
und \[ f '(x) = c \; g '(x) = 3 (3 x^2) = 9 \; x^2 \]
4 - Ableitung der Summe von Funktionen (Summenregel).
Die Ableitung von \( f(x) = g(x) + h(x) \) ist gegeben durch
\[ \Large \color{red}{ f '(x) = g '(x) + h '(x) } \]
Beispiel
Gegeben \( f(x) = x^2 + 4 \)
sei \( g(x) = x^2 \) und \( h(x) = 4 \)
Daher \[ f '(x) = g '(x) + h '(x) = 2 x + 0 = 2 x \]
5 - Ableitung der Differenz von Funktionen.
Die Ableitung von \( f(x) = g(x) - h(x) \) ist gegeben durch
\[ \Large \color{red}{ f '(x) = g '(x) - h '(x) } \]
Beispiel
Gegeben \( f(x) = x^3 - x^{-2} \)
sei \( g(x) = x^3 \) und \( h(x) = x^{-2} \).
Daher
\[ f '(x) = g '(x) - h '(x) = 3 x^2 - (-2 x^{-3}) = 3 x^2 + 2 x^{-3} \]
6 - Ableitung des Produkts zweier Funktionen (Produktregel).
Die Ableitung von \( f(x) = g(x) \cdot h(x) \) ist gegeben durch
\[ \Large \color{red}{ f '(x) = g(x) \cdot h '(x) + h(x) \cdot g '(x) } \]
Beispiel
Gegeben \( f(x) = (x^2 - 2x) (x - 2) \)
sei \( g(x) = (x^2 - 2x) \) und \( h(x) = (x - 2) \).
Daher
\( f(x) = g(x) \cdot h(x) \)
und unter Verwendung der Formel erhalten wir
\[ f '(x) = g(x) h '(x) + h(x) g '(x) = (x^2 - 2x) (1) + (x - 2) (2x - 2) \]
Ausmultiplizieren und zusammenfassen
\[ f '(x) = x^2 - 2x + 2 x^2 - 6x + 4 = 3 x^2 - 8 x + 4 \]
7 - Ableitung des Quotienten zweier Funktionen (Quotientenregel).
Die Ableitung von \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \) ist gegeben durch
\[ \Large \color{red}{ f '(x) = \dfrac{h(x) g '(x) - g(x) h '(x)}{ (h(x))^2} } \]
Beispiel
Gegeben \( f(x) = \dfrac{x-2}{x+1} \)
sei \( g(x) = x - 2 \), \( \; h(x) = x + 1 \), daher \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \), \( g '(x) = 1 \) und \( h '(x) = 1 \).
Verwenden Sie die oben angegebene Formel
\[ f '(x) = \dfrac{h(x) g '(x) - g(x) h '(x)}{ (h(x))^2} \]
Ersetzen Sie \( h(x), g(x), h'(x) \) und \( g'(x) \) durch ihre Ausdrücke
\[ f '(x) = \dfrac { (x + 1)(1) - (x - 2)(1) } {(x + 1)^2} \]
Zusammenfassen und vereinfachen
\[ f '(x) = \dfrac{3}{(x + 1)^2} \]
Weitere Referenzen und Links
Differentialrechnung und Ableitungen