Gráficas de funciones logarítmicas

Gráficas y esbozar las funciones logarítmicas: un tutorial paso a paso. Las propiedades tales como dominio, rango, asíntotas verticales y las intersecciones de las gráficas de estas funciones también se examinan en detalles. Papel cuadriculado gratis está disponible.

Revisar

En primer lugar, comenzar con las propiedades de la gráfica de la función logarítmica de base de una base,

f (x) = log a(x), a > 0 y no es igual a 1.

El dominio de la función f es el intervalo (0, + inf). El rango de f es el intervalo (-inf, + inf).

La inf símbolo significa infinito.

La función f tiene una asíntota vertical dada por x = 0. Esta función tiene una x en la intersección (1, 0). f aumenta a medida que aumenta x.

Es posible que desee revisar todas las propiedades anteriormente mencionadas de la función logarítmica de forma interactiva.


Ejemplo 1: f es una función dada por

f (x) = log 2 (x + 2)

  1. Determine el dominio de f y el rango de f.
  2. Encuentra la asíntota vertical de la gráfica de f.
  3. Encuentra la X y la intercepta y de la gráfica de f si los hay.
  4. Dibuje la gráfica de f.

Respuesta a la Ejemplo 1

a - El dominio de f es el conjunto de todos los valores de x tal que 

x + 2 > 0

x > -2

El rango de f es el intervalo (-inf, + inf).

b - La asíntota vertical se obtiene mediante la solución de

 x + 2 = 0

lo que da

 x = -2

Cuando x tiende a -2 de la derecha (x> -2), f (x) decrece sin límite. ¿Cómo sabemos esto?

Veamos algunos valores:

f (-1) = log 2 (-1 + 2) = log 2 (1) = 0

f (-1,5) = log 2 (-1,5 + 2) = log 2 (1 / 2) = -1

f (-1,99) = log 2 (-1,99 + 2) = log 2 (0.01), que es aproximadamente igual a -6,64

f (-1.999999) = log 2 (-1,999999 + 2) = log 2 (0.000001), que es aproximadamente igual a -19,93.

c - Para encontrar la intersección x tenemos que resolver la ecuación f (x) = 0

log2 (x + 2) = 0

Usar las propiedades de las funciones logarítmicas y exponenciales para escribir la ecuación anterior como

 x + 2 = 2^0

x = -1

La intersección x es (-1, 0).

La intersección está dada por (0, f (0)) = (0, log 2 (0 + 2)) = (0, 1).

d - Hasta ahora tenemos el dominio, rango, x e intercepta y, y la asíntota vertical. Necesitamos más puntos. Vamos a considerar un punto en x = -3 / 2 (a medio camino entre la X y la intersección de la asíntota vertical) y otro punto en x = 2.

f (-3 / 2) = log 2 (-3 / 2 + 2) = log 2 (1 / 2) = log 2 (2 -1) = -1.

f (2) = log 2 (2 + 2) = log 2 (2 2) = 2.

Ahora tenemos más información sobre la forma de gráfico de f. El gráfico aumenta a medida que aumenta x. Cerca de la asíntota vertical x = -2, la gráfica de f disminuye sin límite cuando x tiende a -2 de la derecha. La gráfica no corta la asíntota vertical. Nos unen ahora a los diferentes puntos de una curva suave.


Igualados Problema Ejemplo 1: f es una función dada por

f (x) = log 2 (x + 3)

 

  1. Determine el dominio de f y el rango de f.
  2. Encuentra la asíntota vertical de la gráfica de f.
  3. Encuentra la X y la intercepta y de la gráfica de f si los hay.
  4. Dibuje la gráfica de f.


Ejemplo 2: f es una función dada por

f (x) = -3ln (x - 4)

 

  1. Determine el dominio de f y el rango de f.
  2. Encuentra la asíntota vertical de la gráfica de f.
  3. Encuentra la X y la intercepta y de la gráfica de f si los hay.
  4. Dibuje la gráfica de f.

Respuesta a la Ejemplo 2

a - El dominio de f es el conjunto de todos los valores de x tal que 

x - 4 > 0

x > 4

El rango de f es el intervalo (-inf, + inf).

b - La asíntota vertical se obtiene mediante la solución de

 x - 4 = 0

x = 4

Cuando x tiende a 4 de la derecha (x> 4), f (x) crece sin límite. ¿Cómo sabemos esto?

Veamos algunos valores:

f (5) = ln (5-4) =-3ln (1) = 0

f (4,001) =-3ln (0,001), que es aproximadamente igual a 20,72.

f (4.000001) =-3ln (0,000001), que es aproximadamente igual a 41,45.

c - Para encontrar la intersección x tenemos que resolver la ecuación f (x) = 0

-3ln(x - 4) = 0

Divide ambos lados por -3 a obtener

ln (x - 4) = 0

Usar las propiedades de las funciones logarítmicas y exponenciales para escribir la ecuación anterior como

e ln (x - 4) = e 0

Luego de simplificar

 x - 4 = 1

x = 5

La x es interceptar en (5, 0).

La intersección está dada por (0, f (0)). f (0) no está definido ya que x = 0 no es un valor en el dominio de f. No hay ninguna intersección.

d - Hasta ahora tenemos el dominio, rango, x interceptar y la asíntota vertical. Necesitamos puntos extra para poder gráfico de f.

f (4,5) =-3ln (4,5 - 4) aproximadamente igual a 2,08

F (8) =-3ln (8 - 4) aproximadamente igual a - 4,16

f (14) =-3ln (14 - 4) aproximadamente igual a - 6,91

Veamos ahora esbozar todos los puntos y la asíntota vertical. Únete a los puntos por una curva suave y F aumenta a medida que x se aproxima a 4 de la derecha.

 


Igualados Problema Ejemplo 2: f es una función dada por

f (x) = 2ln (x + 5)

 

  1. Determine el dominio de f y el rango de f.
  2. Encuentra la asíntota vertical de la gráfica de f.
  3. Encuentra la X y la intercepta y de la gráfica de f si los hay.
  4. Dibuje la gráfica de f.


Ejemplo 3: f es una función dada por

f (x) = 2ln (| X |)

 

  1. Determine el dominio de f y el rango de f.
  2. Encuentra la asíntota vertical de la gráfica de f.
  3. Encuentra la X y la intercepta y de la gráfica de f si los hay.
  4. Dibuje la gráfica de f.

Respuesta a la Ejemplo 3

a - El dominio de f es el conjunto de todos los valores de x tal que

|x| > 0

El dominio es el conjunto de todos los números reales excepto 0.

El rango de f es el intervalo (-inf, + inf).

b - La asíntota vertical se obtiene mediante la solución de

|x| = 0

lo que da

x = 0

Cuando x tiende a 0 por la derecha (x> 0), f (x) decrece sin límite. ¿Cómo sabemos esto?

Veamos algunos valores:

f (1) = 2 ln (| 1 |) = 0

f (0,1) = 2ln (0,1), que es aproximadamente igual a -4,61.

f (0,0001) = 2ln (0,0001), que es aproximadamente igual a -18,42.

f (0.0000001) = 2ln (0,0000001), que es aproximadamente igual a -32,24.

Cuando x se aproxima a 0 por la izquierda (x <0), f (x) decrece sin límite. ¿Cómo sabemos esto?

Veamos algunos valores:

f (-1) = 2 ln (| -1 |) = 0

f (-0,1) = 2ln (| -0,1 |), que es aproximadamente igual a -4,61.

f (-0,0001) = 2ln (| -0,0001 |), que es aproximadamente igual a -18,42.

f (-0.0000001) = 2ln (| -0,0000001 |), que es aproximadamente igual a -32,24.

c - Para encontrar la intersección x tenemos que resolver la ecuación f (x) = 0

2ln (| X |) = 0

Divide ambos lados por 2 para obtener

ln (| X |) = 0

Usar las propiedades de las funciones logarítmicas y exponenciales para escribir la ecuación anterior como

e ln (| X |) = e 0

Luego de simplificar

 | X | = 1

Dos x intercepta en (1, 0) y (-1, 0).

La intersección está dada por (0, f (0)). f (0) no está definido ya que x = 0 no es un valor en el dominio de f. No hay ninguna intersección.

d - Hasta ahora tenemos el dominio, rango, x interceptar y la asíntota vertical. Mediante el examen de la función f es fácil demostrar que esta es una función par y su gráfica es simétrica con respecto al eje y.

f (-x) = 2 ln (|-x |)

pero

|-x | = | x |

y por lo tanto

f (-x) = 2 ln (| x |) = f (x), esto demuestra que f es una función par.

Vamos a encontrar puntos extra.

f (4) = 2ln (| 4 |) aproximadamente igual a 2,77.

f (0,5) = 2ln (| 0.5 |) aproximadamente igual a - 1,39.

Como f es aún f (-4) = f (4) y f (-0,5) = f (0,5).

Veamos ahora esbozar todos los puntos, la asíntota vertical y Una los puntos por una curva suave.


Igualados Problema Ejemplo 3: f es una función dada por

f (x) =-2ln (x 2)

  1. Determine el dominio de f y el rango de f.
  2. Encuentra la asíntota vertical de la gráfica de f.
  3. Encuentra la X y la intercepta y de la gráfica de f si los hay.
  4. Dibuje la gráfica de f.







Más referencias sobre las funciones logarítmicas y gráfica.

  • Funciones gráficas


  • Funciones logarítmicas.

  • Los gráficos de las funciones básicas.


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    Actualizado: 25 de noviembre de 2007 (A Dendane)