¿Cómo resolver ecuaciones trigonométricas? Se presentan preguntas junto con soluciones detalladas y explicaciones.
Encuentre todas las soluciones de la ecuación trigonométrica √ 3 sec(θ) + 2 = 0
Solución:
Utilizando la identidad sec(θ) = 1 / cos(θ), reescribimos la ecuación en la forma
cos(θ) = - √3 / 2
Encuentre el ángulo de referencia θr resolviendo la ecuación anterior sin el signo menos:
cos(θr) = √3 / 2 donde θr es agudo e igual al ángulo de referencia .
cuya solución es
θr = π/6
Use el ángulo de referencia θr para determinar las soluciones θ1 y θ2 en el intervalo [0, 2π) de la ecuación dada. La ecuación cos(θ) = - √3 / 2 sugiere que cos(θ) es negativo, lo que significa que el lado terminal del ángulo θ solución de la ecuación dada está en los cuadrantes II o III, como se muestra a continuación utilizando el círculo unitario.
.
Reescriba la ecuación anterior en forma simple como se muestra a continuación.
sin(θ) = -1/2
Encuentre el ángulo de referencia θr resolviendo la ecuación sin el signo menos:
sin(θ) = 1/2
θ es agudo e igual a
θr = π/6
Utilice el ángulo de referencia θr para determinar las soluciones θ1 y θ2 en el intervalo [0, 2π) de la ecuación dada. La ecuación sin(θ) = -1 / 2 sugiere que sin(θ) es negativo, lo que significa que el lado terminal del ángulo θ está en los cuadrantes III o VI, como se muestra en el círculo unitario a continuación.
.
Solución:
Permita que θ = 3x + π/4 y reescriba la ecuación en forma simple.
√2 cos(θ) = - 1
cos(θ) = -1/√2
Encuentre el ángulo de referencia θr al resolver cos(θ) = 1/√2 para θr agudo.
θr = π/4
Utilice el ángulo de referencia θr para determinar las soluciones θ1 y θ2 en el intervalo [0 , 2π) de la ecuación dada. La ecuación cos(θ) = - 1/√2 sugiere que cos(θ) es negativo y eso significa que el lado terminal del ángulo θ está en los cuadrantes II o III. Por lo tanto, las dos soluciones de la ecuación cos(θ) = - 1/√2 en el intervalo [0 , 2π) están dadas por
θ1 = π - θr = 3π/4
θ2 = π + θr = 5π/4
Ahora escribimos las soluciones generales agregando múltiplos de 2π de la siguiente manera:
θ1 = 3π/4 + 2nπ , n = 0, ± 1 , ± 2, ...
θ2 = 5π/4 + 2nπ , n = 0, ± 1 , ± 2, ...
Sustituimos θ1 y θ2 por la expresión 3x + π/4
3x + π/4 = 3π/4 + 2nπ
3x + π/4 = 5π/4 + 2nπ
y resolvemos para x para obtener las soluciones para x.
x = π/6 + 2nπ/3 , n = 0, ± 1 , ± 2, ...
x = π/3 + 2nπ/3 , n = 0, ± 1 , ± 2, ...
Solución:
La ecuación anterior se puede factorizar si todas las funciones trigonométricas incluidas en esa ecuación son iguales. Entonces, utilizando la identidad sin 2x = 1 - cos 2x, podemos reescribir la ecuación anterior utilizando la misma función trigonométrica cos x de la siguiente manera:
- 2 (1 - cos 2x) - cos x = - 1
Simplifique y reescriba como
2 cos 2x - cos x - 1 = 0
Factorice el lado izquierdo
(2 cos x + 1)(cos x - 1) = 0
Por lo tanto, las dos ecuaciones a resolver son
(1) 2 cos x + 1 = 0 y (2) cos x - 1 = 0
Resuelva la ecuación (1) utilizando el ángulo de referencia como se hizo en los ejemplos anteriores.
cos x = -1/2
x1 = 2π/3 + 2nπ , n = 0, ± 1 , ± 2, ...
x2 = 4π/3 + 2nπ , n = 0, ± 1 , ± 2, ...
Resuelva la ecuación (2)
cos x = 1
x3 = 2nπ , n = 0, ± 1 , ± 2, ...
