A continuación se presentan las soluciones completas a problemas de ecuaciones trigonométricas. En todas las soluciones, \( n \) representa cualquier número entero y \( \pi \) representa la medida en radianes de un ángulo llano (\(180^\circ\)).
Resolver para todas las soluciones:
\[ 2 \cos x + 1 = 0 \]
Respuesta: \( \displaystyle x = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi \quad \text{o} \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi \)
Resolver para todas las soluciones:
\[ 3 \sec^2 x - 4 = 0 \]
Respuesta: \( \displaystyle x = \frac{\pi}{6} + 2n\pi, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi, \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2n\pi, \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2n\pi \)
Nota: Esto incluye las cuatro familias de soluciones de \( \sec x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \).
Resolver para todas las soluciones:
\[ (3 \cos x + 7)(-2 \sin x - 1) = 0 \]
Respuesta: \( \displaystyle x = \frac{7\pi}{6} + 2n\pi \quad \text{o} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2n\pi \)
Nota: La ecuación \( 3\cos x + 7 = 0 \) no tiene solución ya que \( \cos x = -\frac{7}{3} \) está fuera del rango \([-1, 1]\).
Resolver para todas las soluciones:
\[ (6 \tan^2 x - 2)(2 \tan^2 x - 6) = 0 \]
Respuesta: \( \displaystyle x = \frac{\pi}{6} + n\pi, \quad x = \frac{5\pi}{6} + n\pi, \quad x = \frac{\pi}{3} + n\pi, \quad x = \frac{2\pi}{3} + n\pi \)
Resolver en el intervalo \([0, 2\pi)\):
\[ -2 \sec^2 x + 4 = -2\sec x \]
Respuesta: \( \displaystyle x = \frac{\pi}{3}, \quad x = \pi, \quad x = \frac{5\pi}{3} \)
Resolver en el intervalo \([0, 2\pi)\):
\[ 2\sin(x) \cos(-x) = 2 \sin(-x) \sin(x) \]
Respuesta: \( \displaystyle x = 0, \quad x = \frac{3\pi}{4}, \quad x = \pi, \quad x = \frac{7\pi}{4} \)
Resolver en el intervalo \([0, 2\pi)\):
\[ \sin 2x = -\sin(-x) \]
Respuesta: \( \displaystyle x = 0, \quad x = \frac{\pi}{3}, \quad x = \pi, \quad x = \frac{5\pi}{3} \)
¿Qué ecuación no tiene solución?
Respuesta: \( 2\sin x = -3 \)
Explicación: El rango del seno es \([-1, 1]\), por lo tanto \(2\sin x\) no puede ser igual a \(-3\).
¿Qué ecuación no tiene solución?
Respuesta: \( \sec x = -\frac{1}{2} \)
Explicación: El rango de la secante es \((-\infty, -1] \cup [1, \infty)\), por lo tanto no puede ser igual a \(-\frac{1}{2}\).
Resolver en el intervalo \([0, 2\pi)\):
\[ \sin^2 x + \sin x = 6 \]
Respuesta: No tiene soluciones
Explicación: La ecuación se simplifica a \(\sin^2 x + \sin x - 6 = 0\), cuyas posibles soluciones \(\sin x = 2\) o \(\sin x = -3\) están fuera del rango del seno \([-1, 1]\).