Diese Seite zeigt mathematisch, wie eine Parabolantenne funktioniert. Parallele elektromagnetische Strahlen entlang der Achse der Parabel werden zum Brennpunkt reflektiert. Umgekehrt werden Wellen, die vom Brennpunkt ausgehen, an der Parabel reflektiert und breiten sich parallel zur Achse aus.
Ein elektromagnetischer Strahl parallel zur Achse der Parabel (der \(y\)-Achse) trifft auf die innere Oberfläche der Parabel (siehe Abbildung unten).
Sei \(M(a,b)\) der Punkt, an dem der Strahl auf die Parabel trifft. Sei \(i\) der Einfallswinkel bezüglich der Normalen und \(r\) der Reflexionswinkel. Nach dem Reflexionsgesetz gilt \(i = r\). Wir werden zeigen, dass alle reflektierten Strahlen die Achse der Parabel im selben Punkt schneiden.
Die Parabelgleichung lautet: \[ y = \frac{x^2}{4f} \] wobei \(f\) die Brennweite ist. Die Ableitung ist: \[ y' = \frac{x}{2f} \] was die Tangentensteigung am Punkt \(M(a,b)\) ergibt: \[ m_t = \frac{a}{2f}. \] Die Steigung der Normalen erfüllt: \[ m_t \cdot m_n = -1 \quad \Rightarrow \quad m_n = -\frac{2f}{a}. \] Sei \(n\) der Winkel der Normalen mit der \(x\)-Achse: \[ \tan(n) = -\frac{2f}{a}. \] Die Steigung des reflektierten Strahls ist: \[ m_r = \tan(n - i) \quad \text{und} \quad i + n = 90^\circ. \] Mit trigonometrischen Identitäten: \[ m_r = \tan(2n - 90^\circ) = -\cot(2n) = -\frac{1}{\tan(2n)} = -\frac{1 - \tan^2 n}{2 \tan n}. \] Setze \(\tan n = -2f/a\) ein: \[ m_r = \frac{a^2 - 4f^2}{4af}. \] Die Gerade durch \(M(a,b)\) mit der Steigung \(m_r\) ist: \[ y - b = m_r (x - a). \] Der \(y\)-Achsenabschnitt ist: \[ y_\text{Achsenabschnitt} = b - a m_r = \frac{a^2}{4f} - a \frac{a^2 - 4f^2}{4af} = f. \] Somit verlaufen alle reflektierten Strahlen durch den Brennpunkt \((0,f)\).
Hinweis: Diese Herleitung verwendet Algebra, Trigonometrie, Analysis und Physik und zeigt die praktische Anwendung der Mathematik in Ingenieurwesen und Physik.
Eingehende elektromagnetische Strahlen werden an der Paraboloidoberfläche reflektiert und konvergieren im Brennpunkt.
Vom Brennpunkt ausgehende Strahlen werden an der Parabel reflektiert und verlaufen parallel zur Achse.
Finden Sie den Brennpunkt jeder Parabel: