Teorema de Tales y Problemas con Soluciones
El teorema de Tales [1], también conocido como teorema de Thales, se presenta junto con aplicaciones para la resolución de problemas.
Teorema de Tales
En todas las figuras a continuación, \( BC \) es paralela a DE y ambas son intersecadas por \( AD \) y \( AE \) con puntos de intersección en \( B, C, D \) y \( E \).
El teorema de Tales establece que las longitudes de los segmentos son proporcionales de la siguiente manera:
\[ \dfrac{\overline{AB}}{\overline{AD}} = \dfrac{\overline{AC}}{\overline{AE}} = \dfrac{\overline{BC}}{\overline{DE}} \quad \quad (I)\]
\[ \dfrac{\overline{AB}}{\overline{BD}} = \dfrac{\overline{AC}}{\overline{CE}} \quad \quad (II) \]
\[ \dfrac{\overline{FC}}{\overline{FB}} = \dfrac{\overline{GE}}{\overline{GD}} \quad \quad (III) \]
Problemas con Soluciones
Problema 1
En la figura a continuación, \( BC \) es paralela a \( DE \). Encuentra \( \overline{AC} \) y \( \overline{BC} \).
Solución al Problema 1
Según el teorema de Tales (I) anterior, podemos escribir
\( \dfrac{\overline{AB}}{\overline{AD}} = \dfrac{\overline{BC}}{\overline{DE}} = \dfrac{\overline{AC}}{\overline{AE}}\)
Podemos escribir dos ecuaciones usando las proporciones anteriores
\( \dfrac{\overline{AB}}{\overline{AD}} = \dfrac{\overline{BC}}{\overline{DE}} \) (IV) y \( \dfrac{\overline{AB}}{\overline{AD}} = \dfrac{\overline{AC}}{\overline{AE}}\) (V)
Sustituye las longitudes conocidas de los segmentos en la ecuación (IV)
\( \dfrac{6}{6+2} = \dfrac{\overline{BC}}{9} \)
Usa el producto cruzado para reescribir la ecuación anterior como
\( 8 \times \overline{BC} = 6 \times 9 \)
Resuelve para \( \overline{BC} \)
\( \overline{BC} = 54/8 = 6.75 \)
Sustituye las longitudes conocidas de los segmentos en la ecuación (V)
\( \dfrac{6}{6+2} = \dfrac{\overline{AC}}{\overline{AC}+3}\)
Usa el producto cruzado para reescribir la ecuación anterior como
\( 6 \times (\overline{AC}+3) = 8 \times \overline{AC} \)
Multiplica y simplifica
\( 6 \overline{AC}+ 18 = 8 \overline{AC} \)
Agrupa términos semejantes
\( 18 = 2 \overline{AC} \)
Resuelve para \( \overline{AC} \)
\( \overline{AC} = 9 \)
Nota que los triángulos \( ABC \) y \( ADE \) son semejantes y, por lo tanto, este problema también se puede resolver usando el teorema de triángulos semejantes.
Problema 2
En la figura a continuación, \( BC \) es paralela a \( DE \). Encuentra \( \overline{DG} \), \( \overline{GE} \), \( \overline{AC} \) y \( \overline{CE} \).
Solución al Problema 2
Usando el teorema de Tales (I) anterior, podemos escribir
\( \dfrac{\overline{AB}}{\overline{AD}} = \dfrac{\overline{BF}}{\overline{DG}} \)
Sustituye las longitudes conocidas de los segmentos en la ecuación anterior
\( \dfrac{8}{8+2} = \dfrac{6}{\overline{DG}} \)
Usa el producto cruzado para reescribir lo anterior como
\( 8 \times \overline{DG} = 6 \times 10 \)
Resuelve para \( \overline{DG} \)
\( \overline{DG} = 60 / 8 = 7.5 \)
Reutiliza el teorema de Tales (I) anterior para escribir
\( \dfrac{\overline{AB}}{\overline{AD}} = \dfrac{\overline{BC}}{\overline{DE}} \)
Sustituye las longitudes conocidas de los segmentos en la ecuación anterior.
\( \dfrac{8}{8+2} = \dfrac{6+4}{\overline{DE}} \)
Usa el producto cruzado para reescribir la ecuación anterior como
\( 8 \times \overline{DE} = 10 \times 10 \)
Resuelve para \( \overline{DE} \)
\( \overline{DE} = 100 / 8 = 12.5 \)
Observa que \( \overline{DE} = \overline{DG} + \overline{GE} \)
Por lo tanto
\( \overline{GE}= \overline{DE} - \overline{DG} = 12.5 - 7.5 = 5 \)
Reutiliza el teorema de Tales (I) anterior para escribir
\( \dfrac{\overline{AC}}{\overline{FC}} = \dfrac{\overline{AE}}{\overline{GE}} \)
Observa que \( \overline{AE} = \overline{AC} + \overline{CE} \)
Por lo tanto, la ecuación anterior puede escribirse como
\( \dfrac{\overline{AC}}{4} = \dfrac{15}{5} \)
Usa el producto cruzado para reescribir la ecuación anterior como
\( 5 \times \overline{AC} = 4 \times 15 \)
Resuelve lo anterior para encontrar
\( \overline{AC} = 60/5 = 12 \)
y encuentra \( \overline{CE} \) de la siguiente manera
\( \overline{CE} = \overline{AE} - \overline{AC} = 15 - 12 = 3\)
Problema 3
Un técnico desea determinar la altura de un poste largo montado en el suelo de la siguiente manera (ver figura a continuación): Utiliza una fuente de luz en el punto \( B \) montada en una estructura de 1 metro de altura para proyectar un haz de
luz a través de la parte superior de los postes corto y largo. La altura del poste corto es de 5 metros y la distancia entre el poste corto y el poste largo es de 5 metros. La distancia entre el poste corto y
la estructura que sostiene la fuente de luz es de 2 metros. Se asume que la estructura que sostiene la fuente de luz y los dos postes están todos en el mismo plano y son perpendiculares al suelo. Encuentra la altura \( h \) del poste largo.
Solución al Problema 3
La estructura de luz y los dos postes son perpendiculares al suelo y, por lo tanto, son todos paralelos. De ahí el uso del teorema de Tales (I) para escribir
\( \dfrac{\overline{OA}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{OC}}{\overline{CD}} \)
Sustituye las longitudes conocidas y \( \overline{OC} \) por \( \overline{OA} + 2 \)
\( \dfrac{\overline{OA}}{1} = \dfrac{\overline{OA}+2}{5} \)
Multiplica cruzadamente la ecuación anterior y reescribe como
\( 5 \overline{OA} = \overline{OA}+2 \)
Resuelve para \( \overline{OA} \)
\( \overline{OA} = 0.5 \) metros
Usa el teorema de Tales (I) una vez más para escribir
\( \dfrac{\overline{OA}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{OF}}{h} \)
Sustituye las longitudes conocidas
\( \dfrac{0.5}{1} = \dfrac{0.5+2+5}{h} \)
Multiplica cruzadamente la ecuación anterior y reescribe como
\( 0.5 h = 7.5 \)
Resuelve para \( h \) para obtener
\( h = 15 \) metros
Problema 4
En la figura a continuación, el área del triángulo \( OAB \) es de 4 unidades cuadradas. \( AB \) es paralela a \( CD \). Encuentra el área del triángulo \( OCD \).
Solución al Problema 4
Dibuja un segmento a través del punto \( O \) que sea perpendicular a los segmentos \( AB \) y \( CD \) e interseque con ellos en los puntos \( L \) y \( M \) respectivamente, como se muestra en la figura a continuación.
Sean \( A_1 \) y \( A_2 \) las áreas de los triángulos \( O A B \) y \( O D C \) respectivamente y usa la fórmula para el área de un triángulo (la mitad del producto de la altura y la base) para escribir
\( A_1 = \dfrac{1}{2} \overline {OL} \times \overline {AB} \) y \( A_2 = \dfrac{1}{2} \overline {OM} \times \overline {CD} \)
Usa el teorema de Tales (I) para escribir
\( \dfrac{\overline{OM}}{\overline{OL}} = \dfrac{\overline{OD}}{\overline{OA}} = \dfrac{7.5}{2.5} = 3\)
y
\( \dfrac{\overline{CD}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{OD}}{\overline{OA}} = \dfrac{7.5}{2.5} = 3\)
De lo anterior podemos escribir que
\( \dfrac{\overline{OM}}{\overline{OL}} \times \dfrac{\overline{CD}}{\overline{AB}} = 3 \times 3 = 9 \)
lo cual puede escribirse como
\( \dfrac{\overline{OM} \times \overline{CD} }{\overline{OL} \times \overline{AB}} = 9 \)
Multiplica el numerador y el denominador en lo anterior por \( 1/2 \) y escribe
\( \dfrac{\frac{1}{2}\overline{OM} \times \overline{CD} }{ \frac{1}{2} \overline{OL} \times \overline{AB}} = 9 \)
El numerador y el denominador en la expresión anterior son las áreas \( A_1 \) y \( A_2 \) como se indica en las fórmulas anteriores, por lo tanto podemos escribir que
\( \dfrac{A_2}{ A_1} = 9 \)
Por lo tanto, el área \( A_2 \) del triángulo \( O D C \) está dada por:
\( A_2 = 9 \times A_1 = 9 \times 4 = 36 \) unidades cuadradas.
Más Referencias y Enlaces a Problemas de Geometría
The Four Pillars of Geometry - John Stillwell - Springer; 2005th edition (Aug. 9 2005) - ISBN-10 : 0387255303
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