Dominio, Rango y Comparación de Funciones Comunes – Respuestas

Estas son las respuestas a las preguntas del tutorial: Gráfica, Dominio y Rango de Funciones Comunes .

Tutorial (1) – Dominio y Rango de Funciones Básicas

1. 
   Función lineal \( f(x) = x \)
   Dominio: \( (-\infty, +\infty) \)
   Rango: \( (-\infty, +\infty) \)
2. 
   Función cuadrática \( g(x) = x^2 \)
   Dominio: \( (-\infty, +\infty) \)
   Rango: \( [0, +\infty) \)
3. 
   Función cúbica \( h(x) = x^3 \)
   Dominio: \( (-\infty, +\infty) \)
   Rango: \( (-\infty, +\infty) \)
4. 
   Función valor absoluto \( i(x) = |x| \)
   Dominio: \( (-\infty, +\infty) \)
   Rango: \( [0, +\infty) \)
5. 
   Función raíz cuadrada \( j(x) = \sqrt{x} \)
   Dominio: \( [0, +\infty) \)
   Rango: \( [0, +\infty) \)
6. 
   Función raíz cúbica \( k(x) = \sqrt[3]{x} \)
   Dominio: \( (-\infty, +\infty) \)
   Rango: \( (-\infty, +\infty) \)
7. 
   Función exponencial natural \( l(x) = e^x \)
   Dominio: \( (-\infty, +\infty) \)
   Rango: \( (0, +\infty) \)
8. 
   Función logarítmica natural \( m(x) = \ln(x) \)
   Dominio: \( (0, +\infty) \)
   Rango: \( (-\infty, +\infty) \)

Tutorial (2) – Comparación de Funciones Básicas

1) Para \( x \ge 0 \), \( |x| = x \). Por lo tanto, las gráficas de \( f(x) = x \) y \( i(x) = |x| \) son iguales para \( x \ge 0 \). Para \( x < 0 \), \( |x| = -x > 0 \), lo que explica por qué la gráfica de \( i(x) = |x| \) está por encima del eje \(x\) para \( x < 0 \).

2) Las funciones \( l(x) = e^x \) y \( m(x) = \ln(x) \) son inversas entre sí. Por lo tanto, sus gráficas son reflexiones a través de la línea \[ y = x. \]

3) Las funciones \( h(x) = x^3 \) y \( k(x) = \sqrt[3]{x} \) son inversas entre sí. Por lo tanto, sus gráficas son reflexiones a través de la línea \[ y = x. \]

4) Para \( 0 < x < 1 \), tenemos: \[ x^3 < x^2 < x < \sqrt{x} < \sqrt[3]{x} \] Para \( x > 1 \), tenemos: \[ x^3 > x^2 > x > \sqrt{x} > \sqrt[3]{x} \]

Tutorial (3) – Intervalos de Crecimiento/Decrecimiento y Extremos Locales

1) \( f(x) = x \): creciente en \( (-\infty, +\infty) \); sin mínimo ni máximo local.

2) \( g(x) = x^2 \): decreciente en \( (-\infty, 0) \), creciente en \( (0, +\infty) \); mínimo local en \( (0,0) \).

3) \( h(x) = x^3 \): creciente en \( (-\infty, +\infty) \); sin mínimo ni máximo local.

4) \( i(x) = |x| \): decreciente en \( (-\infty, 0) \), creciente en \( (0, +\infty) \); mínimo local en \( (0,0) \).

5) \( j(x) = \sqrt{x} \): creciente en \( [0, +\infty) \); mínimo local en \( (0,0) \).

6) \( k(x) = \sqrt[3]{x} \): creciente en \( (-\infty, +\infty) \); sin mínimo ni máximo local.

7) \( l(x) = e^x \): creciente en \( (-\infty, +\infty) \); sin mínimo ni máximo local.

8) \( m(x) = \ln(x) \): creciente en \( (0, +\infty) \); sin mínimo ni máximo local.

Tutorial (4) – Comparación de Tasas de Cambio

1) A medida que \( x \) aumenta, \( l(x) = e^x \) aumenta más rápido que \( g(x) = x^2 \).

2) A medida que \( x \) aumenta, \( f(x) = x \) aumenta más rápido que \( m(x) = \ln(x) \).

Tutorial (5) – Funciones Básicas Pares e Impares

1) Funciones pares: \( g(x) = x^2 \) y \( i(x) = |x| \), ya que \[ g(-x) = (-x)^2 = x^2 = g(x), \quad i(-x) = |-x| = |x| = i(x). \] Sus gráficas son simétricas con respecto al eje \(y\).

2) Funciones impares: \( f(x) = x \), \( h(x) = x^3 \) y \( k(x) = \sqrt[3]{x} \), ya que \[ f(-x) = -f(x), \quad h(-x) = -h(x), \quad k(-x) = -k(x). \] Sus gráficas son simétricas con respecto al origen.

3) Las funciones \( j(x) = \sqrt{x} \), \( l(x) = e^x \) y \( m(x) = \ln(x) \) no son pares ni impares.