Definition und Gleichung einer Parabel mit vertikaler Achse
Eine Parabel ist die Menge aller Punkte \( M(x,y)\) in einer Ebene, so dass der Abstand von \( M \) zu einem festen Punkt \( F \), der als Fokus bezeichnet wird, gleich dem Abstand von \ ( M \) zu einer festen Linie, die als Leitlinie bezeichnet wird, wie unten in der Grafik dargestellt.
Betrachten wir eine Parabel mit einem Scheitelpunkt \( V(0,0) \) (dem tiefsten Punkt) im Ursprung (0,0), wie in der Grafik gezeigt, und dem Fokus \( F(0 , p) \) darauf die Symmetrieachse (die y-Achse) mit \( p > 0 \).
Der Abstand zwischen den Punkten \(M(x,y) \) auf der Parabel und dem Fokus \( F(0 , p)\) ist gegeben durch
\( MF = \sqrt{(x -0)^2 + (y - p)^2} \)
Der Abstand vom Punkt \(M(x,y) \) zur Geraden der Gleichung \( y = - p \) ist gegeben durch
\( MD = y + p \)
Gemäß der obigen Definition der Parabel sind diese beiden Abstände gleich; somit
\(\sqrt{(x -0)^2 + (y - p)^2} = y + p\)
Quadrieren Sie beide Seiten und erweitern Sie die beiden Seiten der Gleichung
\( x^2 + y^2 - 2 py + p^2 = y^2 + 2 py + p^2 \)
Gruppenartiger Begriff
\( 4 py = x^2 \)
Schreiben Sie die Gleichung der Parabel als \( y \) in Bezug auf \( x \).
\( y = \dfrac{1}{4p} x^2 \)
Beispiel 1
Punkt \( ( 4,2) \) liegt auf dem Graphen einer Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung \( (0,0) \) und vertikaler Achse. Finden Sie den Brennpunkt der Parabel, zeichnen Sie ihn grafisch auf, beschriften Sie den Brennpunkt und zeichnen Sie die Leitlinie grafisch auf.
Lösung zu Beispiel 1
Die Gleichung einer Parabel mit vertikaler Achse, deren Scheitelpunkt im Ursprung liegt, lautet:
\( y = \dfrac{1}{4p} x^2 \)
Da \( ( 4,2) \) auf dem Graphen der Parabel liegt, erfüllen die Koordinaten \( x = 4 \) und \( y = 2 \) die Gleichung der Parabel. Somit
\( 2 = \dfrac{1}{4p} (4)^2 \)
Vereinfachen
\( 2 = \dfrac{16}{4p} \)
Auflösen nach \( p \)
\( p = 2 \)
Der Fokus liegt am Punkt \( F(0 , 2)\) und die Leitlinie wird durch die horizontale Linie \( y = - 2 \) gegeben, wie in der Grafik unten gezeigt.
Wir können die Gleichung einer Parabel an einem Scheitelpunkt \( V(h,k) \) wie folgt verallgemeinern und schreiben
\( y = \dfrac{1}{4p} (x - h)^2 + k\)
mit Scheitelpunkt \( V(h,k) \) und Fokus \( F(h,k+p) \) und Leitlinie gegeben durch die Gleichung \( y = k - p \)
Beispiel 2
Finden Sie den Scheitelpunkt, den Fokus und die Leitlinie der Parabel, die durch die Gleichung \(y = \dfrac{1}{16} x^2 - \dfrac{1}{4} x + \dfrac{9}{4}\) gegeben ist. .
Lösung zu Beispiel 2
Schreiben Sie die gegebene Gleichung in Standardform um, indem Sie das Quadrat vervollständigen. Faktorisieren Sie \( 1/16 \) aus den Termen in \( x \) und \( x^2 \)
\(y = \dfrac{1}{16} (x^2 - 4 x) + \dfrac{9}{4}\) .
Vervollständigen Sie das Quadrat innerhalb der Klammern
\(y = \dfrac{1}{16} ((x-2)^2 - 2^2 ) + \dfrac{9}{4}\)
In Standardform umschreiben
\(y = \dfrac{1}{16} ((x-2)^2 - 4 ) - \dfrac{1}{4} + \dfrac{9}{4}\)
Gruppenähnliche Begriffe
\(y = \dfrac{1}{16} (x - 2)^2 + 2 \)
Vergleichen Sie die obige Gleichung mit der Standardform \( y = \dfrac{1}{4p} (x - h)^2 + k\) und identifizieren Sie die Parameter \( p \), \( h \) und \( k \)
\( \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{4p}\); Lösen Sie nach \( p \) auf, um \( p = 4 \) zu erhalten.
\( h = 2 \) und \( k = 2 \)
Scheitelpunkt bei \( V(h,k) = V(2,2)\), Fokus bei \( F(h,k+p) = F(2,6)\), Leitlinie gegeben durch \( y = k - p = - 2 \)
Gleichung einer Parabel mit horizontaler Achse
Die Gleichung einer Parabel mit horizontaler Achse wird geschrieben als
\( x = \dfrac{1}{4p} (y - k)^2 + h\)
mit Scheitel \( V(h,k) \) und Fokus \( F(h+p,k) \) und Leitlinie gegeben durch die Gleichung \( x = h - p \)
Beispiel 3
Finden Sie den Scheitelpunkt, den Fokus und die Leitlinie der Parabel, die durch die Gleichung \(x = \dfrac{1}{4} y^2 - y + 11\) gegeben ist.
Lösung zu Beispiel 3
Gruppieren Sie die Terme in \( y^2 \) und \(y \) und faktorisieren Sie \( 1/4 \).
\(x = \dfrac{1}{4} (y^2 - 4 y) + 11\)
Verwenden Sie die Terme \( y^2 \) und \(y \) in den Klammern und vervollständigen Sie das Quadrat
\(x = \dfrac{1}{4} ((y^2 - 2) - 2^2) + 11\)
In Standardform umschreiben
\(y = \dfrac{1}{4} ((y-2)^2) + 10 \)
Gruppenähnliche Begriffe
Vergleichen Sie die obige Gleichung mit der Gleichung in Standardform \( x = \dfrac{1}{4p} (y - k)^2 + h\) und identifizieren Sie die Parameter \( p \), \( h \) und \ ( k \)
\( \dfrac{1}{4p} = \dfrac{1}{4} \) ergibt \( p = 1 \)
\( h = 10 \) und \( k = 2 \)
Scheitelpunkt bei \( V(h,k) = V(10,2)\), Fokus bei \( F(h+p,k) = F(11,2)\) , Leitlinie gegeben durch \( x = h - p = 9 \)
Interaktives Tutorial zur Gleichung einer Parabel
Jetzt wird eine App zum Erkunden der Parabelgleichung und ihrer Eigenschaften vorgestellt. Die verwendete Gleichung ist die Standardgleichung der Form
\( y = \dfrac{1}{4 p}(x - h)^2 + k \)
Dabei sind h und k die x- und y-Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel und p eine reelle Zahl ungleich Null.
Die Erkundung wird durchgeführt, indem die in der obigen Gleichung enthaltenen Parameter \( p, h \) und \( k \) geändert werden und die unten beschriebenen Aktivitäten ausgeführt werden.
Die Standardwerte beim Öffnen dieser Seite sind: \( p = 1, h = 2 \) und \( k = 3 \)
Klicken Sie zum Starten auf die Schaltfläche "Plot Equation".
Bewegen Sie den Mauszeiger über die Grafik des gezeichneten Punkts, um die Koordinaten abzulesen.
1 - Beginnen Sie mit den Standardwerten \( p = 1, h = 2 \) und \( k = 3 \) und klicken Sie auf die Schaltfläche „Gleichung darstellen“. Bewegen Sie den Mousse-Cursor über das Diagramm, um die Koordinaten der Punkte im Diagramm auf dem Fokus F oder dem Scheitelpunkt V zu verfolgen und abzulesen.
a) Verwenden Sie die Werte von \( p = 1, h = 2 \) und \( k = 3 \) und berechnen Sie die Koordinaten des Fokus \( F \), des Scheitelpunkts \( V \) und die Gleichung des Directrix und vergleichen Sie sie mit den grafischen Werten.
b) Wählen Sie einen Punkt \( M \) auf der Parabel und ermitteln Sie den Abstand \( MF \) und vergleichen Sie ihn mit dem Abstand von \( M \) zur Leitlinie (siehe Definition der Parabel oben). Sind sie gleich? (oder nahe beieinander)
2 - Finden Sie auf Papier die Gleichung der Parabel für die Werte \( p = 4, h = 1 \) und \( k = - 4 \).
a) Berechnen Sie die Koordinaten des Fokus \( F \), des Scheitelpunkts \( V \) und der Gleichung der Leitlinie
b) Berechnen Sie die x- und y-Achsenabschnitte
c) Stellen Sie die Werte \( p = 4, h = 1 \) und \( k = - 4 \) in der App oben ein und lesen und überprüfen Sie dann die Gleichung der Parabel, die Koordinaten des Fokus \( F \) und Scheitelpunkt \( V \) und die Gleichung der Leitlinie.
d) Überprüfen Sie die x- und y-Achsenabschnitte
3 - Übung:
a) Schreiben Sie die Gleichung auf Papier um
\[ x^2 - 4 x - 4 y = 0 \]
in der Form \( y = \dfrac{1}{4 p} (x - h)^2 + k \) (siehe Beispiel 2 oben)
b) Identifizieren und finden Sie die Werte von \( p \), \( h \) und \( k \).
c) Finden Sie die Koordinaten des Fokus \( F \), des Scheitelpunkts \( V \), der x- und y-Achsenabschnitte und der Gleichung der Leitlinie
d) Verwenden Sie die obige App und überprüfen Sie die durch Berechnungen ermittelten Werte.
Weitere Referenzen und Links zu Themen im Zusammenhang mit der Parabelgleichung
