Ejemplos paso a paso usando el círculo unitario e identidades
Resolver ecuaciones trigonométricas requiere aislar la función trigonométrica, encontrar el ángulo de referencia y usar el círculo unitario para determinar los ángulos en los cuadrantes correctos. Cuando las ecuaciones son más complejas, se utilizan identidades trigonométricas para simplificarlas primero. Exploremos ejemplos que van desde formas lineales básicas hasta cuadráticas desafiantes.
Encuentra todas las soluciones de la ecuación trigonométrica: \[ \sqrt{3} \sec(\theta) + 2 = 0 \]
Usando la identidad recíproca \( \sec(\theta) = \dfrac{1}{\cos(\theta)} \), podemos reescribir la ecuación para aislar el coseno:
\[ \cos(\theta) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \]
Encuentra el ángulo de referencia \( \theta_r \) tomando el valor absoluto: \( \cos(\theta_r) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \):
\[ \theta_r = \dfrac{\pi}{6} \]
Como \( \cos(\theta) \) es negativo, los ángulos reales deben estar en los Cuadrantes II o III.
\[ \text{Cuadrante II: } \theta_1 = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6} \]
\[ \text{Cuadrante III: } \theta_2 = \pi + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6} \]
Soluciones Generales: Suma \( 2n\pi \) para tener en cuenta la naturaleza periódica del coseno (donde \(n\) es un número entero).
\[ \theta = \mathbf{\dfrac{5\pi}{6} + 2n\pi} \quad \text{y} \quad \theta = \mathbf{\dfrac{7\pi}{6} + 2n\pi} \]
Resuelve la ecuación trigonométrica: \[ 2 \sin(\theta) = -1 \]
Aisla la función seno dividiendo ambos lados entre 2:
\[ \sin(\theta) = -\dfrac{1}{2} \]
El ángulo de referencia donde el seno es \( 1/2 \) es \( \theta_r = \dfrac{\pi}{6} \). Debido a que el valor del seno es negativo, los ángulos deben estar en los Cuadrantes III y IV.
\[ \text{Cuadrante III: } \theta_1 = \pi + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6} \]
\[ \text{Cuadrante IV: } \theta_2 = 2\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{11\pi}{6} \]
Soluciones Generales:
\[ \theta = \mathbf{\dfrac{7\pi}{6} + 2n\pi} \quad \text{y} \quad \theta = \mathbf{\dfrac{11\pi}{6} + 2n\pi} \]
Resuelve la siguiente ecuación que involucra un desplazamiento de fase y un ángulo múltiple: \[ \sqrt{2} \cos\left(3x + \dfrac{\pi}{4}\right) = -1 \]
Primero, sustituye el argumento interno con una variable temporal. Sea \( \theta = 3x + \dfrac{\pi}{4} \). Aísla el coseno:
\[ \cos(\theta) = -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \]
El ángulo de referencia es \( \theta_r = \dfrac{\pi}{4} \). El coseno es negativo en los Cuadrantes II y III. Encuentra las soluciones para \(\theta\):
\[ \theta_1 = \pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} + 2n\pi \]
\[ \theta_2 = \pi + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4} + 2n\pi \]
Ahora, sustituye \( 3x + \dfrac{\pi}{4} \) de nuevo por \(\theta\) y resuelve para \(x\).
Primera Ecuación:
\[ 3x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} + 2n\pi \]
\[ 3x = \dfrac{2\pi}{4} + 2n\pi = \dfrac{\pi}{2} + 2n\pi \]
\[ x_1 = \mathbf{\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2n\pi}{3}} \]
Segunda Ecuación:
\[ 3x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4} + 2n\pi \]
\[ 3x = \dfrac{4\pi}{4} + 2n\pi = \pi + 2n\pi \]
\[ x_2 = \mathbf{\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{2n\pi}{3}} \]
Resuelve la ecuación trigonométrica cuadrática: \[ - 2 \sin^2 x - \cos x = - 1 \]
Cuando una ecuación tiene tanto seno al cuadrado como coseno, usa la identidad pitagórica \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) para convertir todo a coseno.
\[ -2(1 - \cos^2 x) - \cos x = -1 \]
\[ -2 + 2\cos^2 x - \cos x = -1 \]
Mueve todo a un lado para formar una ecuación cuadrática estándar (\(ax^2+bx+c=0\)):
\[ 2 \cos^{2} x - \cos x - 1 = 0 \]
Factoriza la cuadrática (tratando \(\cos x\) como una variable \(u\)):
\[ (2 \cos x + 1)(\cos x - 1) = 0 \]
Resuelve cada factor de forma independiente:
Caso 1: \( 2 \cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -\dfrac{1}{2} \)
\[ x = \mathbf{\dfrac{2\pi}{3} + 2n\pi} \quad \text{y} \quad x = \mathbf{\dfrac{4\pi}{3} + 2n\pi} \]
Caso 2: \( \cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = 1 \)
El coseno es 1 en 0 radianes.
\[ x = 0 + 2n\pi \Rightarrow \mathbf{x = 2n\pi} \]
Desafío 1 (Identidad de Ángulo Doble): Resuelve para \(x\): \[ \sin(2x) + \cos(x) = 0 \]
Paso 1: Aplica la identidad de ángulo doble para el seno: \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \).
\[ 2\sin(x)\cos(x) + \cos(x) = 0 \]
Paso 2: Factoriza el término común, \( \cos(x) \).
\[ \cos(x)(2\sin(x) + 1) = 0 \]
Paso 3: Iguala cada factor a cero y resuelve.
Factor 1: \( \cos(x) = 0 \Rightarrow \mathbf{x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi} \)
Factor 2: \( 2\sin(x) + 1 = 0 \Rightarrow \sin(x) = -\dfrac{1}{2} \)
\[ \Rightarrow \mathbf{x = \dfrac{7\pi}{6} + 2n\pi} \quad \text{y} \quad \mathbf{x = \dfrac{11\pi}{6} + 2n\pi} \]
Desafío 2 (Identidad Pitagórica): Resuelve para \(x\): \[ \tan^2(x) - \sec(x) = 1 \]
Paso 1: Usa la identidad \( \tan^2(x) = \sec^2(x) - 1 \) para tener todo en términos de secante.
\[ (\sec^2(x) - 1) - \sec(x) = 1 \]
Paso 2: Reorganiza en una ecuación cuadrática igualada a cero.
\[ \sec^2(x) - \sec(x) - 2 = 0 \]
Paso 3: Factoriza la ecuación cuadrática.
\[ (\sec(x) - 2)(\sec(x) + 1) = 0 \]
Paso 4: Resuelve para el coseno usando identidades recíprocas.
Factor 1: \( \sec(x) = 2 \Rightarrow \cos(x) = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \mathbf{x = \dfrac{\pi}{3} + 2n\pi, \dfrac{5\pi}{3} + 2n\pi} \)
Factor 2: \( \sec(x) = -1 \Rightarrow \cos(x) = -1 \Rightarrow \mathbf{x = \pi + 2n\pi} \)
Desafío 3 (Soluciones Extrañas): Resuelve para \(x\) en el intervalo \( [0, 2\pi) \): \[ \sin(x) - \cos(x) = 1 \]
Paso 1: Eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación. Advertencia: Elevar al cuadrado puede introducir soluciones extrañas, así que debes verificar tus respuestas finales.
\[ (\sin(x) - \cos(x))^2 = 1^2 \]
\[ \sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) + \cos^2(x) = 1 \]
Paso 2: Usa las identidades \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \) y \( 2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x) \).
\[ 1 - \sin(2x) = 1 \]
\[ \sin(2x) = 0 \]
Paso 3: Resuelve para \( 2x \). El seno es cero en múltiplos enteros de \( \pi \).
\[ 2x = n\pi \Rightarrow x = \dfrac{n\pi}{2} \]
En el intervalo \( [0, 2\pi) \), los ángulos posibles son \( 0, \dfrac{\pi}{2}, \pi, \dfrac{3\pi}{2} \).
Paso 4: Verifica si hay soluciones extrañas en la ecuación original \( \sin(x) - \cos(x) = 1 \).
Respuesta: \( \mathbf{x = \dfrac{\pi}{2}} \) y \( \mathbf{x = \pi} \)